2023-2024学年广东省中山市纪中集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省中山市纪中集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数是无理数的是( )
A. −2B. 0C. 13D. 3
2.小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地画出了一幅鱼的图案．由图所示的图案通过平移后能得到的图案是( )
A. B.
C. D.
3.点P(2,1)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图，下列各组条件中，能得到AD//BC的是( )
A. ∠1=∠3B. ∠2=∠4C. ∠B=∠DD. ∠B+∠2=180°
5.如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1=36°，则∠COE等于( )
A. 72°
B. 95°
C. 100°
D. 108°
6.估计 35−1的值在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
7.已知点A(1,3)与点B(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，点B与A相距3个单位长度，则点B的坐标是( )
A. (1,6)B. (4,3)C. (1,6)或(1,0)D. (4,3)或(−2,3)
8.38的算术平方根是( )
A. 2B. ±2C. 2D. ± 2
9.与点P(a2+2,−a2−1)在同一个象限内的点是
( )
A. (2,−1)B. (−1,2)C. (−2,−1)D. (2,1)
10.求1+2+22+23+…+22020的值，可令S=1+2+22+23+…+22020，则2S=2+22+23+24+…+22021，因此2S−S=22021−1.仿照以上推理，计算出1+2020+20202+20203+…+20202020的值为( )
A. 20202020−12020B. 20202021−12020C. 20202021−12019D. 20202020−12019
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图，直线a/​/b，∠1=38°，则∠2=______．
12.方程(a−1)x|a|+y=1是关于x，y的二元一次方程，则a= ______．
13.点P在第二象限，且到x轴的距离为6，到y轴的距离为5，则点P的坐标为______．
14.若a=2b=1是二元一次方程组32ax+by=5ax−by=2的解，则x+2y的值为______．
15.如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是______个．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.若方程组3x−y=7ax+y=b.和方程组x+by=a2x+y=8.有相同的解，求a，b的值．
四、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
| 2− 3|+2 2．
18.(本小题6分)
解方程4(x−1)2=9
19.(本小题6分)
解方程组7x+4y=55x−2y=6
20.(本小题6分)
解方程组：x+13=2y2(x+1)−y=11．
21.(本小题8分)
△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标：A′ ______；B′ ______；C′ ______；
(2)说明△A′B′C′由△ABC经过怎样的平移得到？
(3)求△ABC的面积．
22.(本小题8分)
如图，∠1=78°，∠2=102°，∠C=∠D.求证：AC/​/DF．
23.(本小题10分)
如图，AD//BC，
(1)在图1中，写出∠C，∠D，∠CED的数量关系，并说明理由；
(2)在图2中，(1)的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究∠C，∠D，∠CED的数量关系，并写出你探究的结论．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,3)，C(4,0)，且满足|a+3|+(a−b+6)2=0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．

(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若DB/​/AC，∠BAC=α，AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB；求∠AMD(用含α的代数式表示)；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、−2是整数，是有理数，选项错误；
B、0是整数，是有理数，选项错误；
C、13是分数，是有理数，选项错误；
D、 3是无理数，选项正确．
故选：D．
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是D，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：D．
根据平移的定义和性质得出平移后的图案即可．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
3.【答案】A
【解析】解：因为点P(2,1)的横坐标和纵坐标都为正，
所以点P在第一象限．
故选：A．
根据各象限点的坐标的特点解答．
本题考查了点的坐标．熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．直接根据平行线的判定方法判断即可．
【解答】
解：A、∠1=∠3，可以根据内错角相等，两直线平行得到AD//BC，符合题意；
B、∠2=∠4，可以根据内错角相等，两直线平行得到AB/​/CD，不可以得到AD//BC，不符合题意；
C、∠B=∠D，不可以得到AD//BC，不符合题意；
D、∠B+∠2=180°，不可以得到AD//BC，不符合题意；
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=36°，
∴∠AOD=180°−∠1=144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD=72°，
∴∠COE=180°−∠DOE=108°，
故选：D．
根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵ 25< 35< 36，即5< 35<6，
∴5−1< 35−1<6−1，
4< 35<5，
∴ 35−1 的值在4和5之间，
故选：B．
先估算 35在哪两个整数之间，然后根据不等式的基本性质求出答案即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
7.【答案】D
【解析】解：∵点A(1,3)与点B(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，且点B与A相距3个单位长度，
∴y=3，|x−1|=3．
∴y=3，x=4或者x=−2．
∴点B的坐标为(4,3)或(−2,3)．
故选：D．
根据点A(1,3)与点B(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，且点B与A相距3个单位长度，可知点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为3，从而可以求出点B的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，任意一点与y轴的距离是横坐标的绝对值．
8.【答案】C
【解析】解：38=2，2的算术平方根是 2．
故选：C．
首先根据立方根的定义求出38的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算38=2．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
根据平方数非负数的性质求出点P的横坐标与纵坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征求出点P所在的象限，然后解答即可．
【解答】
解：∵a2≥0，
∴a2+2≥2，−a2−1≤−1，
∴点P在第四象限，
(2,−1)，(−1,2)，(−2,−1)，(2,1)中只有(2,−1)在第四象限．
10.【答案】C
【解析】解：令S=1+2020+20202+20203+…+20202020，
则2020S=2020+20202+20203+…+20202021，
∴2019S−S=20202021−1，
∴S=12019(20202021−1)．
故选：C．
仔细阅读题目中示例，找出其中规律，求解本题．
本题考查了同底数幂的乘法，主要考查学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
11.【答案】38°
【解析】解：∵a/​/b，∠1=38°，
∴∠2=∠1=38°，
故答案为：38°．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
12.【答案】−1
【解析】解：∵关于x，y的方程(a−1)x|a|+y=1是二元一次方程，
∴|a|=1且a−1≠0，
解得：a=±1且a≠1，
则a=−1，
故答案为：−1．
利用二元一次方程的定义判断即可．
此题考查了二元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
13.【答案】(−5,6)
【解析】解：P在第二象限内，且点P到x轴距离为6，到y轴距离为5，则点P的坐标为(−5,6)，
故答案为：(−5,6)．
根据第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查了点的坐标，第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，点到y轴的距离是横坐标的绝对值．
14.【答案】3
【解析】解：把a=2b=1代入方程组得3x+y=5①2x−y=2②，
①−②，得x+2y=5−2=3．
故答案为3．
先把把a=2b=1代入方程组得到关于x、y的二元一次方程组3x+y=5①2x−y=2②，然后利用①−②即可得到答案．
本题考查了二元一次方程组的解：满足二元一次方程组的每个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．
15.【答案】4
【解析】解：如图，满足条件的点C共有4个．
故答案为：4．
根据三角形的面积公式确定出AC或BC的长，然后找出点C的位置即可．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握网格结构以及三角形的面积是解题的关键．
16.【答案】解：由题意知3x−y=72x+y=8，
解得：x=3y=2，
将x=3y=2代入ax+y=b和x+by=a得：
3a+2=b3+2b=a，
解得：a=−75b=−115．
【解析】将3x−y=7和2x+y=8组成方程组求出x、y的值，再将x=3y=2分别代入ax+y=b和x+by=a求出a、b的值．
本题考查了二元一次方程组的解，将x、y的值代入，转化为关于a、b的方程组是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 3− 2+2 2
= 3+ 2．
【解析】易知 3> 2，所以首先根据绝对值的定义去掉绝对值后原式变为 3− 2+2 2，然后合并即可得出结果．
本题考查的是简单根式的计算和去绝对值的知识点．
18.【答案】解：把系数化为1，得
(x−1)2=94
开方得x−1=±32
解得x1=52，x2=−12．
【解析】直接开平方法必须具备两个条件：
(1)方程的左边是一个完全平方式；
(2)右边是非负数．将右边看做一个非负已知数，利用数的开方解答．
本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
19.【答案】解：7x+4y=5①5x−2y=6②
①+②×2，可得17x=17，
解得x=1，
把x=1代入①，解得y=−12，
∴原方程组的解是x=1y=−12．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20.【答案】解：解法(1)：由原方程组得x=6y−12x−y=9
把①代入②得2(6y−1)−y=9，即y=1；
代入①得：x=5；
∴原方程组的解为x=5y=1．
解法(2)：由x+13=2y得：x+1=6y，
把①代入2(x+1)−y=11得：12y−y=11，即y=1；
把y=1代入①得：x=5；
∴原方程组的解为x=5y=1．
【解析】先把方程组化简再求解．
此题较简单，只要掌握了二元一次方程的代入法和加减消元法即可轻松解答．不论是哪种方法，解方程组的基本思想是消元．
21.【答案】(−3,1) (−2,−2) (−1,−1)
【解析】解：(1)根据图示，得A′(−3,1)，B′(−2,−2)，C′(−1,−1)；
故答案为：(−3,1)，(−2,−2)，(−1,−1)．
(2)△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；(或先向下平移2个单位，再向左平移4个单位)得到△A′B′C′；
(3)如图，S△ABC=12×(1+3)×2−12×1×3−12×1×1=2．
(1)根据图示即可得出A′、B′、C′三点的坐标；
(2)利用对应点位置变化得出答案；
(3)直接利用△ABC所在直角梯形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
本题考查了利用平移变换作图，图形与坐标，根据网格图中对应点的位置确定出平移的方法是解题的关键．
22.【答案】证明：∵∠1=78°，∠2=102°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD/​/CE，
∴∠C=∠ABD；
又∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，
∴AC/​/DF．
【解析】根据∠1+∠2=180°得到BD/​/CE，根据平行线的性质得到∠ABD=∠C，根据∠C=∠D，等量代换得到∠D=∠ABD，进而得出AC/​/DF．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)如图：过点E作EF/​/AD，

∵AD/​/BC，
∴EF/​/AD/​/BC，
∴∠FED+∠D=180°，
∠FEC+∠C=180°，
∴∠FED−∠FEC+∠D−∠C=0，
∵∠FED−∠FEC=∠CED，
∴∠C=∠D+∠CED．
(2)不成立，理由如下：
如图：过点E作EF/​/AD，

∵AD/​/BC，
∴EF/​/AD/​/BC，
∴∠D+∠DEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠D+∠DEF+∠C+∠CEF=360°，
∵∠DEF+∠CEF=∠CED，
∴∠D+∠C+∠CED=360°．
【解析】(1)过点E作EF/​/AD，利用平行线的性质即可得出∠C=∠D+∠CED；
(2)过点E作EF/​/AD，利用平行线的性质即可得出∠D+∠C+∠CED=360°．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵|a+3|+(a−b+6)2=0，|a+3|≥0，(a−b+6)2≥0，
∴a+3=0a−b+6=0，
解得：a=−3b=3，
∴A(−3,0)，B(3,3)；
(2)如图2，过点M作MN/​/DB，交y轴于点N，

∴∠DMN=∠BDM，
又∵DB//AC，
∴MN/​/AC，
∴∠AMN=∠MAC，
∵DB//AC，∠DOC=90°，
∴∠BDO=90°，
又∵AM平分∠CAB，DM平分∠ODB，∠BAC=α，
∴∠MAC=12α，∠BDM=12∠BDO=45°，
∴∠AMN=12α，∠DMN=45°，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=12α+45°；
(3)存在．
∵A(−3,0)，B(3,3)，C(4,0)，
∴AC=4−(−3)=7，
∴S△ABC=12AC⋅yB=12×7×3=212，
如图，连接OB，设F(0,m)，

则OF=m，
∵S△AFO+S△BFO=S△ABO=12OA⋅yB=12×3×3=92，
∴12×3m+12×3m=92，
解得：m=32，
∴F(0,32)，
当P点在y轴上时，设P(0,y)，
则PF=|y−32|，
则S△ABP=S△APF+S△BPF=12PF⋅OA+12PF⋅xB=12×|y−32|×3+12×|y−32|×3=3|y−32|，
∵S△ABP=S△ABC，
∴3|y−32|=212，
解得：y=5或y=−2，
∴此时P点坐标为(0,5)或(0,−2)；
当P点在x轴上时，设P(x,0)，
则AP=|x+3|，
∴S△ABP=12AP⋅yB=32|x+3|，
∵S△ABP=S△ABC，
∴32|x+3|=212，
解得：x=4或−10，
∴此时P点坐标为(4,0)或(−10,0)，
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标为(0,5)或(0,−2)或(4,0)或(−10,0)．
【解析】(1)根据非负数的性质可求出a和b，即可得到点A和B的坐标；
(2)过点M作MN/​/DB，交y轴于点N，由DB/​/AC知MN//AC，从而得出∠DMN=∠BDM、∠AMN=∠MAC，再由角平分线得出∠MAC=12α，∠BDM=45°，根据∠AMD=∠AMN+∠DMN可得答案；
(3)计算△ABC的面积，连接OB，设F(0,m)，利用面积法可得m=32，再分点P在y轴上和在x轴上讨论．分别求得P点坐标．
本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．