西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十三次适应性训练数学（文）试卷(含答案)

这是一份西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十三次适应性训练数学（文）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则的值为( )
A.B.5C.D.2
3．函数在上的图像大致为( )
A.B.
C.D.
4．如图，一组数据，，，…，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
A.，B.，C.，D.，
5．已知向量，满足同向共线，且，，则( )
A.3B.15C.或15D.3或15
6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t的关系为(为最初污染物数量).如果前4小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要( )小时.
A.3.6B.3.8C.4D.4.2
7．已知实数a，b，c满足，则下列不等式中不可能成立的是( )
A.B.C.D.
8．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为( )
A.B.C.D.
9．已知函数的图象经过两点，，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则( )
A.8B.9C.10D.11
10．圆上任意一点M到直线的距离大于2的概率为（）
A.B.C.D.
11．如图，正四棱锥的高为12，，E，F分别为，的中点，过点B，E，F的截面交于点M，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为( )
A.B.
C.D.
12．在棱长为2的正四面体中，点P为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为( )
A.3B.C.D.2
二、填空题
13．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为_________.
14．已知等比数列的公比为2，前n项和为，且6，，成等差数列，则______.
15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.
16．已知直线，抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，点B关于y轴对称的点为P.若过点A，B的圆与直线l相切，且与直线交于点Q，则当时，直线的斜率为__________.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
18．如图，已知三棱柱，，，D为线段上的动点，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，D为线段的中点，，求与平面所成角的正弦值.
19．为弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全体学生参与“激情冰雪—相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生的竞赛成绩，均在50到100之间，将样本数据分组为，，，，，并将成绩绘制得到如图所示的频率分布直方图.已知成绩在区间70到90的有60人.
（1）求样本容量，并估计该校本㳄竞赛成绩的中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）全校学生有1000人，抽取学生的竞赛成绩的标准差为11，用频率估计概率，记全校学生的竞赛成绩的标准差为，估计全校学生中竞赛成绩在内的人数.
20．已知双曲线C：的右顶点为A，О为原点，点在C的渐近线上，的面积为.
（1）求C的方程；
（2）过点Р作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值.
21．已知函数，其中，设为导函数.
（1）设，若恒成立，求a的范围；
（2）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.
22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程，在以极点O为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M、N两点；
（1）求曲线C的参数方程与l的普通方程；
（2）若，求实数a的值.
23．已知函数的最小值是m.
（1）求m；
（2）若正数a，b，c满足，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得集合，
，
故，
故选：A.
2．答案：B
解析：，，则，
.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为函数，，故排除AD，
，故排除B，只有C满足条件.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意可得：，，，则，
故，
，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.
故选：D.
5．答案：D
解析：因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要4小时.
故选：C.
7．答案：D
解析：由题意，实数a，b，c满足，可得，所以，，
当时，，，此时，故B可能成立；
当时，，，此时，故A可能成立；
当时，，，此时，故C可能成立；
所以由排除法得D不可能成立.
故选：D.
8．答案：A
解析：依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，
过B点作的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则，
设圆台的母线为l，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，
圆台的侧面积为，解得，则，即，
则球的表面积.
故选：A.
9．答案：B
解析：根据题意画出函数的图像大致如下，
因为，
由图可知，，，
又，所以，
所以，
因为，
由图可知，，，
解得，，
又因为，
可得，
所以当时，.
故选：B.
10．答案：C
解析：设圆心为C，圆心到直线l的距离，
如图，
取，过D做交圆于A，B，可知满足条件的点在劣弧上（不包括A，B），
在中，，，
所以，，即，
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为，
由几何概型可知，
故选：C.
11．答案：C
解析：研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N，
，F为，的中点，
为的中点，，
，
又因为，
过点M作，
设，
，，
又，，
，
，
为4个格，为8个格，
故选：C.
12．答案：B
解析：如图所示，在平面内，，
所以点P在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点O，连接，以直线为x轴，直线为y轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，
所以，椭圆方程为.
点D在底面的投影设为点E，则点E为的中心，，
故点E正好为椭圆短轴的一个端点，
，则，
因为，故只需计算的最大值.
设，则，
则，
当时，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值为.
故选：B.
13．答案：
解析：作出可行域，如图所示：
目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距为，
转化为，令，则，
作出直线并平移使它经过可行域的点，经过C时，
，解得，所以.
此时z取得最小值，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：设等比数列的首项为，
因为6，，成等差数列，
所以，即，
又，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图，是月牙湖的示意图，O是的中点，
连结，可得，由条件可知，所以，所以，，
所以月牙泉的周长.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图，易知过点A，B且与直线l相切的圆就是以为直径的圆，设，，
则，，由有，
设直线的方程为，代入有，
所以，，结合，得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理得：.
又，所以，.
所以，，即，
即，又，所以，所以，即.
（2）由（1）及题意知中，，，.
由余弦定理得，即.
所以，所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，，，，平面，
所以平面.
又平面，所以，
又，即，而，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面，又，
所以平面，所以CA，CB，两两垂直，
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：
因为，所以四边形为矩形，
又因为，所以四边形为正方形.
因为，，所以，
所以，，，.
由D是线段的中点，得，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，所以，
所以.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）样本容量为100；中位数76.875，平均数
（2）621人
解析：（1）设样本容量为n，则，得，样本容量为100.
设本次竞赛成绩的中位数为x，
则，得.
抽取的学生竞赛成绩的平均数.
（2），，
则抽取学生在内的频率为，
全校学生有1000人，竞赛成绩在内的人数.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为点在C的渐近线上，所以，
，则，所以，故，
所以C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线只有一个交点，不符题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
联立，消y得，
则，解得且，
，，
直线的方程为，
令，得，即，
因为H为NG的中点，所以，
所以，
因为，
，
，
所以，
所以直线AH的斜率为定值.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题设知，，
，.
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故处取到最小值，且.
由于恒成立，所以.
（2）设，则.
设，则，
故在上单调递增.
因为，所以，，
故存在，使得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故是的极小值点，因此.
由（1）可知，当时，.
因此，即单调递增.
由于，即，即，
所以.
又由（1）可知，在单调递增，因此.
22．答案：（1）曲线C的参数方程为（为参数），直线l的普通方程为
（2）2
解析：（1）将曲线C的极坐标方程变形可得，
由，得，即，
所以，曲线C的参数方程为（为参数），
在直线l的参数方程中消去参数t可得，
所以，直线l的普通方程为.
（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为：，
曲线C是以点为圆心，半径为的圆，
圆心到直线l的距离为，
因为直线l与曲线C相交于两点，则，因为，解得，
，
原点O到直线l的距离为，
所以，
整理可得，因为，解得.
所以实数a的值为2.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此的最小值
（2）由（1）知，且a，b，c均为正数，
所以，
由基本不等式，，，
所以，当且仅当时等号成立，即.