2024年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．．
2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根．
3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝2x2B．C．y＝﹣2xD．y＝2x+1
4．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．
5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
6．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为 ．
9．（4分）函数的定义域为 ．
10．（4分）方程的解是 ．
11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为 ．
13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是 ．
14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 名．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝ ．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为 ．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为 ．
18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求∠D的正弦值．
22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式
（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．
（1）求证：；
（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF＝DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．
25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cs∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．
（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E于点C′．
①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；
②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．
2024年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．．
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：A、＝，故不符合题意；
B、＝＝，故不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝＝5，故不符合题意；
故选：C．
2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根．
【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝2x2B．C．y＝﹣2xD．y＝2x+1
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；
B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；
C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．
故选：D．
4．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．
【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．
故选：A．
5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．
【解答】解：A、∵OB⊥AC，
∴＝，故不符合题意；
B、∵＝，
∴∠AOB＝∠COB，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；
C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∵BD＜BC+CD＝2CD，
∴AC＜2CD，故符合题意；
D、∵OB＝OC，BC＝DC，
∴OC⊥BD，故不符合题意；
故选：C．
6．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，
∴对边之和相等舒，邻边线段，
∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；
B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；
C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：2﹣2＝．
故答案为：．
8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为 4.5×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：45000＝4.5×104．
故答案为：4.5×104．
9．（4分）函数的定义域为 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
10．（4分）方程的解是 x＝10 ．
【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边平方，得x﹣1＝9，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解．
故答案为：x＝10．
11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 3y2﹣6y+1＝0 ．
【分析】设，则原方程转化为y+＝2，再方程两边都乘3y即可．
【解答】解：，
设，则原方程转化为：y+＝2，
方程两边都乘3y，得3y2+1＝6y，
即3y2﹣6y+1＝0．
故答案为：3y2﹣6y+1＝0．
12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为 ﹣9 ．
【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．
【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，
∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，
∴（0﹣3）2+m＝0，
解得m＝﹣9．
故答案为：﹣9．
13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，
∴这个两位数是素数的概率为＝．
故答案为：．
14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 90 名．
【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．
【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），
故答案为：90．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝ ﹣ ．
【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．
【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．
∵BD＝2AD，点E是AC的中点，
∴＝＝，＝＝﹣，
∴＝+＝+﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为 ．
【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴，
故答案为：．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为 ．
【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．
【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，
得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，
由△ADC中，∠ACB＝90°，
得3x+90＝180，
得∠CAE＝x＝30°，
得∠CAE的余弦值为．
故答案为：．
18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 r＝3.2或4＜r＜2 ．
【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．
【解答】解：如图，
过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝10，
∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，
∴AH＝＝6，
设O是△ABC的重心，
∴AO＝AH＝4，
当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，
连接OM，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO＝∠AHB＝90°，
∵∠OAM＝∠BAH，
∴△AOM∽△ABH，
∴OM：BH＝AO：AB，
∴OM＝8＝4：10，
∴OM＝3.2，
∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
如图，
过作AK⊥BC于K，
∵∵AB＝AC＝10，
∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，
∴AK＝＝6，
设O′是△ABC的重心，
∴AO′＝AH＝4，
∴KO′＝6﹣4＝2，
∴BO′＝＝2，
当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，
故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+
＝2﹣
＝4．
20．（10分）解方程组：．
【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．
【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，
∴原方程组相当于和，
分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．
21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求∠D的正弦值．
【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；
（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝4，
在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；
（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，
∴四边形OECF为矩形，
∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，
在Rt△CDF中，CD＝＝＝，
∴sinD＝＝＝．
22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式
（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；
（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；
（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，
∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；
（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，
∴300≤x＜500，
∴0.8x＝x﹣80，
解得x＝400；
（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，
解得x＜400，
∴300≤x＜400；
当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，
解得x＜800，
∴600≤x＜800，
综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．
23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．
（1）求证：；
（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．
【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；
（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，
∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，
∴∠ABE＝∠DBF，
∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，
∴∠A＝∠BDF，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝．
（2）证明：联结EF，与BD交于点G，
∵＝，
∴＝，
∵∠ABD＝∠EBF，
∴△ABD∽△EBF，
∴∠ADB＝∠EFB，
∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，
∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，
∴＝＝＝1，
∴BF＝ED，FG＝DG，
∴∠GDF＝∠GFD，
∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，
∴2∠GEB＝2∠GFD，
∴∠GEB＝∠GFD，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF为等腰梯形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF＝DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；
②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；
（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），
设点F（m，﹣m2+2m+6），
由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），
则点D（0，6﹣m），
①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，
则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，
解得：m＝0（舍去）或5，
则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；
②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），
解得：x＝＝DM，
由点F的坐标得，AN＝m+2，
∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，
则DE：AF＝1：3
过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，
则△EMD∽△FNA，
则DE：AF＝DM：AN＝1：3，
则＝（m+2），
解得：m＝﹣4（舍去）或4，
即点F（4，6）．
25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cs∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．
（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E于点C′．
①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；
②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．
【分析】（1）借助垂径定理，利用csA表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；
（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；
②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cs∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．
【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：
过点O作OH⊥AC，垂足为点H，
∵OH过圆心，OH⊥AD，
∴，
∵OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
在Rt△AOH中，，
∴，
∵AB＝6，
∴，
∵OB＜AO，
∴点B在⊙O内；
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，
∵AC＝BC，CM⊥AB，
∴，
在Rt△ACM中，，
∴AC＝5，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ODA，
又∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CAB＝∠CDE，
∵，
在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，
设DE＝3k，CD＝5k，则，
∴AD＝5﹣k，
①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，
⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，
∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，
∵PQ经过OE的中点，
∴PQ垂直平分OE，
∴PE＝PO，即CE＝AO，，
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
②由于点A在直线AB上，
∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，
∵AC＝CB，
∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，
∵AC′∥CB，
∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，
∵DE⊥CC′，CE＝C′E，
∴DC′＝DC，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，
∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，
∵∠CAB＝∠CDE，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵C′N⊥AD，
∴，
∴，
在Rt△C′NC 中，，
∴，
∴，
∴；
当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，
∵AC′∥OC，
∴，
∴OE＝EF，
∴，DE＝3k，
∴，
∴，
∴，
∵AC′∥OC，
∴，
∴，
解得或5（舍去），
∴，
综上：或．
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