广东省梅州市部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章占80%，之前的占20%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 肠粉是广东一种非常出名传统小吃，属于粤菜系，源于唐朝时的泷州．已知广东一家肠粉店制作销售的肠粉时，先让顾客从“放青菜”“放鸡蛋”“青菜与鸡蛋都不放”“青菜与鸡蛋都放”中四选一，再让顾客从牛肉、虾仁、香菇等七种食材中选其一，则这家肠粉店的肠粉共有（ ）
A. 7种B. 11种C. 28种D. 32种
4. 已知函数，则（ ）
A. 有极小值，且极小值0B. 有极小值，且极小值为
C. 有极大值，且极大值为0D. 有极大值，且极大值为
5. 12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 42D. 43
8. 设，，，则（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列判断正确的是（ ）
A.
B. 由数字1，2，3，4可以组成24个无重复数字的四位数
C. 由数字0，1，2，3，4可以组成120个无重复数字的五位数
D. 若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法
10. 空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ）
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 从，，，，，这个点中选个点确定一条直线，则有13条不同的直线
D. 从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有20个不同的平面
11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 的极大值点为
B. 函数的零点个数为3
C. 函数的零点个数为7
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有___________种选择．
13. 已知（）展开式中各二项式系数之和为，则___________．
14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求；
（2）求．
16. 已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）讨论的单调性．
17. 已知函数的图象在点处的切线经过点．
（1）当时，求的方程．
（2）证明：数列是等差数列．
（3）求数列的前项和．
18. 已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，．
（1）求的方程；
（2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件．
19. 已知函数．
（1）若，证明：在上单调递减．
（2），，求取值范围．