人教版 (2019)必修 第二册2 向心力第1课时导学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册2 向心力第1课时导学案，共21页。

1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义。
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3．知道在变速圆周运动中，可利用公式求质点在某一点的向心力。
向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。
2．方向
向心力的方向始终沿半径指向圆心。
3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝mv2r。
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，分析秋千由上向下荡下时的过程(不考虑空气阻力)。
【问题】
(1)此时小朋友和秋千板做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)小朋友与秋千板整体受哪几个力的作用？
(3)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。
(2)受重力和绳子的拉力。
(3)由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。
1．向心力的大小及来源
(1)向心力大小：公式Fn＝mv2r＝mω2r＝mωv。
(2)向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的，它不是物体受到的力，可以由重力、弹力等各种性质的力，或者是几个力的合力、某个力的分力提供。
2．常见的几个实例分析
对向心力的理解
【典例1】 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若圆盘的转速变小时，小强在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨] 本题可按以下思路进行分析：
(1)对小强进行受力分析。
(2)分析向心力由什么力提供。
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系。
C [由于小强随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此小强会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的静摩擦力变小，选项D错误。]
向心力的计算
【典例2】 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求：
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力。
[思路点拨] 解此题可按以下思路：
选座椅为对象―→画受力分析图―→找圆心定圆面―→列动力学方程
[解析] (1)转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径
R＝r＋L sin θ①
对座椅受力分析，如图所示。
根据几何关系可知：Fn＝mg tan θ
由向心力的公式得：mg tan θ＝mω2R②
由①②得：ω＝gtanθr+Lsinθ。
(2)由几何关系知：
钢绳的拉力为FT＝mgcsθ。
[答案] (1)ω＝gtanθr+Lsinθ (2)mgcsθ
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中哪些是已知的，选择合适的公式列式求解。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
[跟进训练]
1．如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。小球的向心力由以下哪个力提供( )
A．重力
B．支持力
C．重力和支持力的合力
D．重力、支持力和摩擦力的合力
C [小球受到竖直向下的重力作用和垂直于漏斗壁斜向上的支持力作用，两者的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，选项C正确。]
2．如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体a不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A．μgr B．μg
C．gμrD．gr
C [当圆筒的角速度为ω时，设其内壁对小物体a的弹力为FN，要使小物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为小物体a在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥gμr，则圆筒转动的角速度至少为gμr。]
变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：
(1)跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变物体速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
2．一般的曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
如图所示，链球运动员投掷时可以通过抡绳子来调节链球速度的大小。
【问题】
(1)抡绳子来调节链球速度的过程中，链球受几个力的作用？
(2)抡绳子来调节链球速度的过程中，绳子能拉成水平状态吗？
(3)向心力可以改变速度的大小吗？是什么原因调整的速度呢？
提示：(1)链球受重力和绳子拉力作用。
(2)因为受重力作用，绳子不可能拉成水平状态。
(3)不能。物体做变速圆周运动，物体所受的合力不指向圆心时，切向力Ft(垂直半径方向的分力)，改变速度的大小；向心力Fn(沿着半径或指向圆心的分力)，改变速度的方向(如图所示)。
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝mv2r＝mω2r求解。
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大。
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。
【典例3】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A．v02g B．v02sin2αg
C．v02cs2 αg D．v02cs2 αg sinα
[思路点拨] 物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出表达式进行求解。
C [斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cs α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度减为零，其速度为vP＝v0cs α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝mv0csα2ρ'得ρ′＝v02cs2 αg，所以C正确，A、B、D错误。]
变速圆周运动问题的两点注意
(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝mv2r、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
[跟进训练]
3．如图所示，某物体沿14光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速率变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。]
1．汽车在一水平公路上转弯时，汽车的运动可视为匀速圆周运动。下列关于汽车转弯时的说法正确的是( )
A．汽车处于平衡状态
B．汽车的向心力由重力和支持力提供
C．汽车的向心力由摩擦力提供
D．汽车的向心力由支持力提供
C [汽车转弯时做匀速圆周运动，运动状态不断变化，所以不是处于平衡状态，故A错误；汽车在水平面内做匀速圆周运动，重力和支持力都沿竖直方向，不可能提供向心力，所以提供向心力的一定是在水平方向的摩擦力，故B、D错误，C正确。]
2．如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一橡皮块，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
A B C D
C [因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该指向轨道内侧且与速度方向成锐角，故C项正确。]
3．(多选)用细绳拴着小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mg tanθ
D．小球所受合力为恒力
BC [小球受重力和绳子拉力作用，合力提供向心力，因为向心力是效果力，并不是实际受力，A错误，B正确；根据向心力方程可知Fn＝mrω2，根据受力分析也可得到Fn＝mg tan θ，C正确；小球所受合力提供向心力，方向时刻指向圆心，力的方向一直在变，是变力，D错误。]
4．如图所示，小球在半径为R的光滑半球容器内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心的连线跟竖直方向的夹角，且0<θ<π2)与线速度大小v、周期T的关系。(小球的半径远小于R，重力加速度为g)
[解析] 小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面内(不在半球的球心)，向心力F是重力mg和支持力FN的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。
如图所示，小球做匀速圆周运动的半径R′＝R sin θ，则mg tan θ＝mv2R'
可得
v＝gRtanθsinθ，T＝2πR'v＝2πRcsθg
可见，θ越大(即小球所在平面越高)，v越大，T越小。
[答案] v＝gRtanθsinθ，T＝2πRcsθg，θ越大，v越大，T越小
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．向心力的特点是什么？
提示：向心力的方向始终指向圆心，向心力的作用效果用来改变速度的方向。
2．向心力一定是合外力吗？
提示：不一定，匀速圆周运动的向心力是合外力。
3．向心力的大小和哪些因素有关？
提示：与物体的质量、线速度、运动半径有关。
课时分层作业(五)
题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．下列关于向心力的论述中，正确的是( )
A．物体做圆周运动一段时间后才会受到向心力
B．向心力与重力、弹力、摩擦力一样，是一种特定的力，它只有在物体做圆周运动时才产生
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力，也可以是这些力中某几个力的合力
D．向心力既可以改变物体运动的方向，又可以改变物体运动的快慢
C [因为有向心力，物体才做圆周运动，A错误；向心力是按作用效果命名的，与重力、弹力、摩擦力等性质不一样，故B错误；向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力，也可以是某一个力的分力，或者是这些力中某几个力的合力，故C正确；向心力只能改变物体运动的方向，不能改变物体运动的快慢，故D错误。]
2．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
C [当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故C正确，A、D错误；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。]
3．如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
A．物块A不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
B [物块A受到的摩擦力提供其向心力，故A错误；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B的沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用，故B正确；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大，故C错误；A对B的摩擦力方向沿半径向外，故D错误。]
题组二 变速圆周运动与一般曲线运动
4．(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。假设某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时( )
A．两名学员具有相同的线速度
B．两名学员具有相同的角速度
C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反
D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向
BD [两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；摩擦力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需的向心力，摩擦力的另一部分分力与速度方向相反，使汽车减速，所以摩擦力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。]
5．(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动，关于他在最高点时状态的描述，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
A [在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明进行受力分析，沿摆绳方向有F－mg cs θ＝mv2l，由于小明的速度为0，则有F＝mg cs θ题组三 向心力的计算
6．甲、乙两名滑冰运动员，在某次滑冰表演时，面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦)，如图所示，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断正确的是( )
A．两人的线速度大小相等，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
D．两人的运动半径相同，都是0.45 m
C [甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同，向心力大小都等于弹簧测力计的弹力，有m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙，即m甲r甲＝m乙r乙，且r甲＋r乙＝0.9 m，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m；由于F＝m甲ω2r甲，所以ω＝Fm甲r甲＝9.280×0.3 rad/s≈0.62 rad/s；线速度v＝ωr，甲、乙的角速度相同，r甲与r乙不相等，则v不相等。故A、B、D错误，C正确。]
7．链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
A B C D
D [设链条长为L，链球质量为m，链球做圆周运动的向心力是重力mg和拉力F的合力，半径是L sin θ，向心力Fn＝mg tan θ＝mω2(L sin θ)，解得ω2＝gLcsθ，故选项D正确，A、B、C错误。]8．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R B．m2g2-m2ω4R2
C．m2g2+m2ω4R2D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力，指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力：F＝mg2+F向2＝m2g2+m2ω4R2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力F′＝F，C正确。]
9．如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上。M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( )
A．所需要的向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的12
C．半径r变为原来的12
D．M的角速度变为原来的12
B [转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由绳的拉力提供，仍然等于m的重力，所以向心力不变，故选项A错误；转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，D错误；根据F＝mrω2，向心力不变，则半径r变为原来的14，C错误；根据v＝rω，线速度变为原来的12，故B正确。]
10．
(多选)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的球A和球B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定大于球B的角速度
C．球A的运动周期必定大于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
AC [对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图所示，根据牛顿第二定律，有：F＝mg tan θ＝mv2r，解得：v＝grtanθ，由于球A的转动半径较大，所以球A线速度较大，故A正确；ω＝vr＝gtanθr，由于球A的转动半径较大，则球A的角速度较小，故B错误；周期T＝2πω＝2πrgtanθ，因为球A的半径较大，则周期较大，故C正确；由以上分析可知，筒对小球的支持力N＝mgcsθ，与轨道半径无关，则由牛顿第三定律得知，小球对筒的压力也与半径无关，即球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，故D错误。]
11．如图所示，水平转台上有一个质量m＝1 kg的小物体，离转台中心的距离为r＝0.5 m。求：
(1)若小物体随转台一起转动的线速度大小为1 m/s，物体的角速度；
(2)在第(1)问条件下，物体所受的摩擦力；
(3)若小物体与转台之间的最大静摩擦力大小为4.5 N，小物体与转台间不发生相对滑动时，转台转动的最大角速度。
[解析] (1)已知v＝1 m/s，r＝0.5 m，则由v＝ωr
得ω＝vr＝2 rad/s。
(2)小物体随转台一起转动，向心力由转台对小物体的静摩擦力提供，由牛顿第二定律得：
物体所受的摩擦力F静＝Fn＝mv2r＝2 N。
(3)当小物体所受静摩擦力最大时，角速度最大，有
Fm＝mωm2r得ωm＝Fmmr＝3 rad/s。
[答案] (1)2 rad/s (2)2 N (3)3 rad/s
12．如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间的夹角始终保持为θ＝37°。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度大小为g，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)弹簧为原长时，小球的角速度ω0；
(3)当杆的角速度ω＝54gL时弹簧的长度L′。
[解析] (1)杆处于静止状态时，对小球受力分析，由平衡条件得mg sin 37°＝k×(L－0.5L)，解得弹簧的劲度系数k＝6mg5L。
(2)当弹簧处于原长时，弹簧弹力为零，小球只受重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，有mgtan 37°＝mω02Lcs 37°，解得ω0＝15g16L＝1415gL。
(3)当ω＝54gL>ω0时，弹簧处于伸长状态，设弹簧伸长量为x，对小球受力分析，则在竖直方向有FN cs 37°＝kxsin 37°＋mg
在水平方向有FNsin 37°＋kxcs 37°＝mω2(L＋x)cs 37°
解得x＝2L
所以弹簧长度L′＝L＋x＝3L。
[答案] (1)6mg5L (2)1415gL (3)3L实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动
弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时
拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时
绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力