2024年中考数学二轮培优专题04 二次函数系数之间的关系（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份2024年中考数学二轮培优专题04 二次函数系数之间的关系（2份打包，原卷版+教师版），文件包含2024年中考数学二轮培优专题04二次函数系数之间的关系原卷版doc、2024年中考数学二轮培优专题04二次函数系数之间的关系教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1152" 必备知识点 PAGEREF _Tc1152 \h 1
\l "_Tc29499" 考点一 二次函数各系数之间的关系 PAGEREF _Tc29499 \h 1
知识导航
必备知识点
知识点1 二次函数图像和系数的关系
1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
2.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
3.常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
4.抛物线与x轴交点个数．
（1）△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点
（2）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点
（3）△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
考点一 二次函数各系数之间的关系
1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由＝1可知：b＝﹣2a，
∵抛物线过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故②符合题意．
③由图象可知：x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故③符合题意．
④由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m时（m≠1），
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴a+b＞m（am+b），故④符合题意．
故选：C．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①、由图象可知：＝1＞0，a＜0，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②、由①知：b＝﹣2a，
由图象可知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，
即2c＜3b，故②符合题意．
③由图象可知：当x＝1时，y的最大值为a+b+c，
∴当x＝m（≠1）时，
am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b，
∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，
∴a+b＜a+2b，
∴a+2b＞m（am+b），故③符合题意．
④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，
其中x1，x2是方程ax2+bx+c＝1的两个根，x3，x4是方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根，
则x1+x2＝2，x3+x4＝2，
即这四个根的和为4，故④不符合题意．
故选：B．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．5a+3b+2c＜0D．4ac﹣b2＞0
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在x轴正半轴，
∴﹣＞0，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项A错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a．
∴2a+b＝0，故选项B错误；
由题图可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，与x＝0时抛物线上的两个点关于对称轴对称．即（2，4a+2b+c）与（0，c）关于对称轴对称．
∴4a+2b+c＝c．
∵c＜0，
∴4a+2b+c＜0．
∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即5a+3b+2c＜0．故选项C正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0故选项D错误．
故选：C．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线开口向下，顶点为（，1），
∴函数最大值为y＝1，②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③错误．
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，④错误．
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，根据图象判断，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4a＞4acC．a+b+c＞0D．2a+b＜0
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，选项A错误．
∵抛物线顶点纵坐标小于﹣1，
∴＜﹣1，
∴b2﹣4ac＞4a，
∴b2﹣4a＞4ac，选项B正确．
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴选项C错误．
∵0＜﹣＜1，a＞0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，选项D错误．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：
①a﹣b+c＜0 ②2a+b＞0 ③b＞a＞c④3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的结论是（ ）
A．①②③B．①③C．②④D．①②④
【解答】解：由图象可得x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，①正确．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
由抛物线对称轴的位置可得﹣＞1，
∴b＞﹣2a＞0，即2a+b＞0，②正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），则x1x2＝，
由图象不能判断x1x2与1的大小关系，
∴a与c的大小关系不能确定，③错误．
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，2a+b＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b，④正确．
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②错误，不符合题意；
∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，
∴a＜﹣，故③正确，符合题意；
由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），
∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣2a+2b﹣2c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，
∴2c＜3b，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有3个，
故选：B．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0B．a+b＞m（am+b）（m≠1）
C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
选项A正确；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴am2+bm＜a+b，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
故选项B正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，
故选项C正确；
由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
故选项D错误．
故选：D．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴a﹣b+c＜0，∴②错误；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正确；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，∴⑤正确；
故选：B．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．②③
【解答】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0．选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，
又∵x＝﹣1时，y＞0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误．
则其中正确的选项有①③．
故选：C．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②由图可知，函数图象与x轴由2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确，符合题意；
③由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确，符合题意；
④由图象可知，当x＝1时，y＝2，
∴a+b+c＝2，
∴b＝2﹣a﹣c，
∵a﹣b+c＜0，
∴a﹣（2﹣a﹣c）+c＜0，
∴a+c＜1，故④正确，符合题意，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：
①abc＞0；
②a＜﹣；
③4a+2b+c＜0；
④a+b＞n（an+b）（n≠1）；
⑤2c＜3b．
正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由图可知，开口向下，对称轴为直线x＝1，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣2，
∴a＜﹣，故②错误，不符合题意；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③错误，不符合题意；
由图象可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），
∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣2a+2b﹣2c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，
∴3b＞2c，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有2个，
故选：A．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵x＝0时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，②正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，③正确．
∵x＝1时y取最小值，
∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），
∴④正确．
由图象可得x＜1时y随x增大而减小，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减少，⑤正确．
故选：C．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，
则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，
即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ＝HQ．
∴．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝．
∴HQ＝|m﹣n|＝＝．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴．
∴．
∴HQ＝．
∵PQ＝，
∴•＝．
解得：a＝﹣1或．
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
①abc＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；
③若直线y＝2与y＝ax2+bx+c的图象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）两点则x1、x2、x3、x4的大小关系是x1＜x2＜x3＜x4；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3；
⑤a﹣b+c＞0，
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①由题意函数的图象开口向下，与y轴的交点大于0，
∴a＜0，c＞0，
函数的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，正确；
②∵函数图象知函数与x轴交于点为（﹣1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3，正确；
③若直线y＝2与y＝ax2+bx+c的图象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）两点则x1、x2、x3、x4的大小关系是x1＜x3＜x4＜x2，错误；
④由函数图象知，当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确；
⑤∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵函数图象知函数与x轴交于点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣b+c＝+a﹣3a＝﹣a＞0，正确；
综上①②④⑤正确，
故选：D．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y＝，
由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，
∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，
解得：a≥，故⑤错误；
故选：B．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②若y2＞y1，则x2＞4；
③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），
∴x＝，且﹣4a＝a+b+c，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），
于是①的结论正确；
②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
于是②错误；
③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，
∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，
于是③错误；
④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，
即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x1＜x2＜3，
于是④正确．
故选：B．
21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误，不符合题意；
②∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②正确，符合题意；
③∵对称轴为x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝c﹣a＜0，
∴c＜a，故③错误，不符合题意；
④∵对称轴为x＝﹣1，且当x＝0时，y＝c，
∴x＝﹣2时，y＝c，当x＜﹣1时，y随x的增大为减小，
∵﹣n2﹣2≤﹣2，得到当x＝﹣n2﹣2时，y≥c，故④正确，符合题意；
⑤∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），
∵方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根为m，n，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1的交点横坐标位m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1＞m，x2＜n，故⑤正确，符合题意，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①③⑤D．①②③⑤
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，
故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴≤﹣3，
解得：a，
故④正确；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，
故⑤错误；
故选：B．