2024年浙江省五校联盟高考数学联考试卷（3月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省五校联盟高考数学联考试卷（3月份）（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若全集U，集合A，B及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为( )
A. ∁U(A∩B)
B. ∁U(A∪B)
C. (∁UA)∩B
D. A∩(∁UB)
2.已知向量a=(1,2)，向量b满足|b|=2，若a⊥b，则向量a−b与a的夹角的余弦值为( )
A. 2 55B. 54C. 53D. 56
3.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若b//α，c⊂α，则b//cB. 若b//c，b⊂α，则c//α
C. 若α⊥β，c//α，则c⊥βD. 若c//α，c⊥β，则α⊥β
4.已知角α的终边过点P(−3,2csα)，则csα=( )
A. 32B. − 32C. ± 32D. −12
5.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“q=2”是“{Sn+a1}为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=12，则x+y的最小值为( )
A. 1+2 6B. 8C. 6 2D. 1+2 3
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2、A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且∠PAQ=2π3，则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 213
D. 13
8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE=3,DF=2 3,∠DEF=90∘，则三角形ABC的面积的最大值是( )
A. 7 3B. 13 3C. 73 3D. 133 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同)，将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是( )
A. 剩下评分的平均值变大B. 剩下评分的极差变小
C. 剩下评分的方差变小D. 剩下评分的中位数变大
10.在三棱锥A−BCD中，已知AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则( )
A. MN⊥AD
B. 异面直线AN，CM所成的角的余弦值是78
C. 三棱锥A−BCD的体积为4 73
D. 三棱锥A−BCD的外接球的表面积为11π
11.已知函数f(x)=ex⋅(sinx+csx)，则( )
A. f(x)的零点为x=kπ−π4,k∈Z
B. f(x)的单调递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z
C. 当x∈[0,π2]时，若f(x)≥kx恒成立，则k≤2π⋅eπ2
D. 当x∈[−1003π2,1005π2]时，过点(π−12,0)作f(x)的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为502π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线3x−4y+3=0的一个方向向量是______.
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为______.
14.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f(2x−1)，g(x−2)均为偶函数，且当x∈[1,2]时，f(x)=mx3−2x，则g(2024)=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90∘，点B1在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2.
(Ⅰ)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(Ⅱ)若斜棱柱的高为 3，求平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax，其中a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(Ⅱ)是否存在实数a，使得f(x)在x∈(0,e]上的最大值是−3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
记复数的一个构造：从数集{0,1, 3}中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造，可得到n个复数，将它们的乘积记为zn.
已知复数具有运算性质：|(a+bi)⋅(c+di)|=|(a+bi)|⋅|(c+di)|，其中a，b，c，d∈R.
(Ⅰ)当n=2时，记|z2|的取值为X，求X的分布列；
(Ⅱ)当n=3时，求满足|z3|≤2的概率；
(Ⅲ)求|zn|−2，
故x+y=x−3+y+2+1≥2 (x−3)(y−2)+1=2 6+1，当且仅当x−3=y+2(x−3)(y+2)=6时，等号成立．
故选：A.
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意易得A(−a,0)，P(−a,−b)，Q(a,b)，
∴AP=(0,−b)，AQ=(2a,b)，又=∠PAQ=2π3，
∴cs=AP⋅AQ|AP||AQ|=−b2b× 4a2+b2=cs2π3=−12，
∴b 4a2+b2=12，
∴4a2+b2=4b2，∴4a2=3b2，
∴4a2=3(c2−a2)，
∴7a2=3c2，
∴e2=c2a2=73，
∴e= 213.
故选：C.
根据向量的夹角公式建立方程即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，向量的夹角公式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，△DEF为直角三角形，且DE=3，DF=2 3，
∴cs∠EDF=DEDF= 32，即∠EDF=π6，
令∠BDE=θ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=π3，
则∠BED=π−∠B−∠BDE=2π3−θ，
∵∠FDA=π−∠EDF−∠BDE=5π6−θ，
∴∠DFA=π−∠FDA−∠A=θ−π6，
在△BDE中，由正弦定理得DEsinB=BDsin∠BED，
即BD=2 3sin(2π3−θ)，
在△ADF中，由正弦定理得DFsinA=ADsin∠DFA，
即AD=4sin(θ−π6)，
即AB=AD+BD
=4( 32sinθ−12csθ)+2 3( 32csθ+12sinθ)
=3 3sinθ+csθ=2 7sin(θ+φ)，
则ABmax=2 7，此时△ABC面积最大，最大面积为12× 32×(2 7)2=7 3.
故选：A.
由题意得到∠EDF=π6，令∠BDE=θ，分别得到∠BED，∠FDA和∠DFA，在△BDE和△ADF中，利用正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解．
本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：去掉一个最低评分和一个最高分后剩下评分的平均值有可能变小、不变或变大，A错误；
剩下评分的极差一定会变小，B正确；
剩下评分的波动性变小，则方差变小，C正确；
剩下评分的中位数不变，D错误．
故选：BC.
去掉一个最低评分和一个最高评分平均分变化未知，根据极差概念知极差变小，根据方差意义知方差也变小，根据中位数概念知中位数未变．
本题主要考查了平均数、极差、方差和中位数的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：如图，将三棱锥A−BCD补全成长方体，
设该长方体的长，宽，高分别为a，b，c，
则根据题意可得a2+b2=4a2+c2=9b2+c2=9，
解得a=b= 2，c= 7，
对A选项，由图可知MN垂直上底面，∴MN⊥AD，∴A选项正确；
对B选项，如图，易知CM//PN，
∴异面直线AN，CM所成的角即为∠PNA，
又易知PN=AN= 7+1=2 2，AP= 2，
∴cs∠PNA=8+8−22×2 2×2 2=1416=78，∴B选项正确；
对C选项，根据分割补形法可得三棱锥A−BCD的体积为：
2× 2× 7−4×13×12× 2× 2× 7=2 73，∴C选项错误；
对D选项，根据对称性可知：三棱锥A−BCD的外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，
∴(2R)2=( 2)2+( 2)2+( 7)2=11，
∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4πR2=11π，∴D选项正确．
故选：ABD.
将三棱锥A−BCD补全成长方体，根据题意建立方程求出该长方体的长宽高，再针对各个选项分别求解即可．
本题考查线线垂直的证明，异面直线所成角的求解，三棱锥的体积的求解，三棱锥的外接球问题，分割补形法的应用，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：A:f(x)=ex⋅(sinx+csx)= 2exsin(x+π4)，所以x+π4=kπ⇒x=kπ−π4,k∈Z，故A正确；
B：由复合函数的单调性可知，当−π2+2kπ≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，函数为递增函数，解得−34π+2kπ≤x≤2kπ+π4,k∈Z，故B错误；
C：若f(x)≥kx恒成立，所以 2exsin(x+π4)≥kx，
因为x∈[0,π2]，当x=0时， 2sinπ4≥0，此时k取任意值，
当x≠0时，设g(x)= 2exsin(x+π4)x，则g′(x)=[ 2exsin(x+π4)+ 2excs(x+π4)]x− 2exsin(x+π4)x2= 2ex[ 2xcsx−sin(x+π4)]x2，
画出中括号内的函数图像，
由函数图像可知，g′(x)0恒成立，f(x)在(0,e]上单调递增，
∴f(x)的最大值是f(e)=1−ae=−3，解得a=4e>0，舍去；
②当a>0时，由f(x)=1x−a=1−axx=0，得x=1a，
当00;x∈(1a,e)时，f(x)