2024年江苏省常州市第二十四中学、教科院、市实验中学联考中考一模数学试题

这是一份2024年江苏省常州市第二十四中学、教科院、市实验中学联考中考一模数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A．﹣6+3＝9B．﹣6﹣3＝﹣3C．﹣6+3＝﹣3D．﹣6+3＝3
2．（2分）计算（﹣a）3•a2的结果是（ ）
A．﹣a6B．a6C．﹣a5D．a5
3．（2分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．
4．（2分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
6．（2分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
7．（2分）如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，D为圆心，大于，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）25的算术平方根是 ．
10．（2分）当a 时，分式有意义．
11．（2分）因式分解：a2+8a+16＝ ．
12．（2分）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ ．
13．（2分）图中的小正方形的边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的点 ．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为 ．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF的长为 ．
16．（2分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
17．（2分）初三（9）班同学在“2021义卖”活动中表现特别突出，他们设计了两款特别的产品．第一是“人分纪念品”套装，销售一件此产品可获利16%；第二是“一路向北”手提袋，销售一件此产品可获利24%；当销售量的比为3：2时，总获利为18%．当销售量的比为1：3时，总获利为 ．
18．（2分）如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC＝1，BD＝3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，第19题6分．第20-25题每题8分，第26-28题每题10分，共84分）
19．（6分）计算：（﹣）﹣1+tan60°+|﹣2|+（π﹣3）0．
20．（8分）解不等式组：，并求出它的正整数解．
21．（8分）某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：
b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：
c．结合讲座后成绩x，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”（x＜80），有7人获得“优秀奖”（80≤x＜90），有8人获得“环保达人奖”（90≤x≤100），其中成绩在80≤x＜90这一组的是：
80 82 83 85 87 88 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“〇”圈出代表居民小张的点；
（2）写出表中m的值；
（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有 人．
22．（8分）完全相同的四张卡片，上面分别标有数字﹣1，2，1，﹣3，将其背面朝上，从中任意抽出1张（不放回），记为m，再抽一张记为n，以m作为M点的横坐标，n作为M点的纵坐标，记为M（m，n）．
（1）抽出一张卡片标有数字为正数的概率是 ；
（2）用树状图或列表法求所有点M（m，n）的坐标，并且点M在第二象限的概率．
23．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
24．（8分）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当△ABC的面积为4时，求B点坐标．
26．（10分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足AC＝CD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
27．（10分）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．
28．（10分）已知，抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）当m＝0时，求点A，B坐标；
（2）若直线y＝﹣x+b经过点A，且与抛物线交于另一点C，连接AC，BC，试判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积；若发生变化，请说明理由；
（3）当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，若抛物线在该范围内的最高点为M，最低点为N，直线MN与x轴交于点D，且，求此时抛物线的解析式．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A．﹣6+3＝9B．﹣6﹣3＝﹣3C．﹣6+3＝﹣3D．﹣6+3＝3
【解答】解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3，
故选：C．
2．（2分）计算（﹣a）3•a2的结果是（ ）
A．﹣a6B．a6C．﹣a5D．a5
【解答】解：（﹣a）3•a2
＝﹣a3•a2
＝﹣a5，
故选：C．
3．（2分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，
∴b2﹣4ac＝22﹣4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：B．
4．（2分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（2分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
6．（2分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．C．60cs50°D．60tan50°
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
7．（2分）如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，D为圆心，大于，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过P作PM⊥OB于M，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴，
∴，
∴，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEM中，PE2﹣MP2＝EM2，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
8．（2分）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故选：A．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）25的算术平方根是 5 ．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
10．（2分）当a ≠﹣2 时，分式有意义．
【解答】解：根据题意得，a+2≠0，
解得a≠﹣2．
故答案为：≠﹣2．
11．（2分）因式分解：a2+8a+16＝ （a+4）2 ．
【解答】原式＝（a+4）2，
故答案为：（a+4）2．
12．（2分）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ 5 ．
【解答】解：2＝，
∵＜＜，
∴5＜2＜6，
又∵m＜2＜m+1，
∴m＝5，
故答案为：5．
13．（2分）图中的小正方形的边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的点 D ．
【解答】解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故答案为：D．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为 12 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝2，
∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝2，
∴由折叠得∠E＝∠D＝60°，CE＝CD＝2，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D落在DC的延长线上的点E处，
∴D、C、E三点在同一条直线上，
∴DE＝CE+CD＝2+2＝4，∠DAE＝180°﹣∠E﹣∠D＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE＝4，
∴AD+AE+DE＝3×4＝12，
∴△ADE的周长为12，
故答案为：12．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵AD＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝4，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA，∠DCF＝∠CAE，
∴△CDF∽△AEF，
∴＝＝＝2，
∴AF＝AC＝，
故答案为：．
16．（2分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 x＞3 ．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，0），k＞0，
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴不等式可化为：2kx﹣6k＞0，
解得x＞3，
故答案为：x＞3．
17．（2分）初三（9）班同学在“2021义卖”活动中表现特别突出，他们设计了两款特别的产品．第一是“人分纪念品”套装，销售一件此产品可获利16%；第二是“一路向北”手提袋，销售一件此产品可获利24%；当销售量的比为3：2时，总获利为18%．当销售量的比为1：3时，总获利为 20.8% ．
【解答】解：设一件“人分纪念品”套装卖x元，一件“一路向北”手提袋卖y元，则一件此产品可获利16%x元，一件“一路向北”手提袋可获利24%y元，令“人分纪念品”的销售量为3a，则“一路向北”的销售量为2a，由销售量的比为3：2时，总获利为18%，得：
＝18%，
解得x＝2y，
设销售量的比为1：3时，令“人分纪念品”的销售量为b，则“一路向北”的销售量为3b，则总获利为：
＝＝＝20.8%，
即总获利为20.8%．
故答案为：20.8%．
18．（2分）如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC＝1，BD＝3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是 2+ ．
【解答】解：如图，连接DC，并延长交BA的延长线于点G，欲使封闭图形ACPDB的面积最大，
因梯形ACDB的面积为定值，故只需△CPD的面积最小．
而CD为定值，故只需使动点P到CD的距离最小．
为此作半圆平行于CD的切线EF，设切点为P′，并分别交BD及BA的延长线于点F，E．
连接OC，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴△CGA∽△DGB，
∴＝，
∴GA＝AO＝AC＝1．
∴△ACO和△GAC是等腰直角三角形，
∴∠GCA＝∠OCA＝45°，
∴∠GCO＝90°，
∴OC⊥GD．OC⊥EF，
∴切点P′就是OC与半圆的交点．
即当动点P取在P′的位置时，到CD的距离最小，而OC＝，
∴CP´＝﹣1，
∴S△CP´D＝×2×（﹣1）＝2﹣，
∴封闭图形ACPDB的最大面积为：×（1+3）×2﹣（2﹣）＝4﹣2+＝2+．
故答案为：2+．
三、解答题（本大题共10小题，第19题6分．第20-25题每题8分，第26-28题每题10分，共84分）
19．（6分）计算：（﹣）﹣1+tan60°+|﹣2|+（π﹣3）0．
【解答】解：（﹣）﹣1+tan60°+|﹣2|+（π﹣3）0
＝﹣2++2﹣+1
＝1．
20．（8分）解不等式组：，并求出它的正整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＜14，
所以不等式组的解集为x≤5，
则不等式组的正整数解为1，2，3，4，5．
21．（8分）某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：
b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：
c．结合讲座后成绩x，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”（x＜80），有7人获得“优秀奖”（80≤x＜90），有8人获得“环保达人奖”（90≤x≤100），其中成绩在80≤x＜90这一组的是：
80 82 83 85 87 88 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“〇”圈出代表居民小张的点；
（2）写出表中m的值；
（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有 64 人．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）讲座后成绩的中位数是第10和第11个数的平均数，所以m＝＝87.5；
（3）估计能获得“环保达人奖”的有160×＝64（人）．
故答案为：64．
22．（8分）完全相同的四张卡片，上面分别标有数字﹣1，2，1，﹣3，将其背面朝上，从中任意抽出1张（不放回），记为m，再抽一张记为n，以m作为M点的横坐标，n作为M点的纵坐标，记为M（m，n）．
（1）抽出一张卡片标有数字为正数的概率是 ；
（2）用树状图或列表法求所有点M（m，n）的坐标，并且点M在第二象限的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽出一张卡片标有数字为正数的结果有：2，1，共2种，
∴抽出一张卡片标有数字为正数的概率是＝．
故答案为：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果．
其中点M在第二象限的结果有：（﹣1，2），（﹣1，1），（﹣3，2），（﹣3，1），共4种，
∴点M在第二象限的概率为＝．
23．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
24．（8分）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【解答】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设y＝a1t+b1，e＝a2s+b2，
将（10，10），（30，30）代入y＝a1t+b1得，解得，
∴函数解析式为：y＝t，
将（160，60），（200，50）代入e＝a2s+b2得，解得，
∴函数解析式为：e＝﹣+100．
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了w1＝240km，
当s1＝240时，e1＝﹣s1+100＝﹣＝40，
∴未充电前电量显示为40%，
假设充电充了t分钟，应增加电量：e2＝y2＝t，
出发是电量为e3＝e1+e2＝40+t，走完剩余路程w2＝460﹣240＝220km，
w2应耗电量为：e4＝﹣w2+100＝﹣＝45，满电状态下剩余电量45%，据此可得：应耗电量100%﹣45%＝55%，
20＝e3﹣e4＝40+t﹣55，解得t＝35，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当△ABC的面积为4时，求B点坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数得，
＝2，
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为：；
（2）把点B（m，n）代入反比例函数得，
＝n，
∴B（m，），
∴C（0，），
BC＝，
∵S△ABC＝），
∴m＝5，
∴B的坐标为（5，）．
26．（10分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 45 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足AC＝CD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
【解答】【问题发现】解：①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，CA＝EA，
∴∠ACE＝45°，
故答案为：45；
②∵△CAE是等腰直角三角形，∠ACE＝45°，
∴AC＝CE•cs45°＝2×＝，
故答案为：；
【类比探究】解：将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，如图所示：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝1，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴G、D、C共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，
即∠FAG＝∠EAF，
在△GAF与△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝GD+DF＝1+2＝3，
∴EF＝3，
设正方形ABCD边长为x，则CE＝x﹣1，CF＝x﹣2，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣1）2+（x﹣2）2＝32，
解得：x＝或x＝（舍去），
∴正方形ABCD的边长为；
【拓展延伸】解：将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，如图所示：
∴AD＝BE，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝∠ACE，，
∴△DCB∽△ACE，
∴，
∵∠BAD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∵∠ADC＝∠EBC，
∴∠ABC+∠EBC＝270°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＝，
∴BD＝．
27．（10分）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ 30 °，∠B＝ 60 °，∠C＝ 90 °．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，
∴．
可设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴ ．
故答案为：30；60；90．
（2）∠B的度数不变．由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，
∴．
∴∠B 的度数不变，且∠B＝60°．
（3）△ABC一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论：
①当 S△ACF＝2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．
由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°，∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵S△ACF＝2S△ABF，
∴CF＝2BF．
∴．
∵AF⊥BD，∠OBC＝30°，
∴∠AFB＝60°＝∠BAC．
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
∴AB2＝BF•BC．
∴．
∴解得：AB＝r．
∴△AOB为等边三角形．
∵，
∴．
∴∠ABC＝90°．
∵30°：60°：90°＝1：2：3，
∴△ABC为和谐三角形．
②当 S△ABF＝2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．
同理可得OA＝OB＝OC＝r，∠BAC＝60°，
，△ABF∽△CBA，
∴AB2＝BF•BC．
∴．
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴．
∴∠ABC＝75°．
∵45°：60°：75°＝3：4：5，
∴△ABC 为和谐三角形．
综上所述，△ABC一定为和谐三角形．
28．（10分）已知，抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）当m＝0时，求点A，B坐标；
（2）若直线y＝﹣x+b经过点A，且与抛物线交于另一点C，连接AC，BC，试判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积；若发生变化，请说明理由；
（3）当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，若抛物线在该范围内的最高点为M，最低点为N，直线MN与x轴交于点D，且，求此时抛物线的解析式．
【解答】解：（1）当m＝0时，y＝x2﹣2x，
当y＝0时，有x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∵A在B的左侧，
∴点A坐标为（0，0），点B坐标为（2，0）．
（2）△ABC的面积不变．
对于抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m，
当y＝0时，有x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0，
解得：x1＝m，x2＝m+2．
∵A在B的左侧，
∴点A坐标为（m，0），点B坐标为（m+2，0），
∴AB＝2，
∵直线y＝﹣x+b经过点A（m，0），
∴0＝﹣m+b，
∴b＝m，
∴y＝﹣x+m，
联立
解得x1＝m，x2＝m+1，
∵点C在y＝﹣x+m上，
当x2＝m+1时，yC＝﹣1，
∴C点坐标为（m+1，﹣1）．
∴S△ABC＝，
∴△ABC的面积不发生变化，S△ABC＝1．
（3）∵5﹣2m≤x≤2m﹣1，
∴5﹣2m＜2m﹣1，
∴m＞．
由题可知对称轴为x＝m+1，则对称轴x＝m+1，
∵，即范围5﹣2m≤x≤2m﹣1的中点为x＝2，
∴，即抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧．
①若2m﹣1≤m+1，m≤2，即＜m≤2时，
∵抛物线开口向上，
当5﹣2m≤x≤2m﹣1时，y随x的增大而减小，如图，
当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15），
当x＝2m﹣1时，取最低点N（2m﹣1，m2﹣4m+3），
分别过点M，N作x轴的垂线交于点H，G，
则△MDH∽△NDG，
∴，即，
∴，
解得m＝1（舍）或m＝2，
∴当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8．
②若2＜m+1＜2m﹣1，即m＞2，
∴最低点在顶点处取得，
∴N（m+1，﹣1），
当x＝5﹣2m时，取最高点M（5﹣2m，9m2﹣24m+15），
由，得9m2﹣24m+15＝3，
解得，
∵m＞2，
∴m1与m2不符合题意，舍去，
综上所述，抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8．平均数
中位数
方差
讲座前
72.0
71.5
99.7
讲座后
86.8
m
88.4
电池充电状态
时间t（分钟）
0
10
30
60
增加的电量y（%）
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
160
200
280
显示电量e（%）
100
60
50
30
平均数
中位数
方差
讲座前
72.0
71.5
99.7
讲座后
86.8
m
88.4
﹣1
2
1
﹣3
﹣1
（﹣1，2）
（﹣1，1）
（﹣1，﹣3）
2
（2，﹣1）
（2，1）
（2，﹣3）
1
（1，﹣1）
（1，2）
（1，﹣3）
﹣3
（﹣3，﹣1）
（﹣3，2）
（﹣3，1）
电池充电状态
时间t（分钟）
0
10
30
60
增加的电量y（%）
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
160
200
280
显示电量e（%）
100
60
50
30