河南省新乡市卫辉市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 分式与的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，
故选：C．
【点睛】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义．
2. 某种感冒病毒的直径是米，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将表示成的形式，其中，的值为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，进而可得结果．
【详解】解：将表示成的形式，，为负整数，
∵ ，，
∴表示成，
故选A．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．
3. 在平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，再根据已知条件求出的度数即可得到答案．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 平行四边形是中心对称图形 B. 平行四边形是轴对称图形
C. 平行四边形对角线互相平分 D. 平行四边形对角相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，正确，故A不符合要求；
平行四边形是轴对称图形，错误，故B符合要求；
平行四边形的对角线互相平分，正确，故C不符合要求；
平行四边形对角相等，正确，故D不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称、轴对称的定义．解题的关键是掌握平行四边形的性质．
5. 已知反比例函数下列结论中不正确的是（ ）
A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 若，则D. y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：当，，
∴图象必经过点，A正确，故不符合要求；
∵，
∴图象位于第二、四象限，B正确，故不符合要求；
当，，C正确，故不符合要求；
在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6. 在平面直角坐标系中，要得到函数y＝2x﹣1的图象，只需要将函数y＝2x的图象（ ）
A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向下平移1个单位长度所得函数的解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
7. 已知关于x的分式方程有增根，则k的值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可．
【详解】∵－＝1，
∴k+3=x-2，
∵关于的分式方程－＝1有增根，
∴x-2=0，
∴k= -3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
8. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据反比例函数的性质得出函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，即可比较，，的大小．
【解答】解：∵反比例函数的解析式是，，
函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大．
点，，在反比例函数的图象上，
点和在第二象限，点在第四象限．
．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质与图象的理解与运用能力．反比例函数的性质：，双曲线两个分支位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；，双曲线两个分支位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大．采用数形结合思想，理解反比例函数的性质是解本题的关键．
9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
10. 如图，在中，，，，垂足分别为E，F，且E，F分别是和的中点，连接，若，则的面积等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于点M，首先判断四边形为菱形，再利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出是等边三角形，即可得垂直平分，，再进一步利用勾股定理计算出的值，即可算出三角形的面积．
【详解】连接交于点M，

在中，，
四边形是菱形，
，，
，
，，E，F分别是和的中点，
，
，为等边三角形，
，
，，
，
为等边三角形，，
垂直平分，，
，
，
的面积是:.
故选：C.
【点睛】此题考查菱形的性质与判定，等边三角形的判定及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 分式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据“分母不为0”，列不等式求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
解得，
故答案为：．
12. 请你写出一个图象过点（1，2），且y随x的增大而减小的一次函数解析式_____．
【答案】y=﹣x+3
【解析】
【分析】将点（1，2）代入一次函数解析式为y=kx+b，得到k+b=2，又因为y随x的增大而减小，可得出k小于0，取k=-1，可得出b=3，确定出满足题意的一次函数解析式,本题答案不唯一.
【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
将x=1，y=2代入得：k+b=2，
又此一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
若k=-1，可得出b=3，
则一次函数为y=-x+3．
故答案为y=-x+3
【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．此外本题的答案不唯一，只要满足k为负数，且k+b=2即可．
13. 如图，在中，，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】在中，，，在中，由勾股定理得，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
在中，，
由勾股定理得，
∴,
故答案为：5
【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，，从而可得答案．
详解】解：如图，过作于，
∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定是解本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2坐标，即是B'的坐标．
【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x轴，BM= 3．
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM=OM1=OM2=2，
∠AOA1=∠AOA2=90°
BM=B1M1=B2M2=3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
故答案为： (-2，3)或 (2， -3)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 计算：
（1）＋m＋1
（2）
（3） 解方程：
【答案】(1) (2) (3) 无解
【解析】
【分析】（1）（2）先通分，再把分子相加减即可；
（3）先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】（1）原式=
=
（2）==
（3）去分母得，2x+9=3（4x-7）+2（3x-9）
解这个整式方程得，x=3
检验：当x=3时，3（x-3）=0，x=3是增根，
∴原方程无解
【点睛】本题考查了分式的加减运算和解分式方程的应用，主要考查学生的计算能力．
17. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】根据完全平方差公式化简第一个式子的分母，再把括号的式子通分再相减，运用除以一个数等于乘以它的倒数进行化简，再把x的值代入求解即可得到答案．
【详解】解：
=
；
故当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握完全平方差公式是解题的关键．
18. 已知y与成正比例，当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）判断点是否是函数图象上的点，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用正比例函数的定义设，然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
【小问1详解】
解：设，
把，代入得，解得，
∴，
即y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
点不是函数图象上的点．
理由如下：
当时，，
∴点不是函数图象上的点．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）∠ABC＝50°；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可求解；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明△ABE≌△CDF（ASA），从而证得∠AEF＝∠CFE，即可得到AE∥CF，AE＝CF.
【详解】解：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于M、N两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：
（2）或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，
（1）把代入反比例函数求出的值即可得出其解析式，再把，代入其解析式即可得出的值，故可得出点的坐标，进而利用待定系数法求出对应的解析式即可；
（2）直接根据两函数图象的交点坐标，即可得出结论．
【小问1详解】
解：把代入中得，
反比例函数的解析式为，
把代入中得，解得，
；
把，代入得，，
解得，
一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值．
21. 某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米
（1）设平均每天的工作量为x（单位：万米），用来表示运输公司完成任务所需的时间，并写出x的取值范围．
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方是原计划的1.2倍，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少米？
【答案】（1）2≤x≤3；（2）原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3
【解析】
【分析】（1）利用“每天的工作量×天数＝土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
【详解】解：（1）由题意得，，把代入，得
把代入，得，
∴自变量的取值范围为：，
∴x的取值范围为；
（2）设原计划平均每天运送土石方万米，则实际平均每天运送土石方万米，
根据题意得：，
解得：
经检验为原方程的根，
答：原计划每天运送万米，实际每天运送3万米．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用及函数，找清楚等量关系是解题关键，分式方程解法中的检验是易遗漏点．
22. 已知：如图1，长方形ABCD中，AB=2，动点P在长方形边BC，CD，DA上沿B-C-D-A的方向运动，且点P与点B，A都不重合．图2是此运动过程中，△ABP的面积y与点P经过的路程x之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：
（1）长方形ABCD中，边BC的长为________；
（2）若长方形ABCD中，M为CD边的中点，当点P运动到与点M重合时，x=________，y=________；
（3）当6≤x＜10时，y与x之间的函数关系式是___________________；
（4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y与x的函数图象补充完整．
【答案】（1）4；（2）5，4；（3）y＝10−x；（4）详见解析
【解析】
【分析】（1）由图象2看出当点P到达点C时，即x＝4时，△ABP的面积最大，根据面积公式求出BC；
（2）由长方形ABCD的边长AB＝2，BC＝4，可求出x＝BC＋AB，此时△ABP的面积是4，可从图象上看也可计算；
（3）当6≤x≤10时，求出AP，再根据三角形的面积公式求出y与x之间的函数关系式；
（4）根据6≤x≤10时，y与x之间的函数关系式补全图象．
【详解】解：（1）∵当点P到达点C时，△ABP的面积最大，
∴△ABP的面积＝×AB×BC＝4
∵AB＝2，
∴BC＝4，
故答案为：4．
（2）∵M为CD边的中点，AB＝2，BC＝4，
∴x＝4＋1＝5，此时的y＝AB•BC＝4，
故答案为：5，4．
（3）如图，当6≤x≤10时，
∵AP＝4−（x−6）＝10−x，
∴△ABP的面积＝AB•AP＝10−x，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝10−x．
故答案为：y＝10−x．
（4）如图2，利用6≤t≤10时，y与t之间的函数关系式是：y＝10−x，
补全图象如下：
【点睛】本题主要考查了四边形综合题及动点问题的函数图象．解题的关键是根据点P不同的位置得出y与x之间的函数关系式．
23. 在中，，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线运动，连接交于点O，设点P的运动时间为t秒．

（1）当点P在边上运动时，直接写出的长为＝________，＝________．（用含t代数式表示）
（2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值；
（3）点Q与点P同时出发，且点Q在边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线平分的面积时，直接写出t的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）秒或秒或秒
【解析】
【分析】（1）证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得；
（2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，再建立方程求解即可；
（3）如图，连接交于G，则点G为的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分的面积，证明，可得，即，解方程即可；当点P运动到点G时，如图直线平分的面积，此时，而，再建立方程即可，当Q与B重合，P与D重合时，此时平分平行四边形的面积，此时．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴当点P在边上运动时， ，；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴当是等腰三角形时，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，解得，
∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，的值是秒；
小问3详解】
如图，连接交于G，则点G为的对称中心．

当点P在上，且过点G时，直线平分的面积，
∵，
∴，，而，
∴，
∴，即，
∴．
当点P运动到点G时，如图直线平分的面积，
此时，

∵，
∴，则，
当Q与B重合，P与D重合时，此时平分平行四边形的面积，此时．
【点睛】本题考查的是动态几何，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，利用数形结合的方法解题，清晰的分类讨论是解本题的关键．