浙江省宁波市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为110分，考试时间为90分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
选择题部分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵，，而，，
∴大小在3与4之间的是，
故选：C．
2. 下列图案是一些国产新能源车的车标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．
3. 正九边形的每一个外角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正n多边形的每一个外角的度数为，进行求解即可．
【详解】解：正九边形的每一个外角的度数是,
故选：B．
4. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 每一个内角都大于60°B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60°D. 有一个内角小于60°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．
【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．
故选：A．
5. 2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
．
故选：C．
【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
6. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可．
【详解】∵甲、乙、丙、丁四位同学的平均成绩相同，方差分别是，
∴方差最小的为丁，
∴派丁同学去参赛更合适．
故选：D．
【点睛】本题考查利用方差作决策．熟练掌握方差越小，成绩越稳定是解题的关键．
7. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解；添加条件，再由，不能根据一组对边相等，另一组对边平行证明四边形是平行四边形，故A符合题意；
添加条件，再由，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故B不符合题意；
添加条件，由得到，进而得到，则，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故C不符合题意；
添加条件，再由不能根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选；A．
8. 已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等实数解，
当且时，方程有两个不相等的实数解．
综上所述，说法C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
9. 如图，平行四边形的对角线相交于点的平分线与边相交于点是中点，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形的性质可得，再根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴．
故选：B．
10. 如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，根据题意过作于，连接，进而结合全等三角形的判定与性质得出进行分析计算即可.
【详解】解：在中，，斜边，
，，
过作于，连接，

在和中，
，
，
同理，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
、、三点共线，
，，
，
图中，
，
在和中，
，
，
同理，，
．
故选：B．
非选择题部分
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，
，解得，
故答案为：．
12. 若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的方差是______．
【答案】####
【解析】
【分析】首先根据众数的定义求出的值，进而利用方差公式得出答案．
【详解】解：，，，，的众数是，
，
，
，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了方差以及众数的定义，正确记忆方差的定义是解题关键．
13. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
把代入得，，即，
∴，
故答案为：8．
14. 已知菱形的周长为，其相邻两内角的度数比为，此菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形性质，含度角的直角三角形的性质；根据相邻两内角的度数比为：，可求出一个角，根据周长为，求出菱形的边长，根据直角三角形里角的性质求出高，从而求出面积．
【详解】解：作于点，
其相邻两内角的度数比为：，
，
菱形的周长为，
．
．
菱形的面积为：．
故答案为：．
15. 如图，在正方形ABCD中，△ABE为等边三角形，连接DE，CE，延长AE交CD于F点，则∠DEF的度数为_____．
【答案】105°
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，∠BAD=90°，△ABE为等边三角形，可得AE=BE=AB，∠EAB=60°，从而AE=AD，∠EAD=30°，进而求得∠AED的度数，再根据平角定义即可求得∠DEF的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE为等边三角形，
∴AE=BE=AB，∠EAB=60°，
∴AE=AD，∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=30°，
∴∠AED=∠ADE=（180°﹣30°）=75°，
∴∠DEF=180°﹣∠AED=180°﹣75°=105°．
故答案为105°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用正方形的性质和等边三角形的性质．
16. 如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形建立方程是解题的关键．设小矩形的长为x，根据“阴影部分的面积为16”列出方程求解．
【详解】解：设小矩形的长为x，
根据题意，得，
解得（负值舍去），
故答案：．
17. 如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接，根据点是平行四边形的对称中心得到点是线段的中点，且，再由，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
点是平行四边形的对称中心，
点是线段的中点，且，
令
，
，，
，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，点是的中点，将沿折叠后得到延长交射线于点，若，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、折叠的性质、勾股定理，连接，由折叠和线段中点的性质可得 ，，利用可得，可得，分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，利用勾股定理即可求解，找准点的位置是解题的关键．
【详解】解：由矩形的性质可知，，则，
连接，如图：
由折叠和线段中点的性质可得 ，，
，
（公共边），
，
，
分两种情况：
如图（1），
当点在线段上时，
易知，，
，
在中，由勾股定理得，，
解得：或（舍去），
如图（2），
当点在的延长线上时， 易知，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
三、解答题（19、20、21每题6分，22题8分，23、24每题10分，共46分）
19. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式并合并同类二次根式，再按照二次根式的除法进行即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算及混合运算，关键是化为最简二次根式．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
∴
解得：
【小问2详解】
解：
∴
∴
解得：，
21. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点已知两点是格点仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法

（1）如图，以线段为边长作菱形；
（2）如图，以线段为边作一个面积为的正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）作一个边长为的菱形即可；
（2）作一个边长为的正方形即可．
【小问1详解】
如图所示，菱形即为所求；
或
【小问2详解】
如图所示，正方形即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的判定以及正方形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
22. 每年的月日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级各名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分分，分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：
．
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；______；______．
（2）估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数；
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由．
【答案】（1），，
（2）人
（3）八年级的学生成绩更优异，理由见解析
【解析】
【分析】（）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（）用乘以不合格率即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数比较即可判断；
本题考查了条形统计图和统计表，平均数、中位数、众数，看懂统计图表是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
，，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人；
【小问3详解】
解：八年级学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
23. 根据以下销售情况，解决销售任务．
【答案】任务1：件，件；任务2：甲店每天的盈利为1050元，乙店每天的盈利为1040元；任务3：11元
【解析】
【分析】任务1，由题意即可得出结论；
任务2，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图2，若，求；
（3）如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解；
（3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
∴，
，即
，

∴；
【小问3详解】
解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
附加题部分
25. 若，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】，
．
令，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
26. 实数满足，且则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据和可整理得，再进行因式分解得，进而可求得a、b、c的值，则可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
27. 如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键．
连接，，易知，因为，所以求的最小值只要求出的最小值，然后减去1即可，再利用将军饮马模型构造出的最小值时的线段，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
合格率
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面
甲店
乙店
日销售情况
每天可售出20件，每件盈利40元．
每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查
经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置
设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1
甲店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
乙店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
任务2
当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3
总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．