湖南省长沙市长郡双语实验中学、雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列是二元一次方程组的解的是（ ）
A B. C. D.
5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和，则食堂的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
9. 图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. 1+D. +2
10. 如图，点是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 49的平方根是_____．
12. 在中，用含的代数式表示：____________________
13. 点A（2，7）到x轴的距离为_____．
14. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__.
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，则的值为_______．
16. 我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
根据题中所给的信息，下列说法正确的是________（填序号）．
①可求得；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18 解二元一次方程组．
（1）；
（2）．
19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
（1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出；
（2）求四边形的面积．
20. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
21. 如图，，．
求证：．

根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵（已知），
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴（等量代换）．
22. 如图，直线、交于点，，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
23. 长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如下表：
（1）他们购进两种文化衫各多少件？
（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
24. 规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
25. 如图，直线PQ//MN，一副三角尺中，，，，．
（1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分；
（2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线相交于点（图③），求的度数；
（3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小颖
26
小睿
12
小涵
10
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元/件）
10
12
售价（元/件）
26
30