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人教A版（2019）高中数学必修一讲义03一元二次函数、不等式
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常见不等式的解法 学习目标1. 用函数观点看一元二次不等式，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，了解一元二次不等式于相应函数、方程的联系；2. 掌握简单绝对值不等式的解法，了解高次不等式、分式不等式、根式不等式等常见不等式的求法．【备注】本节重点：用函数观点看一元二次不等式，绝对值不等式，分式不等式的解法；本节难点：含参的一元二次不等式，绝对值三角不等式；后置知识：函数．一、 一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法图象法： 解形如 的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定方程 的解； （2）画出函数 的图象（简图）； （3）由图象得出不等式的解集. 经典例题 1. 若 为 的解集，则 的解集为（ ）． A. B. C.D.或或 【备注】建立二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的对应关系非常重要，二次函数 【答案】D【解析】由题知，，，为方程的两根， ∴ ， ， 则代入 ， 解得 或 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算 2. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D.或或 【备注】 通过因式分解，将一元二次不等式改写成零点式： ，结合二次函 数图象的性质，不等式的解集就显而易见了．需要留意的是，求解一元二次方程和考查二次函数的一般方法，对于一元二次不等式而言，也很常用．【答案】C 【解析】 ， 即 ， 解集为 或 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算巩固练习3. 解下列不等式． （ 1 ）（ 2 ）．． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 【答案】（ 1 ） 或 ． （ 2 ） ． （ 3 ）不等式无解．（ 4 ）不等式解为全体实数．【解析】（ 1 ）原式化简得（ 2 ）原式化简得或．． （ 3 ）原式化简得 ， 而 恒大于 ， ∴不等式无解．（ 4 ）原式化简得恒大于 ， ∴不等式解为全体实数．【标注】【知识点】一元二次不等式 4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集 为 ． 【答案】【解析】∵的解集为， ∴ ， 是 的两根，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】韦达定理；一元二次不等式 5. 若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：令．对称轴为， 若 ，则 ， 是方程 的两个实根，解得 ， ，矛盾，易错选D； 若 ，则 ， ，相减得 ，代入可得 ，矛盾，易错 选C；若，则的顶点在上，，否则在顶点处不满足，所 以此时 的解集是 ．所以 的解集是 ，所以 ，由 ，解得 ，由 解得 ，所以 ． 故选：B．【标注】【知识点】一元二次不等式2. 含参的一元二次不等式含参问题的一元二次不等式的两类问题：（1）恒成立与有解问题①先讨论二次项系数和零的关系②考虑对应二次函数的开口方向；②用判别式法或将参数与变量分离（参变分离法）； （2）能因式分解的一元二次不等式的分类讨论①先讨论二次项系数和零的关系；②因式分解后讨论两根的大小关系．经典例题 6. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】 本题是较为典型的一元二次不等式的恒成立问题，可应用一般性的解题步骤，分类讨 论： 首先考虑二次项系数能否取 ，本题中二次项系数为 时，原不等式为 恒成立； 再考虑二次项系数不为 时不等式对应的二次函数的开口方向，本题是恒小于 ，因此开口应该向下，同时判别式小于 ，不难求解 的范围；当然，最后不要忘记，将两类情形求得的结果取并集．【答案】D 【解析】当 即 时，不等式为 ，符合， 当 时，要使不等式恒成立， 即 ， 解得 ， 综上所述， ． 故选： ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式 7. 已知命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题中的关于一元二次不等式的存在性命题，属于能成立问题，等同于对应的一元二得最大值为正，对于开口向上的二次函数而言，函数某一区间的最大 值一定在区间端点处取，因此只需 或 处函数值为正即可． 【答案】C【解析】记， 则函数 的图象是开口向上的抛物线， 因命题“ ， ”是真命题， 故 或 ， 即 或 ， 故 或 ， 故 的取值范围为 ． 故选 ．【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；根据命题真假求参数的范围；一元二次不等式 8. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题中，参数都集中常数项（学过分式不等式的解法和基本不等式之后，一次项或二恒成立，即证 恒成立，须使左边自变量多项式的最小值恒大于右边参数多项式，解一元二次不等式 即可；当然，本题使用判别式法也并不难解． 【答案】A【解析】参变分离要证恒成立 即证 恒成立 ∵ ， 且若 对任意实数 恒成立， 则 ，解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题 9. 解关于 的不等式 ． 【备注】本题是比较典型的能因式分解的含参一元二次不等式问题，并且二次项系数、一次项 【答案】答案见解析．【解析】（ ）当时，原不等式为，解集为； （ ） 时，不等式化为 ， ① 时，不等式等价为 ， 进一步讨论：（ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ； ② 时，不等式等价为 ，进一步分类讨论： （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ． 【标注】【思想】分类讨论思想【知识点】一元二次不等式；解不等式中的分类讨论【素养】数学运算巩固练习 10. 若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围 是 ． 【答案】【解析】①当时，得或， ∵ 时，原式可化为 ，恒成立，符合题意． 当 时，原式可化为： ，对一切实数 不恒成立，故舍去； ∴ ； ② 时即 ，且 ， ∵ 对一切实数 恒成立， ∴有 ， 解得 ． 综上得 ． 【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；一元二次不等式 11. 已知命题 ：“至少存在一个实数 ，使不等式 成立”为真，则参数 的取 值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A【解析】方法一：由题意知：在 上有解，令， 则只需 或 ， 即 或 ， 整理得 或 ． 即 ，故参数 的取值范围为． 故选 ．方法二：， 无解，令， 则 ， 即 ， 解得 ．故命题 中， ，故参数 的取值范围为． 故选 ．【标注】【知识点】根据命题真假求参数的范围 12. 不等式 的解集是 ，其中 ，则不等式 的 解集是（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式解集是， ∴ ，且有 ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，∴不等式可变形为：， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 所以不等式 的解集为 ， 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式；一元二次方程根的分布 13. 关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵关于 的不等式的解集中，恰有 个整数， ∴ ， 故 ． 故选 ．【标注】【知识点】韦达定理14. 若正实数 ， 满足，且不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】【解析】∵正实数 ， 满足，可得， ∴不等式 恒成立， 即 恒成立， 变形可得 恒成立， 即 恒成立， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， 即 ，解不等式可得 ，或 （舍负） 可得 ，要使 恒成立，只需 恒成立， 化简可得 ， 即 ，解得 或 ， 故答案为： ． 【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题；基本不等式成立的条件；二次函数相关的恒成立问题二、 其他常见不等式1. 绝对值不等式 （一）绝对值的几何意义：① 是指数轴上 点 到原点 的距离；②（二）绝对值不等式 和①公式法是指数轴上的解法，两点间 的距离 当 时， , 当 时， 或 ， ； 当 时， ， ． ②平方法 当 时，也可以使用平方法， ， ； ③分类讨论法（针对绝对值符号内部分的正负进行分类讨论，先去绝对值符号，再解不等式） 例如， 的解集为， ． 经典例题15. 解下列绝对值不等式． （ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【备注】本题中的三道绝对值不等式分别代表了三种类型，（1）只有一个含未知数的绝对值项，用公式法求解较为方便；（2）一个含未知数的绝对值项与一个含未知数的非绝对值项，可先对绝对值内部正负进行判断，去绝对值符号；（3）两个含未知数的绝对值项；针对两个绝对值项的正负进行分类讨论． 【答案】（ 1 ） 或 ． （ 2 ）（ 3 ）且．． 【解析】（ 1 ）原不等式等价于 或 ， 解得 或 ， 所以原不等式的解集是 或（ 2 ）当 时，不等式恒成立，此时解集为；． 当 时，原不等式等价于① 或② ， 解①，得 ；解②，得 或 ， ∴原不等式的解集为 且 ． （ 3 ）分别令 ， 得零点为 ， ， ∴原不等式等价于：① 解集为 ； 或② ； 或③ ， ， 综上，不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式 16. 若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 ． 【备注】本题解析中提供的几何解法是一种极为便捷的方法，除此以外，作为含绝对值不等式的恒成立问题，本题等价于, ，求三个恒成 立问题的交集． 【答案】【解析】由于表示数轴上的 对应点到 和 对应点的距离之和，它的最小值为 ，故当时，关于实数 的不等式无解， 故答案为： ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式【素养】数学运算巩固练习 17. 不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式可化为， ，或 ， 解得 ，或 ， 故不等式 的解集为 ． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式 18. 不等式 的解集为 ． 【答案】【解析】， ． ∴ ． ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式19. 已知关于 的不等式的解集为 ，则实数 的取值范围为． 【答案】【解析】令， 则当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， ∴ ．已知关于 的不等式的解集为 ，则对，有恒成 立，∴，即实数 的取值范围为． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式；不等式中的恒成立与能成立问题（三）绝对值三角不等式（拓展） 定理 ：若 为实数，则 ，当且仅当 ，等号成立； 定理 ：设 为实数，则 ，等号成立 ，即在数轴 上， 落在 间．推论 ：推论 ：一般来说可以这样记忆：，且等号只能在一端取得． 回过头来看看前面的问题，是否可以用绝对值三角不等式，快速地得出答案呢？ 【备注】定理 的证明可以由两边平方作差得到，也可以根据几何意义在数轴上推导；定理 和 经典例题 20. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 【备注】 本题使用绝对值三角不等式求出 ；后续求解就变得容易． 【答案】C【解析】∵不等式恒成立， ∴ 恒成立， 由绝对值三角不等式 ， 故 ， 解得： 或 ． 故选： ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题 21. 若关于 的不等式 （ ）的解集为空集，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】 应用绝对值三角不等式便可快速地得出 的最小值． 【答案】A 【解析】表示数轴上 对应的点到 和 对应的点的距离之和，其最小值等于 ．由的解集为空集， 可得 恒成立，故有 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式；绝对值三角不等式巩固练习 22. 若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】 在应用绝对值三角不等式的时候，有时需要灵活地调整绝对值内部的符号． 【答案】C【解析】， ∵ 有实数解， ∴ 有解， 即 ， ∴ ，∴ 的取值范围为． 故选 ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含绝对值的不等式 23. 对于任意 、 ， 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】绝对值三角不等式2. 高次不等式一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线引线法）求解，其步骤是：（1）对高次不等式进行处理，使得不等号一侧为 ；另一侧最高次项的系数为正数；（2）将不等号改为等号，因式分解；（3）将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的“奇穿偶不穿”）；（4）观察不等号，如果不等号为" "，则取数轴上方，穿根线以内的范围，如果不等号为" "，则取数轴下方，穿根线以内的范围．例题讲解24. 请解下列不等式： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 5 ） ． 【备注】 须留意重根，奇穿偶不穿，如 ；同时须注意最高次项的系数正负，如 ， 可以如解析中一样改变穿根的起始位置，更建议改变不等号方向，以避免混淆．【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）【解析】（ 1 ）x –3 –2 –1 O 1 2 3 4 （ 2 ）（ 3 ）恒成立，∴原不等式等价于，即. x –3 –2 –1 O 1 2 （ 4 ） x –2 –1 O 1 2 3 4 （ 5 ） –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 x 【标注】【知识点】高次不等式 25. 设 ，若 时均有 ，则 ． 【备注】本题主要应用“奇穿，偶不穿”的结论，首先对 进行分类讨论： 若 ,易验证舍去； 若 ，则三个根中两负一正，因此 时，仅有一个奇次方根，必穿横轴，因此不满 足 时恒大于 的条件； 若 ，则三根中两正一负，为使 时，不等式恒成立，须使两个正根重合，为一个 偶次方根，不穿横轴． 【答案】【解析】由题意知，此为高次方程讨论解集问题，故有如下情况： ①当 时，可检验不满足要求，舍去； ②当求，故将根③当时，令表达式等于零得根分别为 ，，依据穿针引线法相关结论，知此时应有代入二次方程 ，得 ．时，令表达式等于零得根分别为 ，才能满足要，， ，依据穿针引线法相关结论，可检验不满足要求，舍去 综上，【标注】【方法】穿根法【素养】数学运算【思想】分类讨论思想【知识点】高次不等式【知识点】含字母系数的不等式巩固练习26. 解下列高次不等式： （ 1 ） ． （ 2 ） ． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）试根可得 为方程的一个解，故对方程左边进行因式分解一定存在一个因子， 则原不等式可化为：．（ 2 ）略．【标注】【知识点】高次不等式 27. 设 ， 在 上恒成立，则 的最大值为 ． 【答案】【解析】∵在上恒成立， ∴ ， 或 ， ， ①若 在 上恒成立，则 ，即 ， 此时当 时， 不成立， ②若 在 上恒成立，则 ，即 ， 若 在 上恒成立，则 ，即 ， 故 的最大值为 ． 故答案为： ．【标注】【知识点】一元二次不等式【知识点】含字母系数的不等式【知识点】截距型目标函数【素养】逻辑推理【素养】数学运算3. 分式不等式形如 （其中 与 均为整式， 中含有未知数）的代数式称为分式．类似的，我们把分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．因为两数相除为正数，等价于两数相乘为正数，所以解分式不等式的原则，就是利用等价转化的原理，把除法变成乘法，将其转化为整式不等式．例如： 或 ； ； （移项通分） ． 由此看来，分式不等式就等价于高次不等式（组），具体我们不再赘述．经典例题 28. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C.D.或 【备注】 注意移项和边界取等条件． 【答案】B 【解析】由 可得 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】分式不等式 29. 关于 的不等式A. 时，不等式解集为B. 时，不等式解集为C. 时，不等式解集为，下列说法错误的是（ ）． D. 或 时，不等式解集为 【备注】 转化为高次或二次不等式之后，对参数进行分类讨论． 【答案】D【解析】A 选项：， 的两个解为 ， ． 时，即 或 ， 时，B 选项：时，，不等式解集为 ， 正确；，不等式解集为 ， 正确； C 选项： 即 ， 时，不等式的解集为 ， ∴ 正确；D 选项：即，或时，不等式解集为 ，∴ 错．故选 D .【标注】【知识点】分式不等式巩固练习30.的解集为． 【答案】【解析】∵恒成立， ∴不等式 等价于 或 ， 根据穿根法，解 ，得 或 ， ∴原不等式的解集为： ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】分式不等式31. 解关于 的不等式：． 【答案】当 时,原不等式解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ； 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 【解析】原不等式化为 ． 当 时,原不等式化为 ,解集为 ． 当 时,原不等式化为 ． 又∵ ．∴原不等式的解集为． 当 时,原不等式化为 , 当 时,即 ．∴原不等式的解集为 ． 当 时,即 ． ∴原不等式的解集为 ． 当 时,即 ．、 ∴原不等式的解集为 ． 综上所述,当 时,原不等式解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ； 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】分式不等式 32. 不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D.【答案】D【解析】∵， ∴ ， ∴ ． ∴ ．∴不等式的解集为． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式4. 根式不等式含有根号的不等式，即为根式不等式．处理方法一般是平方，但是由于根式和被开方数的非负性，平方的时候还有一些需要注意的事项；如果一次平方之后，还留有根式，那就分离根式和非根式部分，再次平方．具体解法如下： 或 （比根式小，可以是负数） （比根式大，必须是正数）． 经典例题33. 解不等式： （ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【备注】 对于根式不等式而言，不要上来就盲目平方 如 须针对非根式部分的正负进行分类讨论 ； 如 的根式小于非根式的形式，不等号另一侧比根式大的部分也必须为正，．如 出现两个根式， 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【解析】（ 1 ）略．（ 2 ）略．（ 3 ）略．【标注】【知识点】无理不等式；一元二次不等式；不等式的性质 34. 不等式 的解是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题不等号两侧在两个根式之外还有一个常数项，这样的根式不等式通常需要先进行 【答案】A 【解析】由不等式 ，可得 ， ∴ ，即 ①． 由于当 时， ， 恒成立， 解得①的解为 ． 故选 ．【标注】【知识点】无理不等式巩固练习35. 解不等式．（ 1 ）（ 2 ） ．． （ 3 ） ． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 【标注】【知识点】无理不等式 36. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D.【答案】C【解析】定义域，当时，显然合题； 当 时， ，即 ，解得 ， 综上： 或 ，故选 ． 【标注】【知识点】无理不等式导图总结 出门测 37. 若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当 ，即 时，不等式 恒成立，则： ，解得 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算 38. 已知常数 ，解关于 的不等式 ． 【答案】 ，解集为 ， 时，解集为 ， 时，解集为 ． 【解析】分解因式得 ， ① ，解集为 ， ② 时，解集为 ， ③ 时，解集为 ． 【标注】【知识点】解不等式中的分类讨论；一元二次不等式；含字母系数的不等式 39. 解不等式 ． 【答案】 ． 【解析】原不等式可化为 ， 或解得或， 综上，原不等式的解集是 ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式【素养】逻辑推理【素养】数学运算 40. 不等式 的解集是 ． 【答案】【解析】根据题意，由于 ． 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算【知识点】分式不等式【知识点】一元二次不等式 26
常见不等式的解法 学习目标1. 用函数观点看一元二次不等式，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，了解一元二次不等式于相应函数、方程的联系；2. 掌握简单绝对值不等式的解法，了解高次不等式、分式不等式、根式不等式等常见不等式的求法．【备注】本节重点：用函数观点看一元二次不等式，绝对值不等式，分式不等式的解法；本节难点：含参的一元二次不等式，绝对值三角不等式；后置知识：函数．一、 一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法图象法： 解形如 的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定方程 的解； （2）画出函数 的图象（简图）； （3）由图象得出不等式的解集. 经典例题 1. 若 为 的解集，则 的解集为（ ）． A. B. C.D.或或 【备注】建立二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的对应关系非常重要，二次函数 【答案】D【解析】由题知，，，为方程的两根， ∴ ， ， 则代入 ， 解得 或 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算 2. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D.或或 【备注】 通过因式分解，将一元二次不等式改写成零点式： ，结合二次函 数图象的性质，不等式的解集就显而易见了．需要留意的是，求解一元二次方程和考查二次函数的一般方法，对于一元二次不等式而言，也很常用．【答案】C 【解析】 ， 即 ， 解集为 或 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算巩固练习3. 解下列不等式． （ 1 ）（ 2 ）．． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 【答案】（ 1 ） 或 ． （ 2 ） ． （ 3 ）不等式无解．（ 4 ）不等式解为全体实数．【解析】（ 1 ）原式化简得（ 2 ）原式化简得或．． （ 3 ）原式化简得 ， 而 恒大于 ， ∴不等式无解．（ 4 ）原式化简得恒大于 ， ∴不等式解为全体实数．【标注】【知识点】一元二次不等式 4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集 为 ． 【答案】【解析】∵的解集为， ∴ ， 是 的两根，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】韦达定理；一元二次不等式 5. 若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：令．对称轴为， 若 ，则 ， 是方程 的两个实根，解得 ， ，矛盾，易错选D； 若 ，则 ， ，相减得 ，代入可得 ，矛盾，易错 选C；若，则的顶点在上，，否则在顶点处不满足，所 以此时 的解集是 ．所以 的解集是 ，所以 ，由 ，解得 ，由 解得 ，所以 ． 故选：B．【标注】【知识点】一元二次不等式2. 含参的一元二次不等式含参问题的一元二次不等式的两类问题：（1）恒成立与有解问题①先讨论二次项系数和零的关系②考虑对应二次函数的开口方向；②用判别式法或将参数与变量分离（参变分离法）； （2）能因式分解的一元二次不等式的分类讨论①先讨论二次项系数和零的关系；②因式分解后讨论两根的大小关系．经典例题 6. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】 本题是较为典型的一元二次不等式的恒成立问题，可应用一般性的解题步骤，分类讨 论： 首先考虑二次项系数能否取 ，本题中二次项系数为 时，原不等式为 恒成立； 再考虑二次项系数不为 时不等式对应的二次函数的开口方向，本题是恒小于 ，因此开口应该向下，同时判别式小于 ，不难求解 的范围；当然，最后不要忘记，将两类情形求得的结果取并集．【答案】D 【解析】当 即 时，不等式为 ，符合， 当 时，要使不等式恒成立， 即 ， 解得 ， 综上所述， ． 故选： ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式 7. 已知命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题中的关于一元二次不等式的存在性命题，属于能成立问题，等同于对应的一元二得最大值为正，对于开口向上的二次函数而言，函数某一区间的最大 值一定在区间端点处取，因此只需 或 处函数值为正即可． 【答案】C【解析】记， 则函数 的图象是开口向上的抛物线， 因命题“ ， ”是真命题， 故 或 ， 即 或 ， 故 或 ， 故 的取值范围为 ． 故选 ．【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；根据命题真假求参数的范围；一元二次不等式 8. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题中，参数都集中常数项（学过分式不等式的解法和基本不等式之后，一次项或二恒成立，即证 恒成立，须使左边自变量多项式的最小值恒大于右边参数多项式，解一元二次不等式 即可；当然，本题使用判别式法也并不难解． 【答案】A【解析】参变分离要证恒成立 即证 恒成立 ∵ ， 且若 对任意实数 恒成立， 则 ，解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题 9. 解关于 的不等式 ． 【备注】本题是比较典型的能因式分解的含参一元二次不等式问题，并且二次项系数、一次项 【答案】答案见解析．【解析】（ ）当时，原不等式为，解集为； （ ） 时，不等式化为 ， ① 时，不等式等价为 ， 进一步讨论：（ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ； ② 时，不等式等价为 ，进一步分类讨论： （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ， （ ） ，解集为 ． 【标注】【思想】分类讨论思想【知识点】一元二次不等式；解不等式中的分类讨论【素养】数学运算巩固练习 10. 若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围 是 ． 【答案】【解析】①当时，得或， ∵ 时，原式可化为 ，恒成立，符合题意． 当 时，原式可化为： ，对一切实数 不恒成立，故舍去； ∴ ； ② 时即 ，且 ， ∵ 对一切实数 恒成立， ∴有 ， 解得 ． 综上得 ． 【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；一元二次不等式 11. 已知命题 ：“至少存在一个实数 ，使不等式 成立”为真，则参数 的取 值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A【解析】方法一：由题意知：在 上有解，令， 则只需 或 ， 即 或 ， 整理得 或 ． 即 ，故参数 的取值范围为． 故选 ．方法二：， 无解，令， 则 ， 即 ， 解得 ．故命题 中， ，故参数 的取值范围为． 故选 ．【标注】【知识点】根据命题真假求参数的范围 12. 不等式 的解集是 ，其中 ，则不等式 的 解集是（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式解集是， ∴ ，且有 ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，∴不等式可变形为：， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 所以不等式 的解集为 ， 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式；一元二次方程根的分布 13. 关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵关于 的不等式的解集中，恰有 个整数， ∴ ， 故 ． 故选 ．【标注】【知识点】韦达定理14. 若正实数 ， 满足，且不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】【解析】∵正实数 ， 满足，可得， ∴不等式 恒成立， 即 恒成立， 变形可得 恒成立， 即 恒成立， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， 即 ，解不等式可得 ，或 （舍负） 可得 ，要使 恒成立，只需 恒成立， 化简可得 ， 即 ，解得 或 ， 故答案为： ． 【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题；基本不等式成立的条件；二次函数相关的恒成立问题二、 其他常见不等式1. 绝对值不等式 （一）绝对值的几何意义：① 是指数轴上 点 到原点 的距离；②（二）绝对值不等式 和①公式法是指数轴上的解法，两点间 的距离 当 时， , 当 时， 或 ， ； 当 时， ， ． ②平方法 当 时，也可以使用平方法， ， ； ③分类讨论法（针对绝对值符号内部分的正负进行分类讨论，先去绝对值符号，再解不等式） 例如， 的解集为， ． 经典例题15. 解下列绝对值不等式． （ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【备注】本题中的三道绝对值不等式分别代表了三种类型，（1）只有一个含未知数的绝对值项，用公式法求解较为方便；（2）一个含未知数的绝对值项与一个含未知数的非绝对值项，可先对绝对值内部正负进行判断，去绝对值符号；（3）两个含未知数的绝对值项；针对两个绝对值项的正负进行分类讨论． 【答案】（ 1 ） 或 ． （ 2 ）（ 3 ）且．． 【解析】（ 1 ）原不等式等价于 或 ， 解得 或 ， 所以原不等式的解集是 或（ 2 ）当 时，不等式恒成立，此时解集为；． 当 时，原不等式等价于① 或② ， 解①，得 ；解②，得 或 ， ∴原不等式的解集为 且 ． （ 3 ）分别令 ， 得零点为 ， ， ∴原不等式等价于：① 解集为 ； 或② ； 或③ ， ， 综上，不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式 16. 若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 ． 【备注】本题解析中提供的几何解法是一种极为便捷的方法，除此以外，作为含绝对值不等式的恒成立问题，本题等价于, ，求三个恒成 立问题的交集． 【答案】【解析】由于表示数轴上的 对应点到 和 对应点的距离之和，它的最小值为 ，故当时，关于实数 的不等式无解， 故答案为： ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式【素养】数学运算巩固练习 17. 不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式可化为， ，或 ， 解得 ，或 ， 故不等式 的解集为 ． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式 18. 不等式 的解集为 ． 【答案】【解析】， ． ∴ ． ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式19. 已知关于 的不等式的解集为 ，则实数 的取值范围为． 【答案】【解析】令， 则当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， ∴ ．已知关于 的不等式的解集为 ，则对，有恒成 立，∴，即实数 的取值范围为． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式；不等式中的恒成立与能成立问题（三）绝对值三角不等式（拓展） 定理 ：若 为实数，则 ，当且仅当 ，等号成立； 定理 ：设 为实数，则 ，等号成立 ，即在数轴 上， 落在 间．推论 ：推论 ：一般来说可以这样记忆：，且等号只能在一端取得． 回过头来看看前面的问题，是否可以用绝对值三角不等式，快速地得出答案呢？ 【备注】定理 的证明可以由两边平方作差得到，也可以根据几何意义在数轴上推导；定理 和 经典例题 20. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 【备注】 本题使用绝对值三角不等式求出 ；后续求解就变得容易． 【答案】C【解析】∵不等式恒成立， ∴ 恒成立， 由绝对值三角不等式 ， 故 ， 解得： 或 ． 故选： ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题 21. 若关于 的不等式 （ ）的解集为空集，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【备注】 应用绝对值三角不等式便可快速地得出 的最小值． 【答案】A 【解析】表示数轴上 对应的点到 和 对应的点的距离之和，其最小值等于 ．由的解集为空集， 可得 恒成立，故有 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式；绝对值三角不等式巩固练习 22. 若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【备注】 在应用绝对值三角不等式的时候，有时需要灵活地调整绝对值内部的符号． 【答案】C【解析】， ∵ 有实数解， ∴ 有解， 即 ， ∴ ，∴ 的取值范围为． 故选 ．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含绝对值的不等式 23. 对于任意 、 ， 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】绝对值三角不等式2. 高次不等式一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线引线法）求解，其步骤是：（1）对高次不等式进行处理，使得不等号一侧为 ；另一侧最高次项的系数为正数；（2）将不等号改为等号，因式分解；（3）将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的“奇穿偶不穿”）；（4）观察不等号，如果不等号为" "，则取数轴上方，穿根线以内的范围，如果不等号为" "，则取数轴下方，穿根线以内的范围．例题讲解24. 请解下列不等式： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 5 ） ． 【备注】 须留意重根，奇穿偶不穿，如 ；同时须注意最高次项的系数正负，如 ， 可以如解析中一样改变穿根的起始位置，更建议改变不等号方向，以避免混淆．【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）【解析】（ 1 ）x –3 –2 –1 O 1 2 3 4 （ 2 ）（ 3 ）恒成立，∴原不等式等价于，即. x –3 –2 –1 O 1 2 （ 4 ） x –2 –1 O 1 2 3 4 （ 5 ） –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 x 【标注】【知识点】高次不等式 25. 设 ，若 时均有 ，则 ． 【备注】本题主要应用“奇穿，偶不穿”的结论，首先对 进行分类讨论： 若 ,易验证舍去； 若 ，则三个根中两负一正，因此 时，仅有一个奇次方根，必穿横轴，因此不满 足 时恒大于 的条件； 若 ，则三根中两正一负，为使 时，不等式恒成立，须使两个正根重合，为一个 偶次方根，不穿横轴． 【答案】【解析】由题意知，此为高次方程讨论解集问题，故有如下情况： ①当 时，可检验不满足要求，舍去； ②当求，故将根③当时，令表达式等于零得根分别为 ，，依据穿针引线法相关结论，知此时应有代入二次方程 ，得 ．时，令表达式等于零得根分别为 ，才能满足要，， ，依据穿针引线法相关结论，可检验不满足要求，舍去 综上，【标注】【方法】穿根法【素养】数学运算【思想】分类讨论思想【知识点】高次不等式【知识点】含字母系数的不等式巩固练习26. 解下列高次不等式： （ 1 ） ． （ 2 ） ． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）试根可得 为方程的一个解，故对方程左边进行因式分解一定存在一个因子， 则原不等式可化为：．（ 2 ）略．【标注】【知识点】高次不等式 27. 设 ， 在 上恒成立，则 的最大值为 ． 【答案】【解析】∵在上恒成立， ∴ ， 或 ， ， ①若 在 上恒成立，则 ，即 ， 此时当 时， 不成立， ②若 在 上恒成立，则 ，即 ， 若 在 上恒成立，则 ，即 ， 故 的最大值为 ． 故答案为： ．【标注】【知识点】一元二次不等式【知识点】含字母系数的不等式【知识点】截距型目标函数【素养】逻辑推理【素养】数学运算3. 分式不等式形如 （其中 与 均为整式， 中含有未知数）的代数式称为分式．类似的，我们把分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．因为两数相除为正数，等价于两数相乘为正数，所以解分式不等式的原则，就是利用等价转化的原理，把除法变成乘法，将其转化为整式不等式．例如： 或 ； ； （移项通分） ． 由此看来，分式不等式就等价于高次不等式（组），具体我们不再赘述．经典例题 28. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C.D.或 【备注】 注意移项和边界取等条件． 【答案】B 【解析】由 可得 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故选 ．【标注】【知识点】分式不等式 29. 关于 的不等式A. 时，不等式解集为B. 时，不等式解集为C. 时，不等式解集为，下列说法错误的是（ ）． D. 或 时，不等式解集为 【备注】 转化为高次或二次不等式之后，对参数进行分类讨论． 【答案】D【解析】A 选项：， 的两个解为 ， ． 时，即 或 ， 时，B 选项：时，，不等式解集为 ， 正确；，不等式解集为 ， 正确； C 选项： 即 ， 时，不等式的解集为 ， ∴ 正确；D 选项：即，或时，不等式解集为 ，∴ 错．故选 D .【标注】【知识点】分式不等式巩固练习30.的解集为． 【答案】【解析】∵恒成立， ∴不等式 等价于 或 ， 根据穿根法，解 ，得 或 ， ∴原不等式的解集为： ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】分式不等式31. 解关于 的不等式：． 【答案】当 时,原不等式解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ； 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 【解析】原不等式化为 ． 当 时,原不等式化为 ,解集为 ． 当 时,原不等式化为 ． 又∵ ．∴原不等式的解集为． 当 时,原不等式化为 , 当 时,即 ．∴原不等式的解集为 ． 当 时,即 ． ∴原不等式的解集为 ． 当 时,即 ．、 ∴原不等式的解集为 ． 综上所述,当 时,原不等式解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ； 当 时,原不等式的解集为 ． 当 时,原不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】分式不等式 32. 不等式 的解集为（ ）． A. B. C. D.【答案】D【解析】∵， ∴ ， ∴ ． ∴ ．∴不等式的解集为． 故选 ．【标注】【知识点】含绝对值的不等式4. 根式不等式含有根号的不等式，即为根式不等式．处理方法一般是平方，但是由于根式和被开方数的非负性，平方的时候还有一些需要注意的事项；如果一次平方之后，还留有根式，那就分离根式和非根式部分，再次平方．具体解法如下： 或 （比根式小，可以是负数） （比根式大，必须是正数）． 经典例题33. 解不等式： （ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【备注】 对于根式不等式而言，不要上来就盲目平方 如 须针对非根式部分的正负进行分类讨论 ； 如 的根式小于非根式的形式，不等号另一侧比根式大的部分也必须为正，．如 出现两个根式， 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ）．． 【解析】（ 1 ）略．（ 2 ）略．（ 3 ）略．【标注】【知识点】无理不等式；一元二次不等式；不等式的性质 34. 不等式 的解是（ ）． A. B. C. D. 【备注】本题不等号两侧在两个根式之外还有一个常数项，这样的根式不等式通常需要先进行 【答案】A 【解析】由不等式 ，可得 ， ∴ ，即 ①． 由于当 时， ， 恒成立， 解得①的解为 ． 故选 ．【标注】【知识点】无理不等式巩固练习35. 解不等式．（ 1 ）（ 2 ） ．． （ 3 ） ． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 【标注】【知识点】无理不等式 36. 不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D.【答案】C【解析】定义域，当时，显然合题； 当 时， ，即 ，解得 ， 综上： 或 ，故选 ． 【标注】【知识点】无理不等式导图总结 出门测 37. 若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当 ，即 时，不等式 恒成立，则： ，解得 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 故选 ．【标注】【知识点】一元二次不等式【素养】数学运算 38. 已知常数 ，解关于 的不等式 ． 【答案】 ，解集为 ， 时，解集为 ， 时，解集为 ． 【解析】分解因式得 ， ① ，解集为 ， ② 时，解集为 ， ③ 时，解集为 ． 【标注】【知识点】解不等式中的分类讨论；一元二次不等式；含字母系数的不等式 39. 解不等式 ． 【答案】 ． 【解析】原不等式可化为 ， 或解得或， 综上，原不等式的解集是 ． 【标注】【知识点】含绝对值的不等式【素养】逻辑推理【素养】数学运算 40. 不等式 的解集是 ． 【答案】【解析】根据题意，由于 ． 故答案为： ． 【标注】【素养】数学运算【知识点】分式不等式【知识点】一元二次不等式 26
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