2020年海南省高考数学试卷（新高考）（黄志军审校）

这是一份2020年海南省高考数学试卷（新高考）（黄志军审校），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则
A．B．C．D．
2．
A．1B．C．D．
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种B．90种C．60种D．30种
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
A．B．C．D．
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A．B．C．D．
6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
7．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，C．，，D．，，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知曲线．
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
10．如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
11．已知，，且，则
A．B．
C．D．
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，，定义的信息熵．
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，2，，，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 ．
16．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）已知公比大于1的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：
20．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
21．（12分）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
（1）求的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
2020年海南省新高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A．B．C．D．
【思路分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解．
【解析】：集合，，．故选：．
【总结与归纳】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．
A．1B．C．D．
【思路分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．
【解析】：，故选：．
【总结与归纳】本题考查复数的乘除运算，考查化简运算能力，是一道基础题．
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种B．90种C．60种D．30种
【思路分析】让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论．
【解析】：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；
余下的3人去丙场馆；故共有：种安排方法；故选：．
【总结与归纳】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
A．B．C．D．
【思路分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点处的水平面所成角．
【解析】：可设所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面，
由图可得为晷针与点处的水平面所成角，又为且，
在中，，，故选：．
【总结与归纳】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A．B．C．D．
【思路分析】设只喜欢足球的百分比为，只喜欢游泳的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，画出图形，列出方程求解即可．
【解析】：设只喜欢足球的百分比为，只喜欢游泳的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，
由题意，可得，，，解得．
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．故选：．
【总结与归纳】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．
6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【思路分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【解析】：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．故选：．
【总结与归纳】本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中档题．
7．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【思路分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
【解析】：画出图形如图，
，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，
在处取得最小值，，最小值为，
是边长为2的正六边形内的一点，
所以的取值范围是．故选：．
【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．
8．若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【思路分析】根据函数奇偶性的性质，作出函数的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解析】：定义在的奇函数在单调递减，且（2），
的图象如图：
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
【总结与归纳】本题主要考查不等式的 求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数的草图，是解决本题的关键．难度中等．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知曲线．
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
【思路分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
【解析】：．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；
．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；
．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，故正确；
．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；
故选：．
【总结与归纳】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．
10．如图是函数的部分图象，则
A．B．C．D．
【思路分析】根据图象先求出函数的周期，和，利用五点法求出函数的的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解析】：由图象知函数的周期，即，即，
由五点对应法得，得，
则
，故选：．
方法二：（四川代尔宁补解）由函数图像可知：，则，所以不选A, 当时，，
解得：，即函数的解析式为：.
而故选：BC.
【总结与归纳】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
11．已知，，且，则
A．B．
C．D．
【思路分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解析】：①方法一：已知，，且，所以，则，故正确．
方法二：（四川代尔宁补解），
当且仅当时，等号成立，故A正确；
②方法一：利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．
方法二：（四川代尔宁补解），所以，故B正确；
③，故错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．
故选：．
【总结与归纳】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，，定义的信息熵．
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，2，，，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为1，2，，，且，2，，，则
【思路分析】对于，可得，根据信息熵的定义即可判断；对于，可得，表示出，进而构造函数，利用导数判断其单调性即可；对于，依题意，化简，即可判断；对于，分别求出，，利用作差法结合对数的运算即可判断．
【解析】：．若，则，故，故正确；
．若，则，，
设，，
则，
令，解得，此时函数单调递减，
令，解得，此时函数单调递增，故错误；
．若，则，
由对数函数的单调性可知，随着的增大而增大，故正确；
．依题意知，，，
，，，
，
又，
，
又，
，，故错误．故选：．
【总结与归纳】本题以信息熵的定义为载体，涉及了对数运算，利用导数研究函数的单调性，作差法的运用等，旨在考查学生接收新知识，运用新知识的意识，考查化简变形、运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ．
【思路分析】由题意求出直线的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
【解析】：解法一：由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，
代入并化简得，
设，，，，则；，
由抛物线的定义可得．故答案为：．
解法二：（四川代尔宁补解）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，解得
所以故答案为：
解法三：（四川代尔宁补解）
【总结与归纳】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
【思路分析】首先判断是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．
【解析】：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，
则是以1为首项、以6为公差的等差数列，
故它的前项和为，故答案为：．
【总结与归纳】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路分析】设大圆的半径为，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解析】：
作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为，
到直线和的距离均为，，
又，，
，，
，，，
由于是圆弧的切线，，，
设大圆的半径为，则，
，，
，，解得，
图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积，
所以．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
16．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
【思路分析】画出直观图，距离如图所示的坐标系，设出的坐标，通过．求出的轨迹方程，然后求解以为球心，为半径的球面与侧面的交线长．
【解析】：由题意直四棱柱的棱长均为2，．可知：，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则．
由题意可知．
可得：．
即，
所以在侧面的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆弧．
以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：．
故答案为：．
【总结与归纳】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难题比较大．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【思路分析】①根据题意，结合正弦定理，可得，，结合，运用余弦定理，即可求得．
②根据题意，中，，即可求得，进而得到．运用余弦定理，即可求得．
③根据，即，可列式求得，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在．
【解析】：解法一：①．中，，即，，，
，，，．
②．中，，．
，即，．
，．
③．，即，
又，，
与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
解法二：（补解）∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
【总结与归纳】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．
18．（12分）已知公比大于1的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
【思路分析】（1）根据题意，列方程组，解得和，然后求出的通项公式；
（2）根据条件，可知，，，是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．
【解析】：（1）设等比数列的公比为，
则，，，．
（2），
．
【总结与归纳】本题考查等比数列的通项公式，前项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．
19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：
【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据题目所给的数据填写列联表即可；
（3）计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解析】：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，可得下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，
由，
；
故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，
【总结与归纳】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．
20．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【思路分析】（1）过在平面内作直线，推得为平面和平面的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，，，运用向量法，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解析】：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，
设，，，，，，，1，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
【总结与归纳】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
（1）求的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
【思路分析】（1）利用已知条件求出的坐标，然后求解，得到椭圆方程．
（2）设出与直线平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．
【解析】：（1）由题意可知直线的方程为：，即，
当时，解得，所以，椭圆过点，
可得，解得，所以的方程：．
（2）设与直线平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值．
代入椭圆方程：．
化简可得：，所以△，即，解得，
与距离比较远的直线方程：，
利用平行线之间的距离为：，
．
所以的面积的最大值：．
【总结与归纳】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是中档偏难题．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【思路分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；
（2）方法一：不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围；
方法二：构造两个基本不等式，，则原不等式转化为，再分类讨论即可求出的取值范围，
方法三：利用分类讨论的思想，当，此时不符合题意，当时，，令，
再根据导数和函数最值的关系即可证明，
方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出，，再求出的范围，再利用导数求的范围，即可求出的范围．
【解析】：（1）当时，，
，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）方法一：由，可得，即，
即，
令，则，在上单调递增，
，即，
令，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（1），，，故的范围为，．
方法二：由可得，即，
设，恒成立，在单调递增，
，，即，
再设，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），，即
，，则，此时只需要证，即证，
当时，，恒成立，
当时，，此时不成立，
综上所述的取值范围为，．
方法三：由题意可得，，，
易知在上为增函数，
①当时，，，
存在使得，
当时，，函数单调递减，
（1），不满足题意，
②当时，，，，
令，，易知在上为增函数，
（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），即，
综上所述的取值范围为，．
方法四：，，，，
易知在上为增函数，
存在，使得，则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
设，易知函数在上单调递减，且（1），
当，时，，，时，，
设，，，恒成立，在，上单调递减，
（1），
当时，，，．
【总结与归纳】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．
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《初高中数学教研微信系列群》简介：
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编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名
欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！
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