专题09 在网格背景下的面积和周长计算（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破

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1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E，F在同一条圆弧上，且点C，E，F在格点（小正方形的顶点）上，若，则阴影部分的面积为_________．
【答案】
【分析】根据网格的特点找到过点的圆的圆心，进而根据已知条件与圆周角定理求得，关于阴影部分面积面积等于即可求解．
【详解】如图，
根据网格的特点找到的垂直平分线与的垂直平分线，交于点，连接，
，
，
，
阴影部分面积面积等于
．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了圆周角定理，求扇形面积公式，确定圆心是解题的关键．
2．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，上的点A，B，C，D均为格点，上有一点E，且，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE，由圆周角定理得∠COE＝2∠CAE＝30°，过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，在Rt△OCH 中，求得CH＝OC＝，利用即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE，
∵，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°，
过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，
由勾股定理得OC＝OE＝，
在Rt△OCH 中，∠OHC＝90°，∠COH＝30°，OC＝，
∴CH＝OC＝，
∴
＝
＝
故答案为：
【我思故我在】此题考查了圆周角定理、判断三角形外接圆的圆心位置、扇形的面积公式、勾股定理、直角三角形的性质等知识，利用圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解题的关键．
3．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，点D是边AB的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【分析】取BC中点F，连接DF，由中位线的性质得到，，利用勾股定理分别解得AC，BC，AB的长，证明为等腰直角三角形，继而得到也是等腰直角三角形，解得的面积及扇形CDF的面积即可解答．
【详解】解：如图，连接DF
D是边AB的中点，F是边BC的中点，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，

故答案为：．
【我思故我在】本题考查网格与勾股定理、扇形的面积、中位线性质、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为小正方形的顶点，且点B在上，则阴影部分的面积为__．
【答案】##
【分析】点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，根据题意求出OA，OB，OC的长，确定圆心和半径，从而求出弓形BC的面积，进而解答；
【详解】解：如图，点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，D点为小正方形的顶点，
根据题意由图可得：OA=，OB=OC=5，
∴O为的外接圆的圆心，
AD为底边，则的面积=，
∵OC⊥OB，圆的半径为5，则扇形BC的面积为外接圆的面积，
∴弓形BC的面积=，
∴阴影部分的面积为：10＋=，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了求不规则图形的面积，勾股定理，三角形外接圆的性质，扇形面积的计算；找出圆心的位置是解题的关键．
5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若，则弧CD的长为__________．
【答案】
【分析】作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，根据题意，结合勾股定理，得出的长，再根据圆周角定理，得出，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，
根据题意，可得：，
，
∴弧CD的长为：．
故答案为：
【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、圆周角定理、弧长公式，根据题意并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；弧长公式：（为弧所对的圆心角的度数；为半径）
6．如图，平面直角坐标系中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．则的长为______．
【答案】
【分析】直接利用圆的性质得出圆心位置进而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出；再利用弧长公式计算得出答案．
【详解】解：如图所示：圆心P的坐标为：（-2，1），
∵AP=PC=，AC=2，
∴AP2+PC2=AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠APC=90°，
的长度为：．
故答案为
【我思故我在】此题主要考查了弧长的计算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出圆心位置是解题关键．
7．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在小正方形的顶点上，且弦BG上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为_____________．
【答案】
【分析】连接BE、CF交于点O，连接OG，由圆周角定理可得BE，CF是圆的直径，O为圆的圆心，由勾股定理可得圆的半径为，由∠CBM=45°可得扇形圆心角为90°，再由阴影面积=扇形COG面积-△COG面积计算求值即可；
【详解】解：如图，连接BE、CF交于点O，连接OG，设BG、CE交于格点M，
B、C、E、F均在小正方形的顶点上，则ECBF是矩形，
∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，
∴BE，CF是圆的直径，O为圆的圆心，
BC= 3，BF=4，则FC==5，圆的半径为，
∵BC=CM=3，∠BCM=90°，
∴∠CBM=45°，即∠CBG=45°，
∴∠COG=90°，
∴阴影面积=扇形COG面积-△COG面积=-OC•OG
=，
故答案为：；
【我思故我在】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算等知识；正确作出辅助线是解题关键．
8．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点A，B，C在同一条弧上，则阴影部分的周长为_____．
【答案】
【分析】设的圆心为O，的中点为M，OM与BC的交点为N，根据表格得出BC=6，MN=1，CN=，设圆O的半径为R，利用勾股定理得出R=5，由勾股定理逆定理得出∆AOC为直角三角形，∠COA=90°，结合图形应用弧长公式及勾股定理即可得出结果．
【详解】解：设的圆心为O，的中点为M，OM与BC的交点为N，
由图可知，BC=6，MN=1，CN=，
设圆O的半径为R，
由图可得：，即，
解得：R=5，
∴OC=OA=5，
∵，
∴，
∴∆AOC为直角三角形，∠COA=90°，
阴影部分的周长为：，
故答案为：．
【我思故我在】题目主要考查不规则图形的周长，包括扇形弧长、勾股定理及其逆定理，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
9．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为____．
【答案】
【分析】连接AC，取AC中点F，连接EF，可得AC为直径，F为圆心，再由勾股定理逆定理可得，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，从而得到，结合图形利用三角形面积与扇形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，取AC中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，F为圆心，
∴，
∴∠FAE=∠FEA，即∠CAD=∠FEA，
网格中，由勾股定理得：
，，，
∴，，
∴，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠FEA=45°，
∴，
∴
，
故答案为：．
【我思故我在】本题主要考查了圆周角定理，求扇形面积，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握圆周角定理，扇形面积，勾股定理逆定理是解题的关键．
10．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为______．
【答案】
【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧AB的长度，根据等边三角形性质得BC的长度，再利用勾股定理求出线段AC的长度，即得答案．
【详解】解：由题意知圆心O位置如图所示，
∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOC=60°，
即△BOC为等边三角形，OC=BC=OB=6，
∴弧AB的长度为：，
由勾股定理得：AC=，
阴影部分的周长为，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置．
11．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，且点C在上，与交于点，则的长为______．
【答案】
【分析】连接AC、BC、AB、BD、取AB的中点O，连接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=45°，结合△OAH求出圆心角的度数和半径长，再求出∠BOH=90°，继而利用弧长公式即可求出弧长．
【详解】解：连接AC、BC、AB、BD、取AB的中点O，连接OH，
∵∠ACB=90°，
∴AB为圆O的直径，O是圆心，
∵AB= ,
同理BD=5，
AD= ，
∴AB2+BD2=AD2，
∴∠ABD=90°，
又∵AB=BD，
∴∠BAD=45°，
又∵OA=OH，
∴∠AOH=90°，
∴∠BOH=90°，
∴的长为 ，
故答案为 ．
【我思故我在】本题考查弧长公式、圆周角定理以及勾股定理以及逆定理，解决问题的关键是求出圆心角和半径．
12．如图，在5×4的网格图中，每个小正方形的边长均为1点A，B，C，D均在格点上，点D在上线段BC与交于点E，则图中阴影部分的周长为_______．（结果保留）
【答案】
【分析】先连接AC，AE，可说明△ABC是等腰直角三角形，进而得出∠BDA=90°，得出AB是圆的直径及△ABE是等腰直角三角形，然后根据特殊角三角函数求出BE，再根据弧长公式求出弧长，即可得出答案．
【详解】连接AC，AE，如图所示，
∵，，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠BDA=90°，
∴AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴，∠BAE=45°，
∴所对的圆心角度数为90°，
∴的长为，
∴阴影部分的周长是．
故答案为：．
【我思故我在】本题主要考查了圆周角定理及推论，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，弧长公式等，构造直角三角形是解题的关键．
13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、D均在小正方形的顶点上，且点B、C在AD上，∠BAC=25°，则的长为______．（结果保留）
【答案】##
【分析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=50°，
∴的长=．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
14．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，三点都在格点上，线段与交于点，则图中的长度为________．（结果保留）
【答案】
【分析】连接，由网格图得到和长，再利用圆周角定理得到所对的圆心角，最后利用弧长公式代值求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
由图可知和均是的网格构成的矩形的对角线，则，
是半圆的直径，
由圆周角定理可知，
是等腰直角三角形，
，
，
由圆周角定理可知所对的圆心角为，
的长度为，
在网格中，，
的长度为，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查网格中线段长求解及弧长求解，通过网格找到线段关系及相应线段长度、角度是解决问题的关键．
15．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________．
【答案】
【分析】连接AC，确定弧所对的圆心O，可知AC为直径，连接OB、OD，利用勾股定理求得，，则，根据圆周角定理可得，从而求得，即可求解．
【详解】解：连接AC，确定弧所对的圆心O，连接OB、OD，如下图：
由勾股定理可得：，，
∴
∴为直角三角形，
∴AC为直径，，，
∴
∵
∴，
∴，
所以的长为
故答案为：
【我思故我在】此题考查了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式．
16．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是 ___________．
【答案】
【分析】首先求得扇形的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求得扇形的面积，然后计算出的面积，相减即可得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意得，
，
旋转角，
，
∵，
．
故答案为：．
【我思故我在】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理等，牢固掌握扇形面积公式是做出本题的关键．
17．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，B三点都在格点上，线段AC与交于D，则图中的长度为___．（结果保留π）
【答案】
【分析】连接BC，由题意可得，∠ABC=90°，，推出所对的圆心角的度数和圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接BC，
由图可得：，，，
，
是直角三角形，∠ABC=90°，，
∴∠BAD=45°，
∴所对的圆心角是90°，所在圆的半径是，
∴的长度为：
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了弧长的计算，勾股定理及其逆定理，正确的作出辅助线并熟记弧长公式是解题的关键．
18．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、、是格点，则图中扇形中阴影部分的面积是___．

【答案】
【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝90°，根据勾股定理求出OA、OB，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解:在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB＝＝，
∴扇形OAB中阴影部分的面积＝﹣××＝﹣，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式，利用全等三角形求出圆心角度数是解题的关键．