2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型8 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型8 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版），文件包含2024年中考数学二轮题型突破练习题型9二次函数综合题类型8二次函数与平行四边形有关的问题专题训练原卷版doc、2024年中考数学二轮题型突破练习题型9二次函数综合题类型8二次函数与平行四边形有关的问题专题训练教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。
(1)求抛物线解析式及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标；
(2)以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，求点 SKIPIF 1 < 0 坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，进而勾股定理，根据 SKIPIF 1 < 0 建立方程，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而得出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
综上所述，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（3）解：如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）
∴点 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 .
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点即为点 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
① SKIPIF 1 < 0 为对角线时： SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时： SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时： SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点 SKIPIF 1 < 0 从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作 SKIPIF 1 < 0 ，交AC于点E，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点D．当m为何值时， SKIPIF 1 < 0 面积最大，并求出最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论：当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点E作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，F，
可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；运用待定系数法求直线 SKIPIF 1 < 0 解析式 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 解析式 SKIPIF 1 < 0 ；设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，运用解直角三角形， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定 SKIPIF 1 < 0 时，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0
（2）二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相平分
∴ SKIPIF 1 < 0 解得， SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0
点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为边， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
同理得， SKIPIF 1 < 0
解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
综上，点Q坐标 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点E作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
同理由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
4．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线经过 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形？
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在这样的 SKIPIF 1 < 0 值，使 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出此时 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式，列方程求解；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【详解】（1）解：在直线 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，且抛物线对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在，理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴点E的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点E在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
5．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线（直线 SKIPIF 1 < 0 除外）与抛物线交于G，H两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点M，N．试探究 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可求解；②在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上取点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ，同时使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；③当 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ，再求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求 SKIPIF 1 < 0 ，同理可求 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：①如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上取点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ，同时使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
如上图，根据对称性： SKIPIF 1 < 0 ，
③当 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且 SKIPIF 1 < 0 时，也满足条件，此时点P的坐标仍为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：是定值，
理由：如图， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，
SKIPIF 1 < 0 可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对调位置后，同理可求 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 的定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
6.（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 SKIPIF 1 < 0 ．在y轴上是否存在点F，使得 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0， SKIPIF 1 < 0 ）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x， SKIPIF 1 < 0 ），（0≤x≤4），得到PQ = SKIPIF 1 < 0 ，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，把C（0，4）代入得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x， SKIPIF 1 < 0 ），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-( SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
设E（x， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当BF=EF时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
②当BF=BE时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
③当EF=BE时， SKIPIF 1 < 0 ，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0， SKIPIF 1 < 0 ）或（0，1）或（0，-1）．
．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
7.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿射线AD平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到新的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点E为点P的对应点，点F为 SKIPIF 1 < 0 的对称轴上任意一点，在 SKIPIF 1 < 0 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，过程见解析
【分析】
（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；
（2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为 SKIPIF 1 < 0 ，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，
（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为 SKIPIF 1 < 0
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
设P（m，m2-3m-4），
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当m=1时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大值为：8
（3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴抛物线沿射线AD方向平移平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），
设平移后的抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
设G（n，n2-11n+20），F（ SKIPIF 1 < 0 ，y），
①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．
8.（2022·四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；(2)如图1，若点 SKIPIF 1 < 0 是第二象限内抛物线上一动点，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值；(3)如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一点，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0 (3)存在， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或（3，-16）或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出c的值即可；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 最大，，运用待定系数法求直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 最大，
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离值最大；
(3)存在．∵ SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， SKIPIF 1 < 0 ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得，x=3.
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即H（ SKIPIF 1 < 0 ）
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或（3，-16）或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
9.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线 SKIPIF 1 < 0 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析
【分析】
（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P SKIPIF 1 < 0 ，其中0