2022年北京市高考数学试卷（田昊、雷芳）

这是一份2022年北京市高考数学试卷（田昊、雷芳），共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
2．若复数满足，则
A．1B．5C．7D．25
3．若直线是圆的一条对称轴，则
A．B．C．1D．
4．已知函数，则对任意实数，有
A．B．
C．D．
5．已知函数，则
A．在，上单调递减
B．在，上单调递增
C．在上单调递减
D．在，上单调递增
6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是．下列结论中正确的是
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
8．若，则
A．40B．41C．D．
9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为
A．B．C．D．
10．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数的定义域是 ．
12．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
13．（5分）若函数的一个零点为，则 ； ．
14．（5分）设函数若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 ．
15．（5分）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，2，．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；
②为等比数列；
③为递减数列；
④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
17．（14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
21．（15分）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
（Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4；
（Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：．
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2022年北京市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】由补集的定义直接求解即可．
【解析】因为全集，集合，
所以或，．
故选：．
【试题评价】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．若复数满足，则
A．1B．5C．7D．25
【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解析】由，得，
．
故选：．
【试题评价】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
3．若直线是圆的一条对称轴，则
A．B．C．1D．
【思路分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得值．
【解析】圆的圆心坐标为，
直线是圆的一条对称轴，
圆心在直线上，可得，即．
故选：．
【试题评价】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题．
4．已知函数，则对任意实数，有
A．B．
C．D．
【思路分析】根据题意计算的值即可．
【解析】因为函数，所以，
所以．
故选：．
【试题评价】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．
5．已知函数，则
A．在，上单调递减
B．在，上单调递增
C．在上单调递减
D．在，上单调递增
【思路分析】利用二倍角公式化简得，周期，根据余弦函数的单调性可得的单调递减区间为，，单调递增区间为，，进而逐个判断各个选项的正误即可．
【解析】，周期，
的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
对于，在，上单调递增，故错误，
对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，
对于，在上单调递减，故正确，
对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，
故选：．
【试题评价】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【思路分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解析】【解法一】：因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，
令，解得，表示取整函数，
所以存在正整数，当时，，充分性成立；
当时，，，则，必要性成立；
是充分必要条件．故选：．
【解法二】：（田昊补解）设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由（令或若）可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
【试题评价】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是．下列结论中正确的是
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【思路分析】计算每个选项的的值，结合与图可判断结论．
【解析】对于，当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于液态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故正确；
故选：．
【试题评价】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．
8．若，则
A．40B．41C．D．
【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出和，以及的值，可得结论．
【解析】【解法一】，
，故选：．
【解法二】：(田昊补解)赋值法：令x=1，原式为：--- = 1 \* GB3 ①，令x=-1，--- = 2 \* GB3 ②， = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得：，故选：．
【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为
A．B．C．D．
【思路分析】设点在面内的投影为点，连接，根据正三角形的性质求得的长，并由勾股定理求得的长，进而知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆．
【解析】设点在面内的投影为点，连接，则，
所以，
由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，
所以其面积．
故选：．
【试题评价】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．
10．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设，计算可得，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．
【解析】【解法一】：在中，，，，
以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，
设，
因为，
所以，
又，，
所以，
设，，
所以，其中，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为6，
所以，，
故选：．
【解法二】：(田昊补解)在中，，
所以 （雷芳校对）




其中，（雷芳校对）
所以， 故选：
【解法三】：(田昊补解)在中，设M是AB的中点，
因为，，
所以, , , |CM|=

（雷芳校对）

因为,
所以，
故选：
【试题评价】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数的定义域是 ，， ．
【思路分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域．
【解析】要使函数有意义，
则，解得且，
所以函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
【试题评价】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【思路分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得，求出渐近线方程，结合已知即可求解的值．
【解析】双曲线化为标准方程可得，
所以，双曲线的渐近线方程，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得．故答案为：．
【试题评价】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）若函数的一个零点为，则 1 ； ．
【思路分析】由题意，利用函数的零点，求得的值，再利用两角差的正弦公式化简，可得的值．
【解析】函数的一个零点为，，
，函数，
，故答案为：1；．
【试题评价】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．
14．（5分）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0 ；的最大值为 ．
【思路分析】对函数分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时的范围即可．
【解析】【解法一】：当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，满足题意；
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；
当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；
综上所述：的取值范围是，，
故答案为：0，1．
【解法二】：（田昊补解）因为一次函数，
= 1 \* GB3 ① 若时，当时，上 QUOTE 单调递增，
，故 QUOTE 没有最小值，不符合题目要求，舍去；
= 2 \* GB3 ②若时，当时，上 QUOTE QUOTE 单调递 QUOTE 减，
所以 QUOTE QUOTE QUOTE ，
当 QUOTE 时，如果存在最小值，
有 QUOTE 解得，
= 3 \* GB3 ③ 若时， QUOTE ，∴ QUOTE ，符合题意。
综上可得:.故答案为：0，1．
【试题评价】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．
15．（5分）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，2，．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；
②为等比数列；
③为递减数列；
④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【思路分析】对于①，求出即可得出结论；对于②，假设为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于③，容易推得；对于④，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断．
【解析】对于①时，可得，当时，由，可得，可得，故①正确；
对于②，当时，由得，于是可得，即，
若为等比数列，则时，，即从第二项起为常数，可检验不成立，故②错误；
对于③，因为，，，
当时，，
所以，
所以，
所以为递减数列，故③正确；
对于④，假设所有项均大于等于，取，则，则与已知矛盾，故④正确；
故答案为：①③④．
【试题评价】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
【思路分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得，进一步计算可得角；（Ⅱ）根据三角形面积求得，再根据余弦定理求得，相加可得三角形的周长．
【解析】（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
【试题评价】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
17．（14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【思路分析】（1）通过证面面平证线面平行；
（2）通过证明，，两两垂直，从而建立以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．
【解析】证明一：取中点，连接，，
为的中点．，且，
四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
平面，
是中点，是的点，
，平面；平面，
平面，又，
平面平面，
又平面，平面；
证明二：（田昊补解）：取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，（雷芳校对）则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（雷芳校对）取BC的中点为D，连接B1D , ND,为的中点．，且，为的中点．,且，,.
四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
平面，
侧面为正方形，平面平面，平面平面，
平面，，又，，
若选①：；又，平面，
又平面，，又，
，，，两两垂直，
若选②：平面，，平面，平面，
，又，，，
，，
，又，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，2，，
，1，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，，，
又，2，，
设直线与平面所成角为，
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
【试题评价】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．
18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【思路分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出．
（Ⅲ）根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大．
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）甲成绩的平均值为9.479，乙成绩的平均值为9.46，丙成绩的平均值为9.465，
故甲获得冠军的概率估计值最大．
【试题评价】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．
【思路分析】（Ⅰ）利用已知和，，的关系，可得，，进而得到椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出，，再表示出，化简即可．
【解析】（Ⅰ）由题意得，
，，，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）【解法一】：设过点的直线为，，，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，△，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，，同理，，
，
，，
．
【解法二】：（田昊补解）因为点，在轴上，不妨设点位于点的左边，
设
则 , 所以
设直线： ,
由得 ，
设,得
代入直线： ,得, ,
，可得,
因为, ，
由得
把代入，得，即
【试题评价】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
【思路分析】（Ⅰ）对函数求导，将代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；
（Ⅱ）对求导，并研究导函数的正负即可．
（Ⅲ）构造函数，利用单调性判断与大小关系即可．
【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为1，故，化简得：；
（Ⅱ）【解法一】：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在，单调递增，又因为，
故在，恒成立，故，
故在，单调递增；
【解法二】：（田昊补解）由（Ⅰ）有：，
=
=
因为，所以 .
（雷芳校对）
故在，恒成立，
故在，单调递增；
（Ⅲ）证明一：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，
故在，恒成立，故在，单调递增，
设，，
由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
证明二：（田昊补解）由（Ⅱ）有在，单调递增，
又因为t>0,所以在，
即
所以在，单调递增，
因为，则，
而，，故，得证.
证明三：（田昊补解）设,其中s>0,t>0.
由（Ⅱ）有在,单调递增，
又因为t>0,所以在，
即
所以在，单调递增，
因为，则,
而，，故，得证.
【试题评价】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．
21．（15分）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
（Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4；
（Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：．
【思路分析】（Ⅰ）直接根据连续可表数列的定义即可判断；
（Ⅱ）采用反证法证明，即假设的值为3，结合是连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；
（Ⅲ）首先连续可表数列的定义，证明得出，然后验证是否成立，进而得出所证的结论．
【解析】（Ⅰ）若，则对于任意的，2，3，4，，
，，，，，
所以是连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以不是连续可表数列；
（Ⅱ）假设的值为3，则，， 最多能表示，，，，，，共6个数字，
与是连续可表数列矛盾，故；
现构造，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意．
故的最小值为4．
（Ⅲ）【解法一】：先证明．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即．
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
故．
【解法二】：（田昊补解），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
．
【试题评价】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题
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《初高中数学教研微信系列群》简介：
目前有24个群（18个高中群，2个四川群，1个直播群，3个初中群），共10000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.
宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！
特别说明：
1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；
2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：
教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三
编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名
欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！
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