2024年吉林省延边州高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年吉林省延边州高考数学一模试卷（含详细答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1+i)z=3+5i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 15B. 4C. 17D. 5
2.若集合A={x|lnx>1,x∈N*}，集合B={x|x2−6x−7<0}，则A∩B的子集个数为( )
A. 5B. 6C. 16D. 32
3.若p：2−xx+1≤0，则p成立的一个必要不充分条件是( )
A. −1≤x≤2B. |x|>1C. |x|>2D. 24.将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. 16B. 14C. 13D. 23
5.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，若a1+5a3=S8，则下列关系中一定正确的是( )
A. S9=S10B. S96.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. −1312C. 1312D. 112
7.谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形(如图1)，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形(如图2)，对剩下的三个小三角形继续以上操作(如图3)，按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是( )
A. 7 316B. 9 316C. 27 364D. 37 364
8.已知点M，N是抛物线y=4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN=2π3，弦MN的中点P到直线l：y=-116的距离记为d，若|MN|2=λ⋅d2，则λ的最小值为( )
A. 3B. 3C. 1+ 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知随机变量X∼B(6,13)，则D(3X+2)=12
B. 已知随机变量Y∼N(μ,σ2)，且P(Y≤4)=P(Y≥0)，则μ=2
C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8
D. 抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80
10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆O：x2+y2=4上的两点，则下列结论中正确的是( )
A. 若点O到直线AB的距离为 2，则|AB|=2 2
B. 若|AB|=2 3，则∠AOB=π3
C. 若∠AOB=π2，则|x1+y1−1|+|x2+y2−1|的最大值为6
D. x1x2+y1y2的最小值为−4
11.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为 2的正方形，DE=BF=1，DE//BF，DE⊥平面ABCD，动点P在线段EF上，则下列说法正确的是( )
A. AC⊥DP
B. 存在点P，使得DP//平面ACF
C. 当动点P与点F重合时，直线DP与平面AFC所成角的余弦值为3 1010
D. 三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面积是9π2
12.已知当x>0时，11+xA. e18>87B. 1+12+13+⋯+17C. 12+13+14+⋯+18三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=ex−1ex+1，若对任意的正数a、b，满足f(a)+f(2b−2)=0，则2a+1b的最小值为______.
14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为2 5π5，半径为 5的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则球O的体积为______.
15.定义在(0,+∞)上的函数f′(x)满足xf′(x)−1>0，f(4)=2ln2；则不等式f(ex)16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−45，AB⊥BD，则E的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=12−sin2ωx+ 32sin2ωx，(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求ω的值，并写出f(x)的对称轴方程；
(2)在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c满足(2a−c)csB=bcsC，求函数f(A)的取值范围.
18.(本小题12分)
已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn=(an+12)2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=n+1SnSn+2，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn<516.
19.(本小题12分)
“斯诺克(Snker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……)，没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为13，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为12，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
(1)求甲以3：1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为ξ，求E(ξ).
20.(本小题12分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1=π3，侧面四边形ABB1A1是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点．
(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD//平面B1C1E，并说明理由；
(2)当三棱锥B−A1DC1的体积为 3时，求平面A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2，上顶点为H，O为坐标原点，∠OHF2=30∘，点(1,32)在椭圆E上．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设经过点F2且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P(−2,0)，Q(2,0).若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记△MPQ，△NPQ的面积分别为S△MPQ，S△NPQ，求S△MPQS△NPQ的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2csx，f′(x)为函数f(x)的导函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)已知函数g(x)=f′(x)−5x+5alnx，存在g(x1)=g(x2)(x1≠x2)，证明x1+x2>2a.