2024年江西省南昌十九中高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江西省南昌十九中高考数学一模试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数1+i是关于x的方程ax2−2ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则( )
A. a+2b=0B. a−2b=0C. 2a+b=0D. 2a−b=0
2.已知集合A={x|x=kπ2,k∈Z}，B={x|x=π2+kπ,k∈Z}，则( )
A. A=BB. A∩B=⌀C. A⊆BD. A⊇B
3.双曲线x23−y2=1的顶点到其渐近线的距离为( )
A. 3B. 1C. 32D. 33
4.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|=3|OA|，则f(2024)=( )
A. − 22B. −12C. 12D. 22
5.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为( )
A. 8πB. 8π3C. 8 6π27D. 8 2π3
6.假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A. 37150B. 975C. 1837D. 12
7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为( )
A. 35B. 45C. 55D. 2 55
8.设直线l：x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|MN|= 136，则k的值为( )
A. 32B. 23C. 12D. 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，则下列结论正确的是( )
A. 若a//b，则tanα= 3
B. 若a⊥b，则tanα=− 33
C. 若a与b的夹角为π3，则|a−b|=3
D. 若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是(−12,− 32)
10.已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex，下列结论正确的是( )
A. 若函数f(x)无极值点，则f(x)没有零点
B. 若函数f(x)无零点，则f(x)没有极值点
C. 若函数f(x)恰有一个零点，则f(x)可能恰有一个极值点
D. 若函数f(x)有两个零点，则f(x)一定有两个极值点
11.正方体A1B1C1D1−ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合V，则( )
A. V中元素的个数为58
B. V中每个四面体的体积值构成集合S，则S中的元素个数为2
C. V中每个四面体的外接球构成集合O，则O中只有1个元素
D. V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与圆x2+y2=1和圆(x− 2)2+(y− 2)2=9都相切的直线方程是______.
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间(π6,7π12)上单调，且满足f(π6)=−1，f(3π4)=0，则ω=______.
14.从1，2，3，⋯，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，⋯，X中随机抽一个数记为Y，则E(Y)=______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知0(1)求f(x)的单调区间.
(2)讨论方程f(x)=a的根的个数.
16.(本小题12分)
如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.
(1)证明：DE//平面SAC.
(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=anan+1+14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对于任意n∈N*，2n⋅λ≥Sn成立，求实数λ的取值范围.
18.(本小题12分)
已知双曲线C1：x2−y2b2=1经过椭圆C2：x2a2+y2=1的左、右焦点F1，F2，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，且e1e2= 62.
(1)求C1，C2的方程；
(2)设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线PF1与C2交于A，B两点，直线PF2与C2交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标.
19.(本小题12分)
由mn个小正方形构成长方形网格有m行和n列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p，放红球的概率为q，p+q=1.
(1)若m=2，p=q=12，记y表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程lny =b n+a ，并预测n=10时，y的值(精确到1)
(2)若m=2，n=2，p=13，q=23，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：(1−pm)n+(1−qn)m≥1.
附：经验回归方程系数：b =i=1kxiyi−kx−⋅y−i=1kxi2−kx−2，a =y−−b x−，i=15ni⋅lnyi=53，lny−=3.8
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：复数1+i是关于x的方程ax2−2ax+b=0(a,b∈R)的一个根，
则a(1+i)2−2a(1+i)+b=0，即2a−b=0.
故选：D.
将1+i代入方程，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由集合B={x|x=(2k+1)π2,k∈Z},A={x|x=kπ2,k∈Z}，得A⊇B.
故选：D.
由集合A，B的元素特性，可得集合间的关系．
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：双曲线x23−y2=1的一个顶点坐标为A( 3,0)，
一条渐近线方程为y= 33x，即x− 3y=0，
则双曲线x23−y2=1的顶点到其渐近线的距离为d=| 3| 12+(− 3)2= 32.
故选：C.
由双曲线方程求出双曲线的一个顶点坐标及一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=sin(ωx+φ)，所以f(x)max=1，
又因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|=2=πω，则ω=π2，
又因为|OB|=3|OA|，所以A(−12,0)，代入f(x)得0=sin(−12×π2+φ)，
又0<φ<π，则−12×π2+φ=0，解得φ=π4，
故f(x)=sin(πx2+π4)，
则f(2024)=sin(1012π+π4)= 22.
故选：D.
根据函数的解析式得到△ABC的高，继而利用△ABC的性质得到A(−12,0)，从而求得φ=π4，进而代入求值即可得解．
本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意知所得多面体是棱长为2的正八面体，
则正八面体的外接球直径为2R=EG= (2 3)2−22=2 2，
所以半径为R= 2，
所以正八面体的外接球体积为43πR3=43π×( 2)3=8 2π3.
故选：D.
根据题意知所得多面体是棱长为2的正八面体，求出正八面体的外接球直径，即可求出外接球的体积．
本题考查了多面体外接球的体积计算问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个为事件Ai(i=0,1,2)，事件Ai的概率为P(Ai)，
从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P(B)，
根据题意，可得P(A0)=C22C30C52=110,P(B|A0)=C22C40C62=115；
P(A1)=C31C21C52=35,P(B|A1)=C32C30C62=15；P(A2)=C20C32C52=310,P(B|A2)=C42C20C62=25，
根据贝叶斯公式得，从乙袋中取出2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为：
P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=310×25110×115+35×15+310×25=1837.
故选：C.
设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个为事件Ai，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，分别求得相应的概率，结合贝叶斯公式，即可求解．
本题考查古典概型、贝斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：不妨设A、B为锐角，且A则csC=0，sinB=csA，csB=sinA，csA>csB>0，
∵直角三角形三个内角的余弦值成等差数列，
∴2csB=csA+0=csA，
∴4cs2B=cs2A，
即1−sin2A=4sin2A，
可得sin2A=15，
∴sinA= 55.
故选：C.
设A、B为锐角，且AcsB>0，由直角三角形三个内角的余弦值成等差数列，得到2csB=csA，由此能求出最小内角的正弦值．
本题考查三角函数与数列的综合运用，求直角三角形中最小角的正弦值．解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用，注意三角函数恒等式的灵活运用．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得原点O关于直线l：x+y−1=0的对称点为A(1,1)，
一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，
根据y=kxx+y−1=0，解得x=11+ky=k1+k，可知入射点P(11+k,k1+k)；
由点A、P、M三点共线，解得M(1−k,0).
设P关于x轴的对称点为P′(11+k,−k1+k)，
光线再次经x轴反射后与y轴交于点N.则P′、M、N三点共线，
设N(0,b)，则b−00−(1−k)=−k1+k−011+k−(1−k)，解得b=1−kk，即N(0,1−kk)，
所以|MN|= (1−k)2+(1−kk)2= 136，解得k=23(k=32不符合题意，舍去).
故选：B.
求出入射点P的坐标关于k的表达式，根据A、P、M三点共线解出点M的坐标关于k的表达式，同理求出点N的坐标关于k的表达式，然后利用两点间的距离公式列式解出k的值，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其应用、轴对称的性质、两条直线的交点求法等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，a//b，
则sinα= 3csα，解得tanα= 3，故A正确；
a⊥b，则csα+ 3sinα=0，解得tanα=− 33，故B正确；
|a|=2，|b|=1，若a与b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|csπ3=2×1×12=1，
故|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 4−2+1= 3，若a与b方向相反，
则b在a上的投影向量的坐标是：|b|csπ⋅a|a|=1×(−1)×12a=(−12,− 32)，故D正确．
故选：ABD.
对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；对于C，结合向量模公式，即可求解；对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：已知f(x)=(x2+ax+b)ex，函数定义域为R，
可得f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex，
不妨设g(x)=x2+(a+2)x+a+b，函数定义域为R，
对于选项A：若函数f(x)无极值点，
此时Δ=(a+2)2−4(a+b)≤0，
即a2−4b≤−4，
所以f(x)=(x2+ax+b)ex>0，没有零点，函数图象如下所示：
故选项A正确；
对于选项B：若函数f(x)无零点，
此时a2−4b<0，
即a2−4b+4<4，
当a2−4b+4>0时，f′(x)先正再负再正，
此时函数f(x)先增再减再增，
所以函数f(x)有极值点，函数图象如下所示：
故选项B错误；
对于选项C：若函数f(x)恰有一个零点，
此时a2−4b=0，
即a2−4b+4=4>0，
可得f′(x)先正再负再正，
则函数f(x)先增再减再增，
所以函数f(x)有两个极值点，函数图象如下所示：
故选项C错误；
对于选项D：若函数f(x)有两个零点，
此时a2−4b>0，
即a2−4b+4>4>0，f′(x)先正再负再正，
此时函数f(x)先增再减再增，
所以函数f(x)有两个极值点，函数图象如下所示：
故选项D正确．
故选：AD.
由题意，对函数f(x)进行求导，构造函数g(x)=x2+(a+2)x+a+b，再对选项进行逐一分析，构造相应图象进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对A选项，根据题意可得V中元素的个数为C84−6−6=58，∴A选项正确；
对B选项，设正方体的体积为6，则当四面体为正四面体时，其体积为6−4×13×12×6=2，
当不为四面体时，根据正方体的性质易得四面体的体积都为13×12×6=1，
故V中每个四面体的体积值构成集合S，则S中的元素个数为2，∴B选项正确；
对C选项，根据正方体的对称性易知：V中每个四面体的外接球均为正方体的外接球，
∴V中每个四面体的外接球构成集合O，则O中只有1个元素，∴C选项正确；
对D选项，当为图中四面体D1BCD时，四个表面都是直角三角形，故D选项错误．
故选：ABC.
根据排列组合数公式，正方体的对称性，即可分别求解．
本题考查立体几何的综合应用，排列组合数公式的应用，属中档题．
12.【答案】x+y+ 2=0
【解析】解：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=1，
圆C2的圆心为C2( 2, 2)，半径r2=3
则两圆圆心距 2+2=2=3−1，则两圆内切，
故与圆C1和圆C2都相切的直线有一条，
kC1C2= 2−0 2−0=1，则切线斜率为−1，设为y=−x+b，
圆心(0,0)到其的距离为1，则有|b| 2=1，b=± 2，
结合图形可得b=− 2，则切线方程为x+y+ 2=0.
故答案为：x+y+ 2=0.
先判断两个圆的位置关系，再根据点到直线的距离公式可得切线方程．
本题考查两个圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】67
【解析】解：依题意，f(x)min=f(π6)=−1，而函数f(x)在(π6,7π12)上单调，
则函数f(x)的最小正周期T≥2(7π12−π6)=5π6，又f(3π4)=0，
3π4−π6=7π12故答案为：67.
由单调性确定函数f(x)的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可得解．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
14.【答案】n+34
【解析】解：由题意知P(x=k)=1n,k=1,2,⋯,n，
由全概率公式知，P(Y=1)=P(Y=1|X=1)+P(Y=1|X=2)+P(Y=1|X=3)+⋯+P(Y=1|X=n)
=1n×1+1n×12+1n×13+⋯+1n×1n=1n(1+12+13+⋯+1n)，
P(Y=2)=P(Y=2|X=2)+P(Y=2|X=3)+⋯+P(Y=2|X=n)
=1n×12+1n×13+⋯+1n×1n=1n(12+13+⋯+1n)，
P(Y=3)=P(Y=3|X=3)+P(Y=3|X=4)+⋯+P(Y=3|X=n)
=1n×13+⋯+1n×1n=1n(13+⋯+1n)，
⋯⋯，
P(Y=n−1)=P(Y=n−1|X=n−1)+P(Y=n−1|X=n)=1n×1n−1+1n×1n=1n(1n−1+1n)，
P(Y=n)=P(Y=n|X=n)=1n×1n，
所以E(Y)=1⋅P(Y=1)+2P(Y=2)+3P(Y=3)+⋯+(n−1)P(Y=n−1)+nP(Y=n)
=1n[1⋅(1+12+13+⋯+1n)+2(12+13+⋯+1n)+3(13+⋯+1n)+⋯+(n−1)(1n−1+1n)+n⋅1n]
=1n[1+(12+22)+(13+23+33)+(14+24+34+44)+⋯+(1n+2n+3n+⋯+1n)]
=1n(1+32+42+52+⋯+n+12)
=1n⋅12⋅n2(2+n+1)
=n+34.
故答案为：n+34.
易知P(x=k)=1n,k=1,2,⋯,n，根据全概率公式求出P(Y=1)、P(Y=2)、P(Y=3)、⋯、P(Y=n−1)、P(Y=n)，结合数学期望公式计算即可求解．
本题主要考查条件概率以及全概率的计算公式的应用，结合等差数列的运算，寻找X和Y的联系是解决本题问题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−axx(x≠0).
所以，f′(x)=aex−a⋅x−aex−ax2=aex−a(x−1)x2.
由f′(x)>0⇒x>1，又函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
所以函数在(−∞,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
(2)因为00，函数在(0,1)上递减，在(1,+∞)递增，
所以f(x)min=f(1)=ael−a>ae0=a，所以方程f(x)=a无解．
综上可知，方程f(x)=a的根的个数为0.
【解析】(1)求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间．
(2)利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数．
本题主要考查利用导数求单调性和根的个数，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：取SA的中点F，连接CF，EF，CD.
因为C，D为圆弧AB的两个三等分点，所以CD//AB，CD=12AB.
因为E，F分别为SB，SA的中点，所以EF//AB，EF=12AB，
则CD//EF，EF=CD，从而四边形CDEF为平行四边形，
故DE//CF.
因为DEC平面SAC，CF二平面SAC，所以DE//平面SAC.
(2)解：以O为坐标原点，AB垂直平分线为x轴，
OB，OS的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB=SA=4，所以A(0,−2,0)，B(0,2,0)，C( 3,−1,0)，
D( 3,1,0)，S(0,0,2 3)，
则AC=( 3,1,0)，AS=(0,2,2 3)，BD=( 3,−1,0)，BS=(0,−2,2 3).
设平面SAC的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅AC= 3x1+y1=0m⋅AS=2y1+2 3z1=0，令x1=1，得m=(1,− 3,1).
设平面SBD的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅BD= 3x2−y2=0n⋅BS=−2y2+2 3z2=0，令x2=1，得n=(1, 3,1).
设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为θ，
则csθ=|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m||n|=|1−3+1| 5× 5=15.
所以平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值为15.
【解析】(1)取SA的中点F，连接CF，EF，CD，证明四边形EFCD是平行四边形，即可证明；
(2)建立空间直角坐标系求解．
本题考查了空间中直线与平面平行的证明，考查了利用空间向量求空间角，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由a1=1,Sn=anan+1+14，可得4S1=4a1=a1a2+1，即4=a2+1，可得a2=3，
当n≥2时，由4Sn=anan+1+1，可得4Sn−1=an−1an+1，
两式相减可得4an=4Sn−4Sn−1=anan+1−an−1an，化为an+1−an−1=4，
即数列{an}的奇数项和偶数项均为公差为4的等差数列，
即有n=2k−1时，an=1+4(k−1)=4k−3；
n=2k时，an=3+4(k−1)=4k−1；
所以an=2n−1，n∈N*；
(2)Sn=12n(1+2n−1)=n2，
对于任意n∈N*，2n⋅λ≥Sn成立，即为λ≥n22n恒成立．
设bn=n22n，则bn+1−bn=(n+1)22n+1−n22n=2−(n−1)22n+1，
当n=1，2时，b3>b2>b1；
当n≥3时，bn+1−bn<0，即有b3>b4>b5>...>bn，
可得n=3时，bn取得最大值98，
则λ≥98，即λ的取值范围是[98,+∞).
【解析】(1)数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的定义和通项公式，可得所求；
(2)由等差数列的求和公式和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列和数列的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题可得a2−1=1，则a2=2，
由e1e2= 62，得e12e22=1+b21⋅a2−1a2=32，解得b2=2，
故C1的方程为x2−y22=1,C2的方程为x22+y2=1；
(2)易知F1(−1,0)，F2(1,0)，
如图，设P(x0,y0)，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，
则k1=y0x0+1,k2=y0x0−1,k1k2=y02x02−1，
因为P(x0,y0)在C1:x2−y22=1，则有x02−y022=1，
可得k1k2=y02x02−1=2为定值，
设直线PF1的方程为：y=k1(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程y=k1(x+1)x22+y2=1，消去y得(2k12+1)x2+4k12x+2(k12−1)=0,Δ>0恒成立，
则有x1+x2=−4k122k12+1，
易求得AB中点M(−2k122k12+1,k12k12+1)，
设直线PF2的方程为：y=k2(x−1)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
同理可得N(2k222k22+1,−k22k22+1)，
则k=−k12k12+1+k22k22+12k122k12+1+2k222k22+1=−k1(2k22+1)+k2(2k12+1)2k12(2k22+1)+2k22(2k12+1)
=−(2k1k2+1)(k1+k2)8k12k22+2(k12+k22)=−(2k1k2+1)(k1+k2)8k12k22+2[(k1+k2)2−2k1k2]，
因为k1k2=2，所以k=−5(k1+k2)24+2(k1+k2)2，
又点P在第一象限内，故k2>k1>0，
所以k=−524k1+k2+2(k1+k2)≥−52 24k1+k2×2(k1+k2)=−5 324
当且仅当24k1+k2=2(k1+k2)，即k1+k2=2 3时取等号，
而k1+k2>2 k1k2=2 2，故等号可以取到，
即当k取最小值时，有k1+k2=2 3k1k2=2，
解得k1= 3−1,k2= 3+1，
故PF1的方程为：y=( 3−1)(x+1),PF2的方程为：y=( 3+1)(x−1)，
联立方程y=( 3−1)(x+1)y=( 3+1)(x−1)，解得x= 3y=2，
即有P( 3,2).
【解析】(1)由题意可得a2−1=1,e12e22=1+b21⋅a2−1a2=32，解方程求出a2，b2，即可求出C1，C2的方程；
(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，由题意可得k1k2=2，设直线PF1的方程为：y=k1(x+1)，联立x22+y2=1，可得M(−2k122k12+1,k12k12+1)，同理可得N(2k222k22+1,−k22k22+1)，即可求出直线MN的斜率为k，再由基本不等式即可得出答案．
本题考查了圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)由题意知n−=1+2+3+4+55=3，
故b =53−5×3×3.855−45=−0.4，
所以a =3.8+0.4×3=5，
所以线性回归方程为：lny =−0.4n+5，
所以，估计n=10时，lny=1，∴y=e≈3.
(2)由题意知：m=2，n=2，p=13，q=23，
则X的取值可能为0，1，2，
记“含红球的行数为 k”为事件Ak，(k=0,1,2)，记“每列都有白球”为事件 B，
所以P(X=0)=P(A0|B)=P(A0B)P(B)=p4(1−q2)2=125，
P(X=1)=P(A1|B)=P(A1B)P(B)=C41p3q+C21p2q2(1−q2)2=1625，
P(X=2)=P(A2|B)=P(A2B)P(B)=C21(pq)2(1−q2)2=825，
所以X X的分布列为：
所以数学期望为E(X)=0×125+1×1625+2×825=3225.
(3)证明：因为每一列至少一个红球的概率为(1−pm)n，
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以P(A)=1−(1−pm)n，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以P(B)=(1−qn)m，
显然，A⊆B，所以 P(A)≤P(B)，
即1−(1−pm)n≤(1−qn)m，所以(1−pm)n+(1−qn)m≥1.
【解析】(1)根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
(2)确定 X的取值可能为0，1，2，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望；
(3)求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
X
0
1
2
P
125
1625
825