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江苏省盐城市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份江苏省盐城市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分试题卷和答题卷两部分。试题卷包括1至4页；答题卷1至4页。满分150分。考试时间150分钟。
命题：姚爱亮 审核：胡芳
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为
A．24B．60C．120D．720
2．如果数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，那么a12的值为
A．23B．24C．25D．26
3．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c，则下列向量中与BM相等的是
A．12a+12b+cB．−12a+12b+cC．−12a−12b+cD．12a−12b+c
4．某学校运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为
A．504B．510C．480D．500
5．设1+2x5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2⋯+a5=
A．−2B．−1C．242D．243
6．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是
A．1127B．1027C．1021D．1121
7．设函数fx=sinx+x，则满足flnx+fx−1<0的x的取值范围是
A．0,1B．−∞,1C．1,+∞D．1,e
8．已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，经过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，若AF1=2a,S△ABF2=43a2，则双曲线C的离心率为
A．3B．7C．333D．573
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知PA=14,PB|A=13.若事件A,B相互独立，则
A．PB=13B．PAB=112C．PA|B=12D．PA+B=34
10．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为DC的中点，则
A．EB1⊥AD1B．D1E与AC1所成角余弦值为155
C．面AED1与面ABCD所成角正弦值为305D．C与面AED的距离为63
11．在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15∘，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN=15∘依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形的边长为a1=AB，第2个正方形的边长为a2=EF,⋯⋯），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，⋯⋯，）则
A．a2=6B．S1=34
C．数列{Sn}是公比为63的等比数列D．数列{an2}的前n项和Tn取值范围[9,27)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N25,0.16，其中X∈[24.6,26.2]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据：若X∼Nμ,δ2，则Pμ−δ≤X≤μ+δ≈0.6827,Pμ−2δ≤X≤μ+2δ≈0.9545，Pμ−3δ≤X≤μ+3δ≈0.9973
13．设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l:3x+4y+6=0最小的距离为 .
14．设a,t∈R，，不等式lnx−tx−a−1≤0在0,+∞上恒成立，则at的最小值 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分13分）
已知x+1xn的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1:3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含1x的项.
16．（本小题满分15分）
已知函数fx=13x3+ax2−5x+b在x=−1处取得极大值，且极大值为3.
（1）求a,b的值：
（2）求fx在区间m,2m−1上不单调，求m的取值范围.
17．（本小题满分15分）
为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量X表示甲的得分，求EX,DX.
18．（本小题满分17分）
如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD,A1A=D1D=17，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上.
（1）当Q点在什么位置时，使得PQ//平面ABB1A1；
（2）若面AA1B1B与面PQD所成角的正弦值为33434，求BQ的长.
19．（本小题满分17分）
已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0经过423,33和2,62，A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过x轴上点D（点D在椭圆M长轴上）作直线交椭圆E、F两点，且E1,32，若S△EAD−S△FBD=32，求F点的坐标；
（3）过点B作直线交椭圆M于P点，交直线AC于Q，直线CP于x轴相交于N，求证2kQN−kQB为定值，并求此定值.（其中kQN,kQB分别为直线QN和直线QB的斜率）.
【参考答案】
2023-2024学年度高二年级第二学期期中联考试卷
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．ABD 10．AD 11．ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．0.84
13．34
14．−e
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（1） 解 n=7…………5分
（2） Tr+1=C7rx7−r1xr=C7rx7−3r2…………9分
当r=3时T4=C73x−1=35x…………13分
16．（1） 解 求导得f′x=x2+2ax−5因为函数fx在x=−1处取得极大值，且极大值为3
所以f′−1=0,f−1=3，解得a=−2,b=13…………6分
（2） 由题意可知2m−1>m解得m>1…………8分
f′x=x2−4x−5=x−5x+1所以fx在−∞,−1和5,+∞上单调增，在−1,5上单调减，…………12分
因为fx在m,2m−1上不单调，所以m<52m−1>5解得317．（1） 设甲老师答对2个问题为事件B，则PB=C42C22C64=615=25…………6分
（2） 设甲老师得分数为Y，则Y的可能取值为4，6，8，…………8分
PY=4=C42C22C64=25，PY=6=C43C21C64=815，PY=8=C44C64=115，…………11分
则EY=4×25+6×815+8×115=8+48+2415=163，…………13分
DY=25×4−1632+815×6−1632+115×8−1632=6445，…………15分
18．（1） 当CQ=1时，PQ//平面ABB1A1
取AA1中点M，连接BM,MP，因为M，P分别为AA1和DD1中点，由梯形的中位线定理得MP//AD//A1D1，且MP=A1D1+AD2=3，
当CQ=1时，即BQ=3时，因为正方形ABCD，所以BQ//AD//MP，且MP=BQ=3，所以四边形BQPM为平行四边形，所以BM//MP，因为BM⊂平面ABB1A1，MPφ面ABB1A1，所以PQ//平面ABB1A1…………7分
【解析】（建系用向量做酌情给分）
（2） 在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O.
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，
A1O⊥AD,A1O⊂平面AA1D1D，
所以A1O⊥平面ABCD.
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则ON⊥OD.
以{ON,OD,OA1}为正交基底，建立空间直角坐标系O−xyz…………9分
因为四边形AA1D1D是等腰梯形，A1D1=2,AD=4，所以AO=1，又A1A=D1D=17，所以A1O=4.易得B4,−1,0,D0,3,0,C4,3,0,D10,2,4,P0,52,2，所以DC=4,0,0，DP=0,−12,2，CB=0,−4,0.
设平面ABB1A1的法向量为m=x,y,z，则有{y+4z=04x=0，取m=0,4,−1…………11分
设Q4,t,0，则DP=12DD1=0,−12,2,DQ=4,t−3,0
设平面PQD的法向量为n=x′,y′,z′，
则有−12y′+2z′=04x′+t−3y′=0，取n=3−t,4,1，…………13分
因为sin⟨m⟩,n⟨=⟩33434，
所以cs⟨m,n⟩=1−334342=534=m⋅nm⋅n∣=16−1173−t2+16+1，
解得t=2或t=4（舍去），…………16分
所以BQ=3…………17分
【解析】（其他解法酌情给分）
19．（1） 将两点直接代入椭圆方程M
有1932a2+3b2=12a2+64b2=1解得a=2b=3
所以M:x24+y23=1…………4分
（2） 连接EB，S△EAD−S△FBD=S△EAB−S△FBE=12×4×32−S△FBE=32，
所以S△FBE=32=12S△EAB=S△EBO，所以OF//EB，kOF=−32
直线OF的方程为y=−32x，联立y=−32xx24+y23=1，得xF=1，所以F1,−32…………10分
【解析】（其他解法酌情给分）
（3） 由题意可知A−2,0,B2,0,c0,3
现设直线BQ的方程为y=kx−2.直线AC的方程为y=32x+2，
两者联立解得Q点坐标为4k+232k−3,43k2k−3…………12分
再将直线BQ与椭圆方程M联立，计算得
3+4k2x2−16k2x+16k2−12=0，由韦达定理得P点坐标为8k2−63+4k2,−12k3+4k2…………13分
所以PC的直线方程为y=−12k3+4k238k2−63+4k2x+3，
令y=0计算得出N的坐标为8k2−63+4k2+43k,0…………15分
所以2kQN=243k2k−34k+232k−3−8k2−63+4k2+43k=243k2k−3283k4k2−3=k+32
因此2kQN−kQB=32…………17分
本试卷分试题卷和答题卷两部分。试题卷包括1至4页；答题卷1至4页。满分150分。考试时间150分钟。
命题：姚爱亮 审核：胡芳
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为
A．24B．60C．120D．720
2．如果数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，那么a12的值为
A．23B．24C．25D．26
3．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c，则下列向量中与BM相等的是
A．12a+12b+cB．−12a+12b+cC．−12a−12b+cD．12a−12b+c
4．某学校运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为
A．504B．510C．480D．500
5．设1+2x5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2⋯+a5=
A．−2B．−1C．242D．243
6．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是
A．1127B．1027C．1021D．1121
7．设函数fx=sinx+x，则满足flnx+fx−1<0的x的取值范围是
A．0,1B．−∞,1C．1,+∞D．1,e
8．已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，经过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，若AF1=2a,S△ABF2=43a2，则双曲线C的离心率为
A．3B．7C．333D．573
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知PA=14,PB|A=13.若事件A,B相互独立，则
A．PB=13B．PAB=112C．PA|B=12D．PA+B=34
10．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为DC的中点，则
A．EB1⊥AD1B．D1E与AC1所成角余弦值为155
C．面AED1与面ABCD所成角正弦值为305D．C与面AED的距离为63
11．在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15∘，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN=15∘依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形的边长为a1=AB，第2个正方形的边长为a2=EF,⋯⋯），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，⋯⋯，）则
A．a2=6B．S1=34
C．数列{Sn}是公比为63的等比数列D．数列{an2}的前n项和Tn取值范围[9,27)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N25,0.16，其中X∈[24.6,26.2]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据：若X∼Nμ,δ2，则Pμ−δ≤X≤μ+δ≈0.6827,Pμ−2δ≤X≤μ+2δ≈0.9545，Pμ−3δ≤X≤μ+3δ≈0.9973
13．设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l:3x+4y+6=0最小的距离为 .
14．设a,t∈R，，不等式lnx−tx−a−1≤0在0,+∞上恒成立，则at的最小值 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分13分）
已知x+1xn的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1:3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含1x的项.
16．（本小题满分15分）
已知函数fx=13x3+ax2−5x+b在x=−1处取得极大值，且极大值为3.
（1）求a,b的值：
（2）求fx在区间m,2m−1上不单调，求m的取值范围.
17．（本小题满分15分）
为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量X表示甲的得分，求EX,DX.
18．（本小题满分17分）
如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD,A1A=D1D=17，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上.
（1）当Q点在什么位置时，使得PQ//平面ABB1A1；
（2）若面AA1B1B与面PQD所成角的正弦值为33434，求BQ的长.
19．（本小题满分17分）
已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0经过423,33和2,62，A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过x轴上点D（点D在椭圆M长轴上）作直线交椭圆E、F两点，且E1,32，若S△EAD−S△FBD=32，求F点的坐标；
（3）过点B作直线交椭圆M于P点，交直线AC于Q，直线CP于x轴相交于N，求证2kQN−kQB为定值，并求此定值.（其中kQN,kQB分别为直线QN和直线QB的斜率）.
【参考答案】
2023-2024学年度高二年级第二学期期中联考试卷
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．ABD 10．AD 11．ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．0.84
13．34
14．−e
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（1） 解 n=7…………5分
（2） Tr+1=C7rx7−r1xr=C7rx7−3r2…………9分
当r=3时T4=C73x−1=35x…………13分
16．（1） 解 求导得f′x=x2+2ax−5因为函数fx在x=−1处取得极大值，且极大值为3
所以f′−1=0,f−1=3，解得a=−2,b=13…………6分
（2） 由题意可知2m−1>m解得m>1…………8分
f′x=x2−4x−5=x−5x+1所以fx在−∞,−1和5,+∞上单调增，在−1,5上单调减，…………12分
因为fx在m,2m−1上不单调，所以m<52m−1>5解得3
（2） 设甲老师得分数为Y，则Y的可能取值为4，6，8，…………8分
PY=4=C42C22C64=25，PY=6=C43C21C64=815，PY=8=C44C64=115，…………11分
则EY=4×25+6×815+8×115=8+48+2415=163，…………13分
DY=25×4−1632+815×6−1632+115×8−1632=6445，…………15分
18．（1） 当CQ=1时，PQ//平面ABB1A1
取AA1中点M，连接BM,MP，因为M，P分别为AA1和DD1中点，由梯形的中位线定理得MP//AD//A1D1，且MP=A1D1+AD2=3，
当CQ=1时，即BQ=3时，因为正方形ABCD，所以BQ//AD//MP，且MP=BQ=3，所以四边形BQPM为平行四边形，所以BM//MP，因为BM⊂平面ABB1A1，MPφ面ABB1A1，所以PQ//平面ABB1A1…………7分
【解析】（建系用向量做酌情给分）
（2） 在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O.
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，
A1O⊥AD,A1O⊂平面AA1D1D，
所以A1O⊥平面ABCD.
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则ON⊥OD.
以{ON,OD,OA1}为正交基底，建立空间直角坐标系O−xyz…………9分
因为四边形AA1D1D是等腰梯形，A1D1=2,AD=4，所以AO=1，又A1A=D1D=17，所以A1O=4.易得B4,−1,0,D0,3,0,C4,3,0,D10,2,4,P0,52,2，所以DC=4,0,0，DP=0,−12,2，CB=0,−4,0.
设平面ABB1A1的法向量为m=x,y,z，则有{y+4z=04x=0，取m=0,4,−1…………11分
设Q4,t,0，则DP=12DD1=0,−12,2,DQ=4,t−3,0
设平面PQD的法向量为n=x′,y′,z′，
则有−12y′+2z′=04x′+t−3y′=0，取n=3−t,4,1，…………13分
因为sin⟨m⟩,n⟨=⟩33434，
所以cs⟨m,n⟩=1−334342=534=m⋅nm⋅n∣=16−1173−t2+16+1，
解得t=2或t=4（舍去），…………16分
所以BQ=3…………17分
【解析】（其他解法酌情给分）
19．（1） 将两点直接代入椭圆方程M
有1932a2+3b2=12a2+64b2=1解得a=2b=3
所以M:x24+y23=1…………4分
（2） 连接EB，S△EAD−S△FBD=S△EAB−S△FBE=12×4×32−S△FBE=32，
所以S△FBE=32=12S△EAB=S△EBO，所以OF//EB，kOF=−32
直线OF的方程为y=−32x，联立y=−32xx24+y23=1，得xF=1，所以F1,−32…………10分
【解析】（其他解法酌情给分）
（3） 由题意可知A−2,0,B2,0,c0,3
现设直线BQ的方程为y=kx−2.直线AC的方程为y=32x+2，
两者联立解得Q点坐标为4k+232k−3,43k2k−3…………12分
再将直线BQ与椭圆方程M联立，计算得
3+4k2x2−16k2x+16k2−12=0，由韦达定理得P点坐标为8k2−63+4k2,−12k3+4k2…………13分
所以PC的直线方程为y=−12k3+4k238k2−63+4k2x+3，
令y=0计算得出N的坐标为8k2−63+4k2+43k,0…………15分
所以2kQN=243k2k−34k+232k−3−8k2−63+4k2+43k=243k2k−3283k4k2−3=k+32
因此2kQN−kQB=32…………17分
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