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人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀导学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀导学案，文件包含函数的概念及其表示-讲义教师版docx、函数的概念及其表示-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
函数的概念及其表示
一、 函数的概念
1. 函数的概念及表示方法
（一）函数的概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合
中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从数集 到数集 的一个函数，记作
，．
其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数
值形成的数集叫做函数的．因此根据函数的定义，有，即集合
必须包含值域的所有元素，但可以有更多的元素．
由定义可知，函数的值域完全由定义域和对应关系确定，所以确定一个函数只需要两个要素：
．
（二）函数及表示方法
初中阶段接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法，在高中阶段仍然可以使用．在使用解析法表示函数时，须留意加上定义域，在使用图象法时，须留意边界条件在图象上的表示．
经典例题
1. 下列各图中，可表示函数的图象的是（ ）．
A.yB.y
OxOx
C.yD.y
Oxx
2. 存在函数满足，对于任意的都有（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
3. 下列式子中不能表示函数的是（ ）．
A.B.
C.D.
4. 下列对应关系中，不能成为函数关系的是（ ）．
A.B.
C.D.
二、 函数的定义域
1. 具体函数的定义域
现阶段，除了人为给出的定义域，有三种形式的函数对定义域有天然的限制（以后我们会学习到其
它的形式）：
（1）偶次根号下不能是负数，例如定义域为，又如定义域
．
（2）分式分母不为零，例如熟知的反比例函数定义域为．
（3） 没有意义，例如函数的定义域为．
经典例题
5. 函数的定义域为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 若函数的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
7. 函数的定义域是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 函数
（ 1 ）若
的定义域为
．
，求实数 的值．
（ 2 ）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
2. 抽象函数的定义域
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数求解抽象函数的定义域的两个要点：
（1）当题目求解时指的是自变量 本身的范围，
（2）括号内的式子范围一致，例如给定函数的定义域是，那么函数的
定义域则由决定，也即．
经典例题
9. 已知的定义域为，则函数，则 的定义域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
10. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）．
A.B.
C.D.
3. 同一函数的判定
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个．
简而言之，判断两个函数是否为同一函数的标准是：
．
例如，和，表面看二者是同一个函数，实则不然，后者等价于，所以对应关
系不同，不是同一函数．
再例如，
和
，表面看二者不是同一个函数，实则不然，两者都是
将 对应到 ，定义域和对应关系都相同，因此它们是同一函数！
经典例题
11. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）．
A.
B. C. D.
与
与
与
，
与
，
巩固练习
12. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A.
B.
，
，
C.，
D.，
13. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）．
A.B.
C.D.
三、 求函数的解析式的方法
1. 直接代入法
已知的解析式，求的解析式常用此法．
例一：已知，则，
．
在带入的过程中我们注意用括号内的整体代替原来的 ．
经典例题
14. 设，则的函数表达式是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
15. 下列函数中，满足的是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 配凑法
例一：
，可以将右边凑成
的形式再求解
但此时需要注意所求函数的定义域，上述函数，，，后面的
范围必须做标注；
例二：
，可以将右边凑成
的形式再求解．
经典例题
16. 若，，则（ ）．
A.B.C.D.
17. 已知函数，则的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
18. 已知，则的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
19. 已知函数满足且，则实数 的值为（ ）．
A.B.C.D.
3. 换元法
换元思想是高中解决问题常用的思想之一，换元的目的是使函数变得更加简洁，如果题目通过换元
变得更复杂，那么我们就要考虑尝试其他的方法了．
例一：已知，求解析式．
解：令，代入原式变为，，即
（注意定义域是否有限制）．
有相当部分可以配凑的题目，实际上都可以通过换元来完成．
经典例题
20. 设，则的解析式可以是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
21. 已知函数，则函数的表达式为（ ）．
A.B.
C.D.
4. 待定系数法
如果已知函数类型，可用待定系数法，先设出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参
数，由此确定函数的解析式．
二次函数解析式设法相对多样，可根据题干条件灵活选择．一般来说，如已知对称轴或顶点可
设；如已知与 轴交点则可设；如题干中给出的都是一般点或者没有几何特征则
设．
例如，已知二次函数经过原点且在时取得最大值 ，要求解析式，可根据题意将
的解析式设为顶点式：，再利用解出，带回原解析式得到
．
经典例题
22. 已知是一次函数，且，求的解析式．
23. 已知函数是二次函数，且满足，则．
巩固练习
24. 已知二次函数满足，且，则的解析式为．
25. 已知二次函数的图象过点，，且顶点到 轴的距离等于 ，求此二次函数的解析式．
26. 请解答下列各题：
（ 1 ）已知，求
（ 2 ）已知是一次函数，且满足
的解析式．
，求
的解析式．
5. 用解方程组的思想求解函数解析式
如果已知信息是与组成的等式（或与，这样具有"对称性"的形式），可对原
等式进行处理，令(或)，可得到第二个等式，这时将与看成两个未知数，我
们剩下的工作就是解一个二元方程组，为求简便，消去求解即可．
经典例题
27. 已知函数
满足
，则函数
的解析式为
．
巩固练习
28. 已知
，则
．
四、 函数的值域
1. 直接求解法
经典例题
29. 函数的定义域是，其值域是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
30. 已知函数
，
，对任意的
，都存在
，
使得，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 换元法
换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，有的时候我们运用等价代换可以把函数等价成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要的方法．
例如，求的值域．
可令（）原式等价于（），转化为熟知的二次函数处理，当然
在求值域时，需要注意定义域．
经典例题
31. 函数，的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
32. 函数的值域是（ ）．
A.B.
C.D.
33. 函数的值域为（ ）．
A.B.C.D.
3. 分离常数法
对于形如
的函数，可采用分离常数的方法．
例如：求函数的值域．
解：原式等价于，而，所以函数的值域为．
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
，然后依据，就可求出函数值域．
经典例题
34. 函数的值域是．
巩固练习
35. 函数，当时，函数的值域为()
A.B.
C.D.
4. 配方法
若函数为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的问题，此种方法多与换元法
综合使用．
例如：求的值域．
解：注意到，所以直接求出，函数值域
为
．
经典例题
36. 若函数的定义域为，值域为，则 的取值范围为（ ）．
A.B.
C.D.
37. 已知，则的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
38. 知满足，则的最小值为．
5. 判别式法求值域
对形如
的函数，可设
，整理成类似一元二次
方程的形式，该方程应有实根．此时须分类讨论，①二次项系数为 ，求出 值，判断方程是否有实根；
②二次项系数不为 ，令，求 的范围．
如的二次比二次的形式，也可依此法操作．
经典例题
39. 函数的值域为．
巩固练习
40. 函数
的值域为
．
6. 分段函数求值域
生活中我们常常遇到分段问题．例如;某地实行节约用水政策，当每个家庭每月用水不超过 立方米时，每立方米水价 元，当用水量超过 立方米不足 立方米时，超出部分每立方米水价 元，用水超过 立方米时，每立方米水价 元，如果将用水量和水费写成函数，则函数如下：
这类函数叫做分段函数，定义域取不同的数值，有可能对应不同的解析式．
分段函数求值域，一般就是分段求，然后取并集．
经典例题
41. 若，则值域为（ ）．
A.B.C.D.
42. 如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙ 的半圆形路径匀速慢跑，
那么李老师离出发点 的距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
43. 函数
的值域为
．
44. 如图，点 在边长为 的正方形边上运动， 是 的中点，则当 沿运动时，
点 经过的路程 与的面积 的函数的图象的形状大致是下图中的（ ）．
A.B.
C.D.
五、 函数的新定义问题
经典例题
45.， 表示不超过 的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函
数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）．
A.，
B.，
C.，，
D. 函数的值域为
46. 已知函数．若存在常数 ，对任意存在，使得，
则称函数在 上的均值为 ．已知，，则函数在上的
均值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
47. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，
并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹∙布劳威尔（
），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
48. 设定义在 上的函数，对于给定的正数 ，函数，则称函数为
的“ 界函数”．关于函数的“ 界函数”，下列等式不. 成. 立. 的是（ ）．
A.B.
C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
49. 下列各组中，函数
A.，
B.，
C.，
D.，
和
的图像相同的是（ ）．
50. 已知是一次函数，且满足，则=（ ）．
A.B.
C.D.
51. 已知函数的定义域为，则的定义域为．
52. 求函数的值域．
53. 对 ，，记，函数的最小值是（
）．
A.B.C.D.
13
函数的概念及其表示
一、 函数的概念
1. 函数的概念及表示方法
（一）函数的概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合
中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从数集 到数集 的一个函数，记作
，．
其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数
值形成的数集叫做函数的．因此根据函数的定义，有，即集合
必须包含值域的所有元素，但可以有更多的元素．
由定义可知，函数的值域完全由定义域和对应关系确定，所以确定一个函数只需要两个要素：
．
（二）函数及表示方法
初中阶段接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法，在高中阶段仍然可以使用．在使用解析法表示函数时，须留意加上定义域，在使用图象法时，须留意边界条件在图象上的表示．
经典例题
1. 下列各图中，可表示函数的图象的是（ ）．
A.yB.y
OxOx
C.yD.y
Oxx
2. 存在函数满足，对于任意的都有（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
3. 下列式子中不能表示函数的是（ ）．
A.B.
C.D.
4. 下列对应关系中，不能成为函数关系的是（ ）．
A.B.
C.D.
二、 函数的定义域
1. 具体函数的定义域
现阶段，除了人为给出的定义域，有三种形式的函数对定义域有天然的限制（以后我们会学习到其
它的形式）：
（1）偶次根号下不能是负数，例如定义域为，又如定义域
．
（2）分式分母不为零，例如熟知的反比例函数定义域为．
（3） 没有意义，例如函数的定义域为．
经典例题
5. 函数的定义域为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 若函数的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
7. 函数的定义域是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 函数
（ 1 ）若
的定义域为
．
，求实数 的值．
（ 2 ）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
2. 抽象函数的定义域
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数求解抽象函数的定义域的两个要点：
（1）当题目求解时指的是自变量 本身的范围，
（2）括号内的式子范围一致，例如给定函数的定义域是，那么函数的
定义域则由决定，也即．
经典例题
9. 已知的定义域为，则函数，则 的定义域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
10. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）．
A.B.
C.D.
3. 同一函数的判定
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个．
简而言之，判断两个函数是否为同一函数的标准是：
．
例如，和，表面看二者是同一个函数，实则不然，后者等价于，所以对应关
系不同，不是同一函数．
再例如，
和
，表面看二者不是同一个函数，实则不然，两者都是
将 对应到 ，定义域和对应关系都相同，因此它们是同一函数！
经典例题
11. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）．
A.
B. C. D.
与
与
与
，
与
，
巩固练习
12. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A.
B.
，
，
C.，
D.，
13. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）．
A.B.
C.D.
三、 求函数的解析式的方法
1. 直接代入法
已知的解析式，求的解析式常用此法．
例一：已知，则，
．
在带入的过程中我们注意用括号内的整体代替原来的 ．
经典例题
14. 设，则的函数表达式是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
15. 下列函数中，满足的是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 配凑法
例一：
，可以将右边凑成
的形式再求解
但此时需要注意所求函数的定义域，上述函数，，，后面的
范围必须做标注；
例二：
，可以将右边凑成
的形式再求解．
经典例题
16. 若，，则（ ）．
A.B.C.D.
17. 已知函数，则的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
18. 已知，则的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
19. 已知函数满足且，则实数 的值为（ ）．
A.B.C.D.
3. 换元法
换元思想是高中解决问题常用的思想之一，换元的目的是使函数变得更加简洁，如果题目通过换元
变得更复杂，那么我们就要考虑尝试其他的方法了．
例一：已知，求解析式．
解：令，代入原式变为，，即
（注意定义域是否有限制）．
有相当部分可以配凑的题目，实际上都可以通过换元来完成．
经典例题
20. 设，则的解析式可以是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
21. 已知函数，则函数的表达式为（ ）．
A.B.
C.D.
4. 待定系数法
如果已知函数类型，可用待定系数法，先设出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参
数，由此确定函数的解析式．
二次函数解析式设法相对多样，可根据题干条件灵活选择．一般来说，如已知对称轴或顶点可
设；如已知与 轴交点则可设；如题干中给出的都是一般点或者没有几何特征则
设．
例如，已知二次函数经过原点且在时取得最大值 ，要求解析式，可根据题意将
的解析式设为顶点式：，再利用解出，带回原解析式得到
．
经典例题
22. 已知是一次函数，且，求的解析式．
23. 已知函数是二次函数，且满足，则．
巩固练习
24. 已知二次函数满足，且，则的解析式为．
25. 已知二次函数的图象过点，，且顶点到 轴的距离等于 ，求此二次函数的解析式．
26. 请解答下列各题：
（ 1 ）已知，求
（ 2 ）已知是一次函数，且满足
的解析式．
，求
的解析式．
5. 用解方程组的思想求解函数解析式
如果已知信息是与组成的等式（或与，这样具有"对称性"的形式），可对原
等式进行处理，令(或)，可得到第二个等式，这时将与看成两个未知数，我
们剩下的工作就是解一个二元方程组，为求简便，消去求解即可．
经典例题
27. 已知函数
满足
，则函数
的解析式为
．
巩固练习
28. 已知
，则
．
四、 函数的值域
1. 直接求解法
经典例题
29. 函数的定义域是，其值域是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
30. 已知函数
，
，对任意的
，都存在
，
使得，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 换元法
换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，有的时候我们运用等价代换可以把函数等价成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要的方法．
例如，求的值域．
可令（）原式等价于（），转化为熟知的二次函数处理，当然
在求值域时，需要注意定义域．
经典例题
31. 函数，的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
32. 函数的值域是（ ）．
A.B.
C.D.
33. 函数的值域为（ ）．
A.B.C.D.
3. 分离常数法
对于形如
的函数，可采用分离常数的方法．
例如：求函数的值域．
解：原式等价于，而，所以函数的值域为．
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
，然后依据，就可求出函数值域．
经典例题
34. 函数的值域是．
巩固练习
35. 函数，当时，函数的值域为()
A.B.
C.D.
4. 配方法
若函数为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的问题，此种方法多与换元法
综合使用．
例如：求的值域．
解：注意到，所以直接求出，函数值域
为
．
经典例题
36. 若函数的定义域为，值域为，则 的取值范围为（ ）．
A.B.
C.D.
37. 已知，则的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
38. 知满足，则的最小值为．
5. 判别式法求值域
对形如
的函数，可设
，整理成类似一元二次
方程的形式，该方程应有实根．此时须分类讨论，①二次项系数为 ，求出 值，判断方程是否有实根；
②二次项系数不为 ，令，求 的范围．
如的二次比二次的形式，也可依此法操作．
经典例题
39. 函数的值域为．
巩固练习
40. 函数
的值域为
．
6. 分段函数求值域
生活中我们常常遇到分段问题．例如;某地实行节约用水政策，当每个家庭每月用水不超过 立方米时，每立方米水价 元，当用水量超过 立方米不足 立方米时，超出部分每立方米水价 元，用水超过 立方米时，每立方米水价 元，如果将用水量和水费写成函数，则函数如下：
这类函数叫做分段函数，定义域取不同的数值，有可能对应不同的解析式．
分段函数求值域，一般就是分段求，然后取并集．
经典例题
41. 若，则值域为（ ）．
A.B.C.D.
42. 如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙ 的半圆形路径匀速慢跑，
那么李老师离出发点 的距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
43. 函数
的值域为
．
44. 如图，点 在边长为 的正方形边上运动， 是 的中点，则当 沿运动时，
点 经过的路程 与的面积 的函数的图象的形状大致是下图中的（ ）．
A.B.
C.D.
五、 函数的新定义问题
经典例题
45.， 表示不超过 的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函
数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）．
A.，
B.，
C.，，
D. 函数的值域为
46. 已知函数．若存在常数 ，对任意存在，使得，
则称函数在 上的均值为 ．已知，，则函数在上的
均值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
47. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，
并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹∙布劳威尔（
），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
48. 设定义在 上的函数，对于给定的正数 ，函数，则称函数为
的“ 界函数”．关于函数的“ 界函数”，下列等式不. 成. 立. 的是（ ）．
A.B.
C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
49. 下列各组中，函数
A.，
B.，
C.，
D.，
和
的图像相同的是（ ）．
50. 已知是一次函数，且满足，则=（ ）．
A.B.
C.D.
51. 已知函数的定义域为，则的定义域为．
52. 求函数的值域．
53. 对 ，，记，函数的最小值是（
）．
A.B.C.D.
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