2024年中考数学二轮压轴专题重难点突破练习专题13 二次函数区间及最值问题（2份打包，原卷版+教师版）

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1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；
(3)连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合 SKIPIF 1 < 0 的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在 SKIPIF 1 < 0 上，经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求解．
（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 抛物线开口向下，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为函数最小值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当顶点落在线段 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当抛物线向上移动，经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 时，函数图象与线段 SKIPIF 1 < 0 有一个公共点．
【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若把抛物线的图象沿 SKIPIF 1 < 0 轴平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，在自变量 SKIPIF 1 < 0 的值满足 SKIPIF 1 < 0 的情况下，与其对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 的最小值为-2，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用对称轴x=- SKIPIF 1 < 0 =1，图像与x轴交于点（-1，0）求出函数解析式；
（2）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值．
【详解】解：（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 配方为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵另一个与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为（3，0），设抛物线的图象沿 SKIPIF 1 < 0 轴平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，函数开口向上， SKIPIF 1 < 0 ，
∴①若函数向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，只能在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设平移后的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）；
②若函数向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，设平移后的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，均不合题意，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0
∴不合题意，舍去
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．
3．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的顶点．
SKIPIF 1 < 0 求抛物线的解析式及点G的坐标；
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上两点(点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 个单位长度和 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上点 SKIPIF 1 < 0 之间(含点 SKIPIF 1 < 0 )的一个动点，求点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，G（1,4）；（2）﹣21≤ SKIPIF 1 < 0 ≤4.
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 =﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤ SKIPIF 1 < 0 ≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤ SKIPIF 1 < 0 ≤﹣5，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为﹣21≤ SKIPIF 1 < 0 ≤4．
【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．
4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋ SKIPIF 1 < 0 的图像经过点A（－1，－3）．
(1)求a的值和图像的顶点坐标．
(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．
①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；
②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．
【答案】(1)a＝－ SKIPIF 1 < 0 ；(3，5) ；
(2)①m＝1；②－1≤m≤1或5≤m≤7.
【分析】（1）把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋ SKIPIF 1 < 0 中，即可解得a＝－ SKIPIF 1 < 0 ，再利用配方法转化为顶点式解析式即可解答；
（2）①根据题意得到点B SKIPIF 1 < 0 ，根据“左加右减”原则，得到点B′ SKIPIF 1 < 0 ，将其代入解析式即可解答；
②根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)，令y＝3，则－ SKIPIF 1 < 0 (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5.结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7.
（1）
把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋ SKIPIF 1 < 0 中，
得－3＝a×(－1)2＋3×(－1)＋ SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝－ SKIPIF 1 < 0 .
∴y＝－ SKIPIF 1 < 0 x2＋3x＋ SKIPIF 1 < 0 ＝－ SKIPIF 1 < 0 (x－3)2＋5.
∴图像的顶点坐标为(3，5)；
SKIPIF 1 < 0 a＝－ SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为(3，5)；
（2）
由题意，可知点B SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B′ SKIPIF 1 < 0 ，
把点B′ SKIPIF 1 < 0 代入二次函数y＝－ SKIPIF 1 < 0 x2＋3x＋ SKIPIF 1 < 0 中，
得－ SKIPIF 1 < 0 m2＋3m＋ SKIPIF 1 < 0 ＝－ SKIPIF 1 < 0 (m＋4)2＋3(m＋4)＋ SKIPIF 1 < 0 ，解得m＝1.
SKIPIF 1 < 0 .
② SKIPIF 1 < 0 函数图像经过点A(－1，－3)，
根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)，
令y＝3，则－ SKIPIF 1 < 0 (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5，
结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7.
【我思故我在】本题考查二次函数的图像与性质，涉及配方法、二次函数与一元二次方程的联系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.
5．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 面积S的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D．设点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点Q，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵A、B关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当C、B、Q三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D．设点P坐标为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
此时 SKIPIF 1 < 0
所以求 SKIPIF 1 < 0 面积S的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，P点的坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．
6．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点A(2，0)和点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并结合图象写出不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
（3）点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，将点 SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到点 SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）点M的横坐标 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）解方程 SKIPIF 1 < 0 求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
解方程 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴点B的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线在直线的上方，
∴不等式 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1 SKIPIF 1 < 0 BB1 SKIPIF 1 < 0 3，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线 SKIPIF 1 < 0 也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，点M的横坐标 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
．
【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
7．如图，直线y=x−5交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2−4x+c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以AB为边作矩形ABCD，设点C的横坐标为m．
①用含m的代数式表示C，D两点的坐标；
②当CD边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
(2)①点C的坐标为(m，-m-5)；点D的坐标为(m+5，-m)；②-7≤m≤3且m SKIPIF 1 < 0 0．
【分析】（1）先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C的坐标；再利用平移的性质求得点D的坐标即可；
②根据点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．
（1）
解：∵直线y=x−5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，-5)，
∵抛物线y=ax2−4x+c经过A，B两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
（2）
解：①∵点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，-5)，
∴OA=OB=5，
∴△OAB是等腰直角三角形，则∠OAB=∠OBA=45°，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，点C的横坐标为m．
∴CB⊥AB，则∠CBE=∠OBA=45°，
∴CE=BE=-m，
∴点C的坐标为(m，-m-5)；
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵点A是点B向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，
∴点D的坐标为(m+5，-m)；
②设BC的解析式为y=kx-5，
把(m，-m-5)代入y=kx-5，得-m-5=mk-5，
解得：k=-1，
∴BC的解析式为y=-x-5，
设AD的解析式为y=-x+n,
把点D的坐标（m+5,m）代入y=-x+n,得-m=-m-5+n,
解得：n=5,
∴AD的解析式为y=-x+5,
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
联立 SKIPIF 1 < 0 ,解得：x1=5，x2=-2，
当x=5时，点A和点D重合，不符合要求，
x<-2即m+5<-2，得m<-7时，线段CD与抛物线无交点，
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得：x1=0，x2=3，
当x=0时，点C与点B重合，不符合要求，
当x>3即m>3时，线段CD与抛物线无交点，
故-7≤m≤3且m SKIPIF 1 < 0 0．
【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
8．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
(1)若二次函数图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系；
(2)若只有当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，请求出此时二次函数的解析式．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为(1,0)
② SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y1和y2，再根据m的取值范围即可比较；
（2）先根据点P(m,y1)在 SKIPIF 1 < 0 图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，再根据m的取值范围可得：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可以判断出可知 SKIPIF 1 < 0 经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b、c，则问题得解．
（1）
①∵ SKIPIF 1 < 0 经过点(0,1)、(2,1)，
∴有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点坐标为(1,0)，
②∵点P(m,y1)在 SKIPIF 1 < 0 图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵m＞1，
∴m-1＞0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
∵点P(m,y1)在 SKIPIF 1 < 0 图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵只有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，1-m≥0，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，1-m<0，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 经过点(0,0)，(1,0)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知 SKIPIF 1 < 0 经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在（1）中的抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，将抛物线在PQ上方的部分沿PQ翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得出OC，再由 SKIPIF 1 < 0 得出OB的值，代入点B可求出抛物线的解析式；
（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；
（3）讨论PQ在直线 SKIPIF 1 < 0 上方和在直线 SKIPIF 1 < 0 上两种情况即可得出b的取值范围．
(1)
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即B（5，0），
将B（5，0）代入 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即二次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得，
顶点坐标为（2，9），对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)
（3）如图，过（0，-3）且平行于x轴的直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当顶点 SKIPIF 1 < 0 （2，9）的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时与 SKIPIF 1 < 0 的交点为2个，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．
10．已知一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与二次函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求出a、b的值，并写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（2）验证点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，并写出当 SKIPIF 1 < 0 时，x的取值范围；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）见解析； SKIPIF 1 < 0 ；（3）m的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，n的最大值为0.5
【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；
（2）画出函数图象，根据函数图象作答；
（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，进而得m的最小值和n的最大值．
【详解】（1）解：（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象：
由函数图象可知， SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 下方时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，x的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，u随x的增大而增大； SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，v随x的增大而增大，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∵若 SKIPIF 1 < 0 时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∴m的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，n的最大值为0.5.
【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．
11．在平面直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点中的两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为（1）中所求抛物线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)一次函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；
（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．
(1)
解：由题意可知：抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线开口向下，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数 SKIPIF 1 < 0 经过一、三、四象限，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质．
12．如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于A， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在y轴上时， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据二次函数的对称性可得点B坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可得答案；
（2）根据抛物线解析式可得点C坐标，可得 SKIPIF 1 < 0 ，分点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 上方和下方两种情况，利用∠OBP的三角函数求出OP的长，根据线段的和差关系即可得答案；
（3）分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 三种情况，利用二次函数的性质分别求出函数最小值即可得答案．
【详解】（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（2）如图，
∵二次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 上方，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
若点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 下方，则
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线的对称轴为直线x=1， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （正值舍去），
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）
若 SKIPIF 1 < 0 ，函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
综上， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【我思故我在】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的最值及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．