甘肃省临洮中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省临洮中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M,N,则点M,N的坐标分别为( )
A.,B.,C.,D.,
2．若函数可导,则“有实根”是“有极值”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．若函数,则此函数图象在点处的切线的倾斜角为( )
A.B.0C.钝角D.锐角
4．在空间直角坐标系中,,,,若M为的中点,则( )
A.B.3C.D.
5．设函数的导函数为,则图象大致是( )
A.B.
C.D.
6．函数的图象如图所示,是函数的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
7．已知函数的最小值是4．则( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8．已知,,对任意的,恒成立,则k的最大值为( )
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9．函数的导函数的图象如图所示,则( )
A.为函数的零点B.为函数的极小值点
C.函数在上单调递减D.是函数的最小值
10．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值r (精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为的近似值，则下列说法正确的是( )
A.对任意，
B.若，且，则对任意，
C.当时，需要作2条切线即可确定r的值
D.无论在上取任何有理数都有
11．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数一定存在极大值和极小值
B.若函数在、上是增函数,则
C.函数的图像是中心对称图形
D.函数的图像在点()处的切线与的图像必有两个不同的公共点
三、填空题
12．曲线在处的切线方程为__________________.
13．若点关于点对称的点是,则______________．
14．若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数）,其中a,b为正实数,则的取值范围是_________
四、解答题
15．如图,在三棱柱中,平面,D,E,F,G分别为,,,的中点,,．

（1）试建立空间直角坐标系,并写出点D,G的坐标;
（2）求的余弦值．
16．已知函数的图象过点,且.
（1）求a,b的值;
（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
17．已知函数在处取得极值,且.
（1）求常数a,b,c的值;
（2）判断是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.
18．已知．
（1）求函数在区间上的值域;
（2）当时,恒成立,求实数a的取值范围．
19．已知.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,证明：函数有且仅有两个零点,且.
参考答案
1．答案：D
解析：点在x轴上的射影横坐标不变,纵坐标和竖坐标为0,即,
点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变,纵坐标为0,即.
故选：D.
2．答案：A
解析：,但零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值,
但有极值则在极值处一定等于0.
所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.
故选：A.
3．答案：C
解析：由于,
所以,
则此函数的图像在点处的切线的倾斜角为钝角.
故选：C.
4．答案：B
解析：依题意,得的坐标为,即,
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：因,所以,所以,
所以函数是奇函数,其图象关于原点成中心对称,而函数为偶函数,其图象关于轴对称,所以选项B,C错误;又因为其图象过原点O,所以舍去A.
故选：D.
6．答案：B
解析：由图象可知在上单调递增
故,即
故选：B.
7．答案：A
解析：由题,,,所以单调递增,
又,所以,,
故为最小值点,即,解得,
故选：A.
8．答案：B
解析：对任意的,恒成立,即在上恒成立,
即在上恒成立,
设,则,令.
因为,所以函数在上单调递增,
又,,
所以在上存在唯一的一个实数根,满足且,
即,所以,
当时,,此时;当时,,此时,
所以在时单调递减,在上单调递增,.
所以要使对任意恒成立,则,
因为,所以要,即k的最大值为3.
故选：B.
9．答案：BC
解析：由的图象可知,在和上单调递增,在和上单调递减,所以为的极小值点,所以B,C均正确;
是的零点,但不一定是的零点,所以A错误;
是函数的极小值,但不一定是最小值,所以D错误.
故选：BC.
10．答案： BCD
解析：A，因为，则，
设，则切线方程为，
切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；
B，处的切线方程为，
所以与轴的交点横坐标为，故B正确；
C，因为，，
所以两条切线可以确定的值，故C正确；
D，由选项C可知，，所以无论在上取
任何有理数都有，故D正确.
故选：BCD
11．答案：ABC
解析：A选项,的恒成立,故必有两个不等实根,不妨设为、,且,
令,得或,令,得,
函数在上单调递减,在和上单调递增,
当时,函数取得极大值,当时,函数取得极小值,A对,
B选项,令,则,,易知,
,B对,
C选项,易知两极值点的中点坐标为,又,
,
函数的图像关于点成中心对称,C对,
D选项,令得,在处切线方程为,
且有唯一实数解,
即处切线与图像有唯一公共点,D错,
故选：ABC．
12．答案：
解析：根据题意可得,
则当时,,,
所以曲线在处的切线方程为,整理得,
故答案为：．
故答案为：.
13．答案：3
解析：因为点关于点对称的点是,即A为的中点,
所以,解得,
故.
故答案为：3.
14．答案：
解析： , ,
设切点为,则,
, ．
a,b,,
原式,当且仅当,即,时等号成立,
即．
故答案为：.
15．答案：（1）,;坐标系见解析
（2）．
解析：（1）因为,平面,所以平面．

又平面,平面,所以,．
又,所以,所以直线,,两两垂直,
以E为坐标原点,以,,为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
易得,,,
所以点D、G的坐标分别为,．
（2）因为,所以,
,,
在中,,
即的余弦值为．
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,
由题意可得,,解得;
（2）由（1）得,,,
,,
曲线在点处的切线方程为,即.
取,得,取,得.
曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
17．答案：（1）,, ;
（2）是极大值点,是极小值点,理由见解析,极大值1,极小值-1.
解析：（1）,是函数的极值点,
是方程的两根,
由根与系数的关系,得,又,.③
由①②③解得,,.
（2）, ,当或时,,当时,,
函数在和上是增函数,在上是减函数,
当时,函数取得极大值,当时,函数取得极小值.
18．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）的定义域为R,,
令得,则在区间上单调递减,
令得,则在区间上单调递增,
而,,,则,
故在区间上的值域为;
（2）,即,即,
令,则只需证明,
则,,对于时,恒成立,
在上单调递减,,
①当时,,在上单调递减,
则,满足,
②当时,,则,,
则存在使得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递增减,
又, ,
不满足,
综上可得,
故实数a的取值范围为．
19．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为,,
当时,,在上单调递增;
当时,由,得,由,得,
故在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,由（1）知,在单调递增,在单调递减,所以
,所以在区间上存在零点,
因为在单调递增,故在区间上存在唯一的零点;
因为,所以在区间上存在零点,
因为在单调递减,所以在区间存在唯一的零点.
所以,函数有且仅有两个零点,.
不妨设,,
要证,只需证明,
因为在,单调递增且,,所以只需证明
,又,只需证明
设,,
,
当时,,
所以,所以在上单调递增,
所以,所以,
所以成立.故有.