贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上．
2．答题时，选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试题卷上作答无效．
3．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分）
1. 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A. 注意安全B. 急救中心C. 水深危险D. 禁止攀爬
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项，是轴对称图形，不符合题意；
选项，是中心对称图形，符合题意；
选项，是轴对称图形，不符合题意；
选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
2. 在平面直角坐标系中，点所在象限是 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解：∵点的横坐标4＞0，纵坐标-3＜0，
∴点P（4，-3）在第四象限．
故选D．
3. 如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵D为的中点，，
∴，
故选：A．
4. 如图，小红想测量池塘两端A，B的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，，再分别找出，的中点D，E，连接，现测得米，则A，B之间的距离为（ ）
A. 40米B. 30米C. 20米D. 15米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．
由是的中点，是的中点，推断出是的中位线，结合中位线的性质，得到的长度．
【详解】是的中点，是的中点
是的中位线
故选C．
5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．
根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】四边形是菱形，
，
，
，
故选：A．
6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D ，可以，不符合题意，
故选B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A. 3B. 10C. 15D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到GH=CG=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8. 如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
故选D．
9. 下列命题是真命题是（ ）
A. 四边都相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 菱形的对角线相等D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊的平行四边形的判定与性质即可得到答案．
【详解】解：A．四边都相等的四边形是菱形，故A错误；
B．对角线互相垂直平行四边形是菱形，故B错误；
C．菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故C错误；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确，
故选：D
【点睛】本题考查特殊的平行四边形的判定与性质，熟练掌握其性质和判定方法是解题的关键．
10. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．
由勾股定理得，求出，由即可求解．
【详解】解：由题意得，在中，，
，
，
表示的实数为．
故选：B．
11. 如图．菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合）．于点于点F，若，则线段长度的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，连接，证明四边形是矩形，得到：，当时，的值最小，利用，求出的最小值即可，
【详解】解：连接，

是菱形，
，即，
，，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
，则
，，
，
，即的最小值为：，
故选：A．
12. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．则下列结论：①；②；③；④，错误的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG，在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，将沿对折至，
∴AB=AD=AF=CD=6，∠AFG=∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG =90°，
∵AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
∵，
∴，EC=4，设BG=FG=x，则CG=6-x，
在直角△ECG中，根据勾股定理，得，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=CG，①正确；
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，②正确；
∵， ，
∴，③正确；
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°，④错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 在中，，，则的度数为____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形的性质直接求解即可．
【详解】解：在中，，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图是贵州省部分城市在地图中的位置，若贵阳的位置坐标为，安顺的位置坐标为，请在图中建立适当的直角坐标系，写出铜仁的位置坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据贵阳和安顺的坐标确定出坐标轴和原点的位置，然后画出坐标系即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得如下坐标系，
∴铜仁的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____________，使平行四边形是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
16. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可
【详解】解：当线段上时，连接，过点作于，

当在线段上时，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在延长线上时，则，

是线段的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）已知的三边a、b、c满足，判断是否为直角三角形？
（2）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形是几边形？
【答案】（1）是直角三角形；（2）十二边形
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，多边形内角和与外角和，一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理逆定理、多边形内角和定理和多边形外角和是解答本题的关键．
（1）由于a、b、c满足，根据，，，可以求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式以及多边形外角和为，结合多边形的内角和是它的外角和的5倍，列式计算即可；
【详解】解：（1） a、b、c 满足，
又 ，，，
，，
， ， ，
在中，， ， ，
，，，
，
是直角三角形．
（2）设这个多边形的边为n．则多边形内角和为，外角和为，
，
解得：
∴ 这个多边形是十二边形．
18. 如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．
【详解】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．
19. 如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，连接，若平分，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；
（）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】（1）9.7米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
【小问2详解】
∵风筝沿方向再上升12米后，米，
∴此时风筝线的长为：（米），
∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
21. 已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析（2）4
【解析】
【详解】分析：(1)根据点的坐标在坐标系中描出已知的点，画出三角形ABC；(2)过点C分别作坐标轴的平行线，则△ABC的面积等于一个长方形的面积减去三个三角形的面积.
详解：(1)描点，画出△ABC，如图所示．
(2)S△ABC＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4．
点睛：在直角坐标系中求三角形的面积时，①如果三角形有一边平行x轴或y轴，则以这边为底，求三角形的面积；②如果三角形的三边都不与坐标轴平行，则过三角形的三个顶点分别作坐标轴的平行线，那么三角形的面积等于所围成的长方形的面积减去三个三角形的面积.
22. 如图，线段是某景区的一条最佳观赏线，四边形是紧邻景区的一个广场，其中于点O，，， ．现计划在上修建一个便利店F，为使游客从B处到便利店F购买物品后，返回到观赏线上的某处路程最短．请解决下列问题：
（1）画出符合上述条件便利店F的位置；
（2）求出上述最短路程．
【答案】（1）见解析；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，图形的对称性，求线段之和的最小值，根据对称性，利用“直线外一点，垂线段最短”，以及“两点之间，线段最短”是解决问题的关键．
（1）设便利店，返回到观赏线上的点的位置如图所示，连接，，，，由对称性得，在中，，过点作于，交于点，利用“直线外一点，垂线段最短”，可知，所以点为便利店的位置．
（2）为等腰直角三角形，可求出的长，，，可得，，在中，解直角三角形即可求最短距离．
【小问1详解】
，，
为等腰直角三角形，
，
，即是等腰直角三角形底边的高，也是其中线．
，即关于对称，
设便利店，返回到观赏线上的点的位置如图所示，连接，，，，
由对称的性质得，
在中，，
，
直线外一点到这条直线所有线段中，垂线段最短，
过点作于，交于点，当点与重合，与重合时，的值最小，最小值为，图中为便利店的位置．
【小问2详解】
，
为等腰直角三角形，


在中，


答：最短路程为．
23. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF矩形．
24. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①四边形是菱形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【小问1详解】
证明：根据折叠，，，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：①结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：②，，
．
．
设，
．
在直角中，
，即，
解得，即，
．
【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、翻折不变性进行解答．
25. 请帮数学兴趣小组完成下列探究活动．
问题：如图①，，点A在边上，点P是边上一动点，以线段为斜边作等腰（点C和点O在的两侧），连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接．

（1）如图①，小明同学得出，他的判断理由是______；（在①②③④中选取一个填写）
①；②；③；④
（2）如图②，小颖同学作于D，她探究发现与存在某种数量关系，请你写出与的数量关系并说明理由；
（3）小红同学认为：根据小颖的结果，连接，当，且是直角三角形时，能求出的值．请你帮她求出的值．
【答案】（1）② （2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，从而可得，再根据定理即可得；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得出结论；
（3）先在中，求出，再分①和②两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质求出的值，从而可得的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【小问1详解】
解：是以线段为斜边的等腰直角三角形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
故答案为：②．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，设与交于点，

，
，
，
，
，
，
由对顶角相等得：，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：，
，
，
①如图，当时，是直角三角形，

，，
，
，
；
②如图，当时，是直角三角形，

，，
，
，
，
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．测量示意图
测量数据
边的长度
①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．