专题19二次函数与平移变换综合问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用）

这是一份专题19二次函数与平移变换综合问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用），共53页。


【例1】（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
综上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．
【例2】（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一） ，实数k的取值范围是 4≤k≤5 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；
（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°，
当B在C右侧时，同理可得∠ACB＝135°．
【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：
∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣4m），
∵点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x轴，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°，
当B在C右侧时，如图：
同理可得△BHC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°，
综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．
【例3】（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，有S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由二次函数性质得△AOB面积的最大值是．
【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
∴＜0，
∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），
当x＝0时，B（0，c），
将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：
＝﹣2，
∴c＝，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，
∵﹣＜0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
【例4】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，
作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当▱MNQP时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
当▱MNPQ时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【例5】（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝ ，x2＝ （分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用交点式设y＝ax（x+2），把B（，）代入即可求得答案；
（2）①联立得x2+2x＝x+n，解方程即可求得答案；
②分两种情况：当n＞1时，CD位于AB的上方，可得：AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；当＜n＜1时，CD位于AB的下方，可得：AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；
（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，可得P′Q′∥AB，再由（2）②及平移的性质可证得结论；②由A′M+3B′N＝2，可得A′M＝B′N＝，根据二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，把Q（t+1，3）代入y＝x+1，即可求得答案；
方法二：①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，可得：点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．再由二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，求得：B′（t+，），A′（t﹣1，3），即可证得结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+1经过点B（m，），
∴m+1＝，
解得：m＝，
∴B（，），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（，），
设y＝ax（x+2），则＝a××（+2），
解得：a＝1，
∴y＝x（x+2）＝x2+2x，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x；
（2）①由题意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），
解得：x1＝，x2＝，
故答案为：，；
②当n＞1时，CD位于AB的上方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
当＜n＜1时，CD位于AB的下方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
∴当n＞﹣且n≠1时，AE＝BF；
（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，
∴P′Q′∥AB，
∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，
由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N；
②∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，
设点Q在原抛物线上的对应点为Q′，
∵二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，
∴Q′的横坐标为0或1，
∴Q′（0，0）或（1，3），
当Q′（0，0）时，Q（t+1，3），
将点Q的坐标代入y＝x+1，
得：3＝（t+1）+1，
解得：t＝3；
当Q′（1，3）时，Q（t+2，6），
将点Q的坐标代入y＝x+1，
得：6＝（t+2）+1，
解得：t＝8；
综上所述，t＝3或8；
另解：
∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，B（，）的对应点为B′（t+，），
∵B′N＝，
∴点Q的横坐标为t+1，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+，
∴Q（t+1，t+），
将点Q的坐标代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，
解得：t＝3．
方法二：
①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，
当t＞时，解得：x3＝，
∴点Q的横坐标为；
同理可得点P的横坐标为，
∵点P在点Q的左侧，
∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．
∵二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，
∴B（，）的对应点为B′（t+，），A（﹣2，0）的对应点为A′（t﹣1，3）．
∴B′N＝t+﹣＝，A′M＝﹣（t﹣1）＝，
∴A′M＝B′N．
一．解答题（共20题）
1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？
（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2，然后把B点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（3）设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，再把C（7，4）代入求出m的值为4或10，从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2，
把B（0，4）代入得4＝a×（0﹣3）2，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2；
（2）当x＝7时，y＝（x﹣3）2＝×（7﹣3）2＝≠4，
∴点C（7，4）不在这个抛物线上；
（3）能．
设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，
把C（7，4）代入得×（7﹣m）2＝4，
解得m1＝4，m2＝10，
∴把抛物线y＝（x﹣3）2向右平移1个单位或7个单位可经过点C（7，4）．
2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．
（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．
（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．
【分析】（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得到b、c的关系为c﹣b＝3，再由＝6，求出b、c的值即可求函数的解析式；
②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），可得PM＝﹣t2+3t+1＝3，求出t的值即可求M点坐标；
（2）由题意可知抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，则平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，所以抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），再由题意可得m＝+b﹣2①，﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②求出b的值即可．
【解答】解：（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴c﹣b＝3，
∵抛物线的顶点纵坐标为6，
∴＝6，
∴c＝﹣3或c＝5，
∴b＝﹣6或b＝2，
∵顶点位于y轴右侧，
∴b＞0，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+5；
②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），
∴PM＝﹣t2+3t+1，
∵PM＝3，
∴﹣t2+3t+1＝3，
解得t＝1或t＝2，
∴P（1，3）或（2，2）；
（2）∵点A（﹣1，2）平移后对应点为A'（m+1，b+4），
∴抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，
∵c﹣b＝3，
∴y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）2+b+3+，
∴平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，
∴抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），
∵抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，
∴+m+2+5＝2b+5+，
∴m＝+b﹣2①，
∵平移后的抛物线经过点N（2，1），
∴﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，
由①②可得，b+2m＝b+4或b+2m＝﹣b﹣4，
当b+2m＝b+4时，m＝2，此时不符合题意；
当b+2m＝﹣b﹣4时，b＝0或b＝﹣10，
当b＝0时，m＝﹣2；当b＝﹣10时，m＝8；
∴b的值为0或﹣10．
3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．
（1）用含b的式子表示m；
（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；
（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．
【分析】（1）利用Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到Δ＝b2﹣4a＝0，可得a＝，则y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入即可求解；
（2）求出E（﹣，1），则BE＝|﹣|，证明△AOB∽△BOM，可求M（﹣，0），再由AM＝BE，得到|﹣|＝|m+|，求出b＝±2，即可求解析式y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；
（3）平移后抛物线的顶点由A变为M，则平移后的抛物线为y＝（x+）2，因为C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，所以（x+）2＝（x﹣m）2，此时m2＝﹣1，m无解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，
∴a＝，
∴y＝x2+bx+1＝（x+）2，
把A（m，0）代入得，（m+）2＝0，
∴m＝﹣；
（2）若四边形AMBE是平行四边形，A，M均在x轴上，
则AM∥BE，AM＝BE，
∵B在y轴上，
当x＝0时，y＝ax2+bx+1＝1，
∴B（0，1），
∴E的纵坐标为1，
把yE＝1代入抛物线y＝（x+）2，
∴（x+）2＝1，
解得x＝0（舍）或﹣，
∴E（﹣，1），
∴BE＝|﹣|，
∵BC⊥AB，
∴∠MBA＝90°，
∵∠MBO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠MBO，
∴△AOB∽△BOM，
∴＝，
∴OM＝，
∴M（﹣，0），
∵AM＝BE，
∴|﹣|＝|m+|，
∵m＝﹣，
∴b＝±2，
∴y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；
（3）平移后的抛物线不经过点C，理由如下：
∵平移后抛物线的顶点由A变为M，
∴平移后的抛物线为y＝（x+）2，
∵C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，
∴（x+）2＝（x﹣m）2，
∴m2＝﹣1，
∴m无解，
∴平移后的抛物线不经过C点．
4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；
ii．P（m，﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．
（2）i．∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OPB＝×3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，
∴n＝﹣3，
∴P（m，﹣3），
由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴BQ＝m2，+，PQ2＝，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴n＝﹣3＝3，
∴P点的坐标为（2，3）．
5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；
（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，
则∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3，
又OA＝1，OC＝3，
∵∠PAB＝∠ACO，
∴△APD∽△CAO，
∴＝，即＝，
∴3t2﹣13t+10＝0，
解得：t1＝1（舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣
∴P（，﹣）；
（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，
由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°，
∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°，
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，
∴D、P、Q在同一条直线上，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∵∠PFE＝90°＝∠ADP，
∴∠PEF+∠EPF＝90°，
∴∠APD＝∠PEF，
∵AQ平分∠PAC，
∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°，
又PE⊥PA，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
∴△APD≌△PEF（AAS），
∴PF＝AD＝，EF＝PD＝，
∴E（，﹣），
设直线AE的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，
当x＝时，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣，
∴Q（，﹣），
∵﹣﹣（﹣）＝，
∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了个单位．
6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；
（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+3得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（2，3）；
（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
7．（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
∵点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB＝4．
如图，当四边形ABQP为菱形时，
过点P作PC⊥x轴于点C，
令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OD，
∴∠DAO＝45°．
∵PC⊥x轴，
∴PC＝AC．
∵四边形ABQP为菱形，
∴PA＝AB＝4．
∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×＝2，
∴P（2﹣1，2），Q（3+2，2）．
抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位；
同理，当点P在第三象限时，P（﹣2﹣1，﹣2），Q（3﹣2，﹣2），
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
如图，当四边形APBQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠BAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠PAQ＝90°，
∴四边形APBQ为正方形，
∴P（1，2），Q（1，﹣2）．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
如图，当四边形ABPQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠PAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠BAQ＝90°，
∴四边形ABPQ为正方形，
∴P（3，4），Q（﹣1，4）．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位．
8．（2022•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2＝8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2＝8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+；
（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
9．（2021秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
（3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4，得A（﹣2，0），B（2，0），用待定系数法即得抛物线的解析式是y＝﹣x2+4；
（2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，根据∠MAP＝45°，PH⊥AP，可推得△ABP≌△PDH（AAS），得到H（1，5），设直线AH为y＝kx+b，待定系数法得直线AH为y＝x+，从而解得M（，）；当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，同理可得M（，﹣）；
（3）由平移后顶点在直线y＝x+4上，设平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4，把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，结合函数图象可得﹣3≤t＜0，
把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t＝或t＝，结合函数图象可得：＜t≤．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4关于y轴对称，AB＝4，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
把A（﹣2，0）代入y＝ax2+4得：0＝4a+4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4；
（2）当AM在AP上方时，过P作PH⊥AP交直线AM于H，作直线BP，过H作HD⊥BP于D，如图：
∵∠MAP＝45°，PH⊥AP，
∴△APH是等腰直角三角形，
∴AP＝HP，∠APB＝90°﹣∠HPD＝∠PHD，
∵B（2，0），P（2，1），
∴∠ABP＝90°＝∠HDP，
∴△ABP≌△PDH（AAS），
∴AB＝PD，PB＝DH，
∵A（﹣2，0），B（2，0），P（2，1），
∴PD＝AB＝4，DH＝BP＝1，
∴H（1，5），
设直线AH为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AH为y＝x+，
由x+＝﹣x2+4得：x1＝﹣2（点A横坐标，舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣x2+4＝﹣（）2+4＝，
∴M（，）；
当AM在AP下方时，过P作PE⊥AP交直线AM于E，过P作KG∥x轴，过A作AK⊥KG于K，过E作EG⊥KG于G，如图：
同理可得△AKP≌△PGE，
∴PG＝AK＝1，GE＝KP＝4，
∴E（3，﹣3），
设直线AE为y＝k'x+b'，将A（﹣2，0），E（3，﹣3）代入得：
，解得，
∴直线AE为y＝﹣x﹣，
由﹣x﹣＝＝﹣x2+4得x＝﹣2（舍去）或x＝，
∴M（，﹣）；
综上所述，点M的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）∵平移后顶点在直线y＝x+4上，
∴设平移后的抛物线顶点为（t，t+4），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+4，
把A（﹣2，0）代入得：0＝﹣（﹣2﹣t）2+t+4，解得t＝0或t＝﹣3，如图：
结合函数图象可得﹣3≤t＜0，
把P（2，1）代入得：1＝﹣（2﹣t）2+t+4，解得t＝或t＝，如图：
结合函数图象可得：＜t≤，
综上所述，抛物线顶点横坐标t的取值范围为﹣3≤t＜0或＜t≤．
10．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可；
（2）设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称，
∵点A在点B的左侧，且AB＝4，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
把A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5．
（2）根据题意，平移后的抛物线经过原点，
设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，
当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b，
∴C（b，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝b，
当x＝b时，y＝﹣（b）2+b2＝b2，
∴P（b，b2）；
如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴∠OPC＝90°，
∴PD＝OC＝OD，
∴b2＝b，
解得b1＝2，b2＝0（不符合题意，舍去），
∴P（1，1）．
11．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．
（1）求点B与点D的坐标；
（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；
（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．
【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标；
（2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；
（3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．
【解答】解：（1）设B（m，0），
∵A坐标是（2，4），OB＝AB，
∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，
解得m＝5，
∴B（5，0），
设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得：
﹣6a＝4，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点D（，）；
（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝，
设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+，
令x＝得y＝﹣×+＝，
∴E（，）；
（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝，
∴A点向右平移个单位，
∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3，
∵平移后的D点在线段AB上，
∴平移后D点坐标为（3，），
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．
12．（2022•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．
（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；
（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；
（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．
【分析】（1）把P（2，﹣1）代入解析式，即可解得a值，即可求解；
（2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为﹣1，则将二次函数图象向上平移 k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，因为图象与x轴无交点，所以k﹣1＞0，即可求解；
（3）二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，由|m﹣n|＝d，得出m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，再根据d≥2得出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点P（2，﹣1），
∴（2﹣a）（2﹣a+2）＝﹣1，
解得：a＝3，
∴y＝（x﹣3）（x﹣3+2）＝x2﹣4x+3，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1＝a，x2＝a﹣2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，
把x＝a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1，
∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，
∵图象与 轴无交点，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1；
（3）∵二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，
∵|m﹣n|＝d，
∴m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，
把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，
∵d≥2，
∴t的最小值为0．
13．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．
（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣可得对称轴为直线x＝﹣，由抛物线经过（1，0）及抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标，进而求解．
（2）由抛物线经过原点可得二次函数解析式中常数项为0，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线经过（1，0），
∴抛物线过点（﹣2，0），
∴x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
（2）∵抛物线经过原点，
∴抛物线解析为y＝x2+x．
14．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．
（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；
②求△ABC的面积．
【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．
（2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解．
②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣4，
由题意得m2﹣4＝0，
解得m＝±2．
（2）①∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵m﹣（m﹣3）＞m+2﹣m，
∴y1＞y2．
②令x2﹣2mx+m2﹣1＝0，则（x﹣m）2＝1，
解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∴AB＝2，点C坐标为欸（m，﹣1），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝×2×1＝1．
15．（2022•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）求出平移后的抛物线的顶点（1，m﹣5），再求出直线AC的解析式y＝x﹣4，当顶点在直线AC上时，m＝2，当M点在AB上时，m＝4，则2＜m＜4；
（3）设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），分三种情况讨论：当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，，Q点横坐标为1；②当CP为对角线时，CE＝CQ，，Q点横坐标为2，不符合题意；③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP，，Q点横坐标为3﹣．
【解答】解：（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣4，
∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴顶点M（1，﹣5）；
（2）由题可得平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣5+m，
∴抛物线的顶点为（1，m﹣5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
当顶点在直线AC上时，m﹣5＝﹣3，
∴m＝2，
∵AB∥x轴，
∴B（﹣1，﹣1），
当M点在AB上时，m﹣5＝﹣1，
∴m＝4，
∴2＜m＜4；
（3）存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），
∵点E在点C下方，
∴t＜﹣4，
∵Q点在第四象限，
∴0＜q＜+1，
①当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，
∴，
解得（舍）或，
∴Q点横坐标为1；
②当CP为对角线时，CE＝CQ，
∴，
解得，
∴Q点横坐标为2，不符合题意；
③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP，
∴，
解得（舍）或，
∴Q点横坐标为3﹣；
综上所述：Q点横坐标为1或3﹣．
16．（2022•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a．
（1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．
（3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式．
【分析】（1）把a＝﹣1直接代入求出其解析式，利用配方法把二次函数解析式化成顶点式然后求出其顶点坐标；
（2）直接把x的值代入二次函数解析式求k、n的值；根据表格中的数据，描点、连线画出函数图像；根据x的取值范围，在图像上找最低点即可；
（3）先把二次函数的解析式化成顶点式，根据最小值为﹣4，求出a的值，再根据平移以后抛物线在﹣3≤x≤0的最小值为﹣3，确定m的值．
【解答】解：（1）∵c＝﹣3a，
∴y＝ax2+2ax+c
＝ax2+2ax﹣3a
∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+3+1
＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，4）．
（2）把x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝3即k＝3．
把x＝1代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝0即n＝0．
画图象如图所示．
由图像可以看出，当0≤x≤2时，﹣5≤y≤3．∴y最小值＝﹣5．
（3）∵y＝ax2+2ax﹣3a
＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
由题意可得当﹣3＜x＜0时，函数最小值为﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣4，
∵二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度后得y'＝（x+1﹣m）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝m﹣1，
∵m＞1，m﹣1＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小．
∴当x＝0时，y'＝（x+1﹣m）2﹣4＝（1﹣m）2﹣4为最小值，
∴（1﹣m）2﹣4＝﹣3，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
∴m＝2．
∴这个函数表达式为y＝x+2．
17．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；
（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；
（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，
∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，
解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；
（2）∵y＝x2﹣3x+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，
∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，
∴n2﹣3n+1＝4﹣n，
解得n1＝﹣1，n2＝3，
∵n≤x≤1，
∴n的值为﹣1；
（3）根据平移的性质可知，a＝1，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
∵平移后的图象经过原点O，
∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，
∴k≤﹣4．
18．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．
（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
【分析】（1）将A，B两点坐标代入抛物线解析式，从而求得结果，设点A关于抛物线对称轴对称点记作C，则y＞3的图象在直线AC的上方，进而写出结果；
（3）表示出O′和B′的坐标，将其代入抛物线的解析式，从而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3，
点A（0，3）关于对称轴x＝1的对称点（2，3），
∴当y＞3时，0＜x＜2；
（2）∵O′（﹣m，n），B′（3﹣m，n），
∴，
∴．
19．（2022•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点．
（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 （﹣1，﹣） ；
（2）若抛物线的对称轴为直线x＝1．
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；
②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；
（3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由y＝x2+ax+a﹣5＝＝x2+a（x+1）﹣5，即可求解；
（2）①根据对称轴为直线x＝1可得a＝﹣1，可得抛物线的表达式为．进而得出点Q的坐标；
②由平移的性质得QA＝k，B（0，﹣6﹣k），根据QA＝QB，即可得k的值；
（3）当a＝2时，y＝x2+2x+2﹣5＝＝x2+2x﹣3＝（x+2）2﹣5，则抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧，根据点M到y轴的距离不超过2，即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+ax+a﹣5＝＝x2+a（x+1）﹣5，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣5＝﹣，
∴无论a为何值，抛物线L总过一个定点为（﹣1，﹣），
故答案为：（﹣1，﹣）；
（2）①∵抛物线L的对称轴为直线，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为．
∵x＝1时，，
∴顶点Q的坐标为；
②∵将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使顶点Q落在点A处，
∴QA＝k，B（0，﹣6﹣k），
∵，QA＝QB，
∴，
∴，
∴；
（3）当a＝2时，y＝x2+2x+2﹣5＝＝x2+2x﹣3＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧，
又∵﹣2≤m≤2，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣2时，n＝﹣5，
当m＝2时，n＝×（2+2）2﹣5＝3，
∴﹣5≤n≤3．
20．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
（2）过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE（AAS），推出OA＝FG＝3，设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），可得FG＝|m﹣1|＝3，推出m＝﹣2或m＝4，即可解决问题；
（3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，证明PN＝PM，由PF2＝PF1，推出PF+PM＝PF2+PN＝FN1为最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2＝＝＝，则在Rt△MPN中，sin∠PMN＝＝，
∴PN＝PM，
∵PF1＝PF2，
∴PF+PM＝PF2+PN＝F1N为最小值，
∵＝×6×4＝×5×F1N，
∴F1N＝，
∴PF+PM的最小值为．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
4
k
n
…