甘肃省定西市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试理科数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省定西市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试理科数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,,则( )
A.B.C.D.
2．过点和点的直线的斜率为( )
A.-2B.C.D.2
3．设m,n是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题：①;② ;③ ;④ .其中正确的命题是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
4．已知函数在区间上是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.2
6．设,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数则的值为( )
A.B.C.-2D.3
8．若函数的定义域为,则的定义域是( )
A.B.C.D.
9．如图,在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
10．若函数在区间上的最大值和最小值的和为5,则函数在区间上的最大值和最小值之差是( )
A.1B.3C.4D.5
11．若过定点且斜率为k的直线与圆在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．若定义在R上的偶函数满足,且时,,则方程的零点个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.6个
二、填空题
13．已知直线与直线互相平行,则____________.
14．已知幂函数的图象过点,则___________．
15．已知函数,在R上是增函数,则实数a的取值范围是___________.
16．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,平面ABC,,,且三棱锥的体积为,则球O的体积为___________.
三、解答题
17．回答下列问题.
（1）求值
（2）设,求函数的最大值和最小值.
18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,E、F分别是AP、AD的中点.
求证：（1）直线平面PCD;
（2）平面平面PAD.
19．已知函数满足,且．
（1）求函数的解析式;
（2）若在上的最大值为2,求实数的值．
20．如图所示,已知以点为圆心的圆与直线相切,过点斜率为k的直线l与圆A相交于M,N两点,点Q是的中点.
（1）求圆A的方程;
（2）当时,求直线的方程.
21．已知函数
（1）当时,求的定义域、值域.
（2）当时,判断的单调性,并用定义证明.
22．如下图,在三棱锥中,O,E分别是,的中点,,.
（1）求证：平面;
（2）求异面直线与所成角的余弦值;
（3）求点E到平面的距离.
参考答案
1．答案：B
解析：,,,.
故选：B.
2．答案：A
解析：根据斜率公式可得：
过点和点的直线的斜率.
故选：A.
3．答案：C
解析：若,,则根据面面平行的性质定理和判定定理可得,故①正确;
若,,则或m与相交或m在平面内,故②不正确;
因为,所以内有一直线l与m平行,而,则,根据面面垂直的判定定理可知：,故③正确;
若,,则或,故④不正确,
故选：C.
4．答案：A
解析：函数的对称轴为.
要使函数在区间上是单调函数,只需或,
解得：或.
故选：A.
5．答案：B
解析：由三视图可知,该几何体是底面是上底为,下底为,高为的直角梯形,
高为的四棱锥,
.
故选：B
6．答案：C
解析：依题意,,,
则,而,
因此,即选项C正确.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为
所以,
所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：由于函数的定义域为,
对于函数,则有,解得.
因此,函数的定义域是.
故选：C.
9．答案：D
解析：以D点为坐标原点,以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系则,,,
,,且为平面的一个法向量．
．与平面所成角的正弦值为.
10．答案：B
解析：依题意有,,所以在区间的值域为,
故最大值和最小值之差是3.
11．答案：A
解析：
12．答案：C
解析：由可知是周期为2的偶函数,
作函数与函数的图像如下：

方程的零点个数即函数与函数的交点个数,
由图像可知,有四个不同的交点,
故选：C.
13．答案：4
解析：由直线与直线互相平行,得,
解得.
故答案为：4.
14．答案：
解析：设幂函数为为常数),因为幂函数过点,
所以,则,
所以,
故答案：.
15．答案：
解析：由函数在R上是增函数可得,
解得.
故答案为：.
16．答案：
解析：平面ABC,,,且三棱锥的体积为,
即,解得,
由题可得,,两两互相垂直,
对几何体补图成如图所示的长方体,不共面的四点确定一个球,
所以长方体与三棱锥有同一个外接球,球的直径为长方体体对角线长,
即,
所以外接球半径,
体积.
故答案为：.
17．答案：（1）19;
（2）最大值为5,最小值为3.
解析：（1）
（2）令,因为,所以.
则函数可化为.
因为在上单调递减,在上单调递增,所以
当,即时,最小;
当,即时,最大.
所以函数的最大值为5,最小值为3.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点,
,又平面,面,
直线平面PCD.
（2）,,F是AD的中点,
又平面平面ABCD,面面,面,
所以,平面平面PAD.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）令利用换元法令,则,
由求得,所以;
根据（1）有,对称轴为,函数左减右增,最大值在两端取得,、,当时,,当时,,,.
,则,又,
,即.
（2）,
图像对称轴为,
在上是减函数,在上是增函数,
在上的最大值为或,
又,,
当时,,当时,,,
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设圆A的半径为r,
因为圆A与直线相切,所以,
所以圆A的方程为;
（2）设直线l的方程为,即,
连接,,如图所示,则,
因为,,所以,
则由,得,所以直线的方程为;
综上：圆A的标准方程为：,直线l的方程为.
21．答案：（1）的定义域为,值域为;
（2）在上为减函数,证明见解析
解析：（1）要求函数的定义域,只需: ,即.
因为,由指数函数的性质可得：,∴函数的定义域为.
因为,并且,所以∴函数的值域为.
（2）在上为减函数.
任取,且.
因为,则,所以,
所以,即.
故函数在上为减函数.
22．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）.
解析：（1）连接OC.
,O是的中点,
,且.
又,是的中点,
,且.
在中,,所以,即.
又,平面,平面, 平面.
（2）取的中点M,连接,,,
由E是的中点,知,所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角.
在中, ,.
OM是直角三角形AOC斜边上的中线, .
在中,由余弦定理可得：
,
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
（3）设点E到平面的距离为h.
,,
在中, ,,
.
,,
.
即点E到平面的距离为.