陕西省汉中市镇巴中学、兴华学校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份陕西省汉中市镇巴中学、兴华学校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i是虚数单位,复数的虚部为( )
A.B.0C.1D.i
2．( )
A.2B.3C.4D.5
3．如果函数在区间上的平均变化率为3,则( )
A.B.C.D.
4．函数的导数为( )
A.0B.C.D.
5．函数的单调递减区间为( )
A.B.C.D.
6．已知没有极值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则此椭圆方程为( )
A.B.C.D.
9．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶,该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品,若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分,点F是C的下焦点,若点P为C上支上的动点,则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为( )
A.7B.6C.5D.4
10．函数的极值点为( )
A.8B.C.1D.
11．已知函数,下列说法正确的是( )
A.在处的切线方程为B.的单调递减区间为
C.的极小值为D.方程有两个不同的解
12．过点作曲线切线有且只有两条,则b的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．抛物线的准线方程为______.
14．已知函数,则函数在处的切线方程是____________.
15．求过点且与圆相切的直线方程为______.
16．已知双曲线,直线l过双曲线C的右焦点且斜率为,直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M,N两点(N点在x轴下方),且,则的离心率为____________.
三、解答题
17．已知直线与圆.
（1）若直线和圆无公共点,求m的取值范围;
（2）若直线和圆交于两点,且两个交点处的圆的半径互相垂直,求m的值.
18．求下列函数的极值:
（1）;
（2）.
19．如图,在正四棱柱中,底面边长为2,高为4.
（1）求证:;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,且右焦点为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线与椭圆C交于不同的两点,,点,若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数,求证:直线过定点.
21．已知函数在处有极值.
（1）求a,b的值;
（2）判断函数的单调性并求出单调区间.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由,虚部为1,故选项C正确.
故选:C.
2．答案：C
解析：.
故选:C
3．答案：C
解析：根据平均变化率的定义,可知
故选C
4．答案：C
解析：,,
,
故选:C.
5．答案：B
解析：函数的定义域为,
,
令,解得,令,解得,
则的单调递减区间为,单调递增区间为,
故选:B.
6．答案：C
解析：由得,
根据题意得,解得.
故选:C
7．答案：B
解析：不妨设直线,即椭圆中心到l的距离
,故选B.
8．答案：A
解析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为,所以,又,所以,,所以椭圆的标准方程为,故选A.
9．答案：C
解析：依题意,双曲线的离心率为,
则,解得,
所以双曲线方程为,
则双曲线得下焦点为,上焦点,渐近线方程为,如图,
根据图形的对称性,不妨取渐近线为,即,
又点P为双曲线上支上动点,则,
过点P作,垂足为Q,过点作,垂足为M,
则,
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5.
故选:C.
10．答案：D
解析：依题意可得函数定义域为,
则,
令,解得,或(舍去),
则当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增,
所以是极值点,且为极小值点.
故选:D.
11．答案：B
解析：函数的定义域为,求导得,
对于A,,而,因此图象在处的切线方程为,A错误;
对于B,当时,,单调递增,当时,,单调递减,B正确;
对于C,由选项B知,当时,取得极大值,C错误;
对于D,因为函数在上单调递增,且,,
即方程在上有唯一解,而当时,恒有成立,即该方程在上无解,
所以方程只有一个解,D错误.
故选:B
12．答案：A
解析：设切点为,
由,则,
所以过的切线方程为,即,
故有且仅有两根,
设,则,
当时,,此时单调递增;
当,,此时单调递减,
又当时,,,,
所以的图象如下:
故有且仅有两根,则b的取值范围为.
故选:A.
13．答案：
解析：抛物线的标准方程是,所以准线方程是
14．答案：
解析：由,则,
所以,,
所以函数在处的切线方程为,即
故答案为:.
15．答案：或
解析：当直线的斜率存在时,可设直线方程为,即,
由题意得,
解得,此时直线方程为,
当直线的斜率不存在时,直线方程为
此时圆心到直线的距离为3,所以直线与圆相切,符合题意.
故答案为:或.
16．答案：或
解析：如下图所示:
因为直线l的斜率为,由图可知,直线OM的斜率为,
因为,所以,,
易知直线OM的方程为,即,所以,,
因为直线OM,ON关于x轴对称,则,
由角平分线的性质可得,所以,,
,所以,,
由勾股定理可得,即,整理可得,
所以,双曲线C的离心率为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知,得圆心坐标为,半径,圆心到直线的距离
直线与圆无公共点,
,即,解得或,
故m的取值范围为
（2）若直线和圆交于两点A,B两点,如图所示,
两条半径OA,OB互相垂直,几何关系可知为等腰直角三角形,设O到直线的距离为d,
,即,解得
18．答案：（1）极小值为,极大值为;
（2）极小值为,极大值为.
解析：（1）.令,解得,.
当x变化时,,的变化情况如下表:
由上表看出,当时,取得极小值,为;当时,取得极大值,为.
（2）.令,解得,.
当x变化时,,的变化情况如下表:
由上表看出,当时,取得极小值,为;当时,取得极大值,为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
,,
,,即.
（2）由（1）得,,
设平面的一个法向量为,
则,取则
设直线与平面所成角为,则:
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由椭圆C的长轴长是短轴长的倍,可得.
所以.
又,所以,解得.所以.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）联立,得,
设,,可得,,
由题知,即,
即,
即,
化简得,解得,
直线l的方程为,故直线恒过定点.
21．答案：（1）,
（2）单调减区间是,单调增区间是.
解析：（1）函数,
.
又在处有极值,
,即,
解得,.
（2）由（1）可知,其定义域是,
且.
令,解得,(舍),
由,得;
由,得.
所以函数的单调减区间是,单调增区间是.
22．答案：（1）见解析;
（2）见解析.
解析：（1）,
①当时,,在R上单调递减;
②当时,令,得,
当时,;当时,.
③当时,令,得,
当时,;当时,.
综上所述,当时,在R上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）,即为,即,
令,可得,即证明.
设,则,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
所以,即.
所以.
x
2
0
0
单调递减
单调递增
22
单调递减
x
1
0
0
单调递减
单调递增
单调递减