2024年陕西省初中学业水平考试全真模拟（一）数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解本题的关键．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的展开图，对几何体的正确认识以及运用空间想象能力是解题的关键．
【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：D．
3. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质．设与的交点为，根据三角形的外角性质可得，解出即可．
【详解】解：如图：
∵，
，
，
，
故选：B．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方以及单项式乘多项式，先算幂的乘方，再算单项式乘多项式，即可作答．
【详解】解：
故选：A．
5. 如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得到，点E是AB的点，结合F是AC的中点，推出EF是△ABC的中位线，由CD＝9，求出BC的长度，最后利用三角形中位线的性质求解．
【详解】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，
∴，，
∴点E是AB的点，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴．
∵CD＝9，
∴，
∴．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形中位线判定和性质，理解相关知识是解答关键．
6. 在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则一次函数在平面直角象标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，可得k>0，从而可以判断一次函数图象经过第一、二、三象限，由此即可判断．
【详解】解：∵正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y＝kx+k的图像经过第一、二、三象限，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键在于能够求出k>0．
7. 图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得，由垂径定理得出，利用勾股定理计算出的长度，即可得解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故的弦长为．
故选：C．
8. 已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵图象经过，两点，，
∴对称轴在5到10之间，
∴a的值可能是9．
故选D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)

【答案】
【解析】
【分析】根据数轴可得，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
10. 如图，剪纸社团的同学们要在一张正五边形的彩纸上剪下一个等边三角形，且等边三角形的边长与正五边形的边长相等，则的度数为________．
【答案】##48度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和、等边三角形的性质，先根据多边形的内角和公式得出正五边形的内角和为，从而得出每个内角的度数，再结合等边三角形的性质，即可得出的度数．
【详解】解：∵正五边形的内角和为，
∴每个内角为，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
故答案为：．
11. 在一个矩形中，两条对角线与相交于点，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质．依据矩形的性质，可得到的长，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：矩形中，两条对角线与相交于点，，
，
又，，
，
故答案为：．
12. 如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算．
【详解】解：根据题意得，
而，
所以，
所以．
故答案为：8．
13. 如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据菱形的性质说明，可得，再根据“两角相等的两个三角形相似”得，可得点F的位置，即可得出的最小值，再根据含直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接交于点O，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴等边三角形，
∴，
∴．
∵，于点F，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点F在与夹角为60°且过点O直线上，当点F运动到边上时有最小值，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴长的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，确定的最小值是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】按照去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为，得：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的性质、求绝对值，先根据负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值的性质进行计算，再计算加减即可．
【详解】解：．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
＝
＝
．
17. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使．
（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，要使，则D为垂直平分线上一点，即作的垂直平分线与的交点即为所求．①分别以A、B为圆心，大于长为半径，在两侧画弧，两弧分别交于两点；②连接两交点并延长，与交于点D，点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
18. 如图，点在线段上，，，，延长分别交于点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质可得，利用“”证明即可得证，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难·其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏．
（1）王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为________；
（2）李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种，
∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．
20. 某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？
【答案】乙队还需要5天能解完成任务
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，利用甲、乙两队同时施工4天的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的乙队需要做了天，
，
解得，，
答：乙队还需要5天能解完成任务．
21. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下：
请结合以上信息，解答下面的问题：
在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：）
【答案】此时水桶下降的高度约为
【解析】
【分析】根据题意可得：，然后分别在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
此时水桶下降的高度约为
22. 数学活动课上，探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，发现纸杯的个数x与叠在一起的纸杯的高度，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图
（1）求y与x之间的关系式；
（2）求35个这样的纸杯叠放在一起的高度．
【答案】（1）
（2）叠放在一起的高度是
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法列出函数关系式．
（1）设与之间的关系式为，用待定系数法可得；
（2）将代入表达式即可．
【小问1详解】
解：从表格可知与满足一次函数关系，设，
将，代入得：，
解得：，
与之间的关系式为：；
【小问2详解】
解：当时，
，
答：若有35个上述规格的纸杯，其叠放在一起的高度是．
23. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）抽取的样本中，女生身高在组的人数有多少人？
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在组的学生人数．
【答案】（1）
（2）2人 （3）估计身高在组的学生约有415人
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方法，正确读懂扇形统计图的信息，理解中位数和众数的概念是解此题的关键．
（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在组的百分比，再求出总人数然后计算即可；
（3）确定男、女学生身高在之间的百分比即可．
【小问1详解】
解：∵直方图中，组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在组，
男生总人数为：，按照从低到高的顺序，第20，两人都在组，
∴男生的身高的中位数在组，
故答案为：；
【小问2详解】
解：女生身高在组的百分比为：，
∵抽取的样本中，男生、女生人数相同，
∴样本中，女生身高在组的人数有：（人）；
【小问3详解】
解：，
∴估计身高在组的学生约有415人．
24. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点，延长到点，连接，是的切线．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，并添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得，从而得出，由切线的性质得，从而得出，再由等腰三角形的性质可得，即可得证；
（2）连接，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得出，设，则，再由勾股定理得出的值，从而即可得解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵是切线；
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直距离为，离球桌边缘的水平距离为．
（1）从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与的几组数据如表所示：
根据表中数据求出该抛物线满足的函数关系式；
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起．它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上．
【答案】（1）
（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练运用待定系数法解决问题．
（1）根据题意将代入解析式即可得到，从而得解；
（2）将代入中，求得，再令，求出的值与桌面总长比较即可．
【小问1详解】
解：∵乒乓球离桌面竖直高度的最大值为，
∴设，
将代入，，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下：
∵由（1）得离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系
，
∴将代入中，
∴，
解得：（舍去）或，
∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，他的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，
∴令，即，
解得：或（舍去），
∵，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
26. 问题提出
（1）如图1，在正方形中，点分别为边上的点，连接，试说明线段和之间的数量关系．
我是这样思考的：将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．直接写出线段和之间的数量关系为 ；
问题探究
（2）如图3，在直角梯形中，，，，点是边上一点，若，，求的长；
问题解决
（3）某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和正方形组成，如图4，已知，以为边作正方形，现要在花园里修建一条小路，为了满足观赏需求，小路要尽可能的长，求出此时的度数及小路的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3），的最大值为
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，仔细审题，理解题意是解此题的关键．
（1）由旋转的性质可得，由“”证明，可得，即可得证；
（2）过点作交的延长线于点，可得四边形是正方形，设，表示出，、，再利用勾股定理计算即可；
（3）过点作，取，由勾股定理求出的长，由“”证明，可得，再由三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：（1）∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴点，点，点三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
根据上面结论，可知，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故；
（3）过点作，取，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段有最大值时，只需最大即可，
在中，，
当三点共线时，取最大值，此时，
在等腰直角三角形中，，
∴，
∵，
∴最大值为：．
∴的最大值为，此时．A
欲渡黄河冰塞川
B
将登太行雪满山
C
长风破浪会有时
D
直挂云帆济沧海
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
示意图
状态一（空水桶）
状态二（水桶内加一定量的水）


说明：C为的中点
纸杯的个数
纸杯的高度（）
1
9
2
9.5
3
10
4
10.5
…
…
组别
身高（）
水平距离
0
40
80
120
160
180
竖直高度
18
42
50
42
18
0