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2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a5C. (2a2)3=6a6D. a6÷a2=a3
3.下列长度的两条线段与长度为5cm的线段首尾顺次连接能组成三角形的是( )
A. 1cm，3cmB. 1cm，4cmC. 1cm，7cmD. 2cm，6cm
4.若x−3y−2=0，则2x÷8y的值为( )
A. 14B. 4C. 8D. 16
5.下列不能用平方差公式运算的是( )
A. (x+2)(x−2)B. (x+2)(−x+2)
C. (−x+2)(−x−2)D. (x+2)(2+x)
6.下列说法正确的是( )
A. 多边形的边数越多，外角和越大B. 三角形的一个外角等于两个内角的和
C. 直角三角形只有一条高D. 三角形的三条角平分线的交点在三角形内
7.在多项式4x2−2x+1中，若添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是( )
A. 6xB. 4xC. −2xD. −3x2
8.如图，直线a//b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
9.如图，已知AE//CD，设∠A+∠B+∠C=α，∠D+∠E=β，则( )
A. α−β=0
B. 2α−β=0
C. α−2β=0
D. 3α−2β=0
10.如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037可用科学记数法表示为______．
12.南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是______°.
13.对于①x2+2x−3=(x+3)(x−1)，②(x+3)(x−1)=x2+2x−3.从左到右的变形中，属于因式分解的是______(填序号)．
14.整式x2−1与x2+x的公因式是______．
15.计算：310×(−19)5= ______．
16.若(y2+ay)(2y−4)的结果中不含y2项，则a的值为______．
17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F.若△DEF中有两个角相等，则∠ACD=______．
18.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为______秒．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
计算：
(1)(12)−1+(−1)3+(π−2024)0；
(2)2m5⋅3m−(−2m3)2；
(3)3(13a−b)2；
(4)(x−y−3)(x+y−3)．
20.(本小题16分)
把下列各式因式分解：
(1)mn2−2n；
(2)4a2−36；
(3)(a2+b2)2−4a2b2；
(4)9x2−6x(y−1)+(y−1)2．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+3)(2x−3)−x(5x+4)−(x−1)2，其中x2+x−3=0．
22.(本小题7分)
如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C均在格点上．
(1)标出一个格点D，使线段CD所在直线与线段AB所在直线互相垂直；
(2)三角形ABC的面积为______；
(3)标出所有的格点E，使三角形ABC与三角形ABE的面积相等．
23.(本小题6分)
如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，∠ABC=∠ADE，∠DEB=∠GFC．
(1)求证：BE//GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE=110°，∠C=50°，求∠CGF的度数．
24.(本小题8分)
【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
上述操作能验证的公式是______．
【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一直线上.若a+b=20，ab=80，求阴影部分的面积．
【拓展应用】根据前面的经验探究：若x满足(3−4x)(2x−5)=92，求(3−4x)2+4(2x−5)2的值．
25.(本小题10分)
如图，直线AB//CD，MN⊥AB，分别交AB，CD于点M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED，∠QFC，设旋转时间为t秒(0
(1)用含t的代数式表示：∠AMP= ______°，∠QMB= ______°；
(2)当∠MEN+∠MFN=130°时，t= ______；
(3)试探索∠EFR与∠ERF之间的数量关系，并说明理由；
(4)若∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，∠EKM的度数是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、利用图形旋转而成，不符合题意；
B、利用图形平移而成，符合题意；
C、利用轴对称而成，不符合题意；
D、利用轴对称而成，不符合题意．
故选：B．
根据图形平移的性质即可得出结论．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
B、a3⋅a2=a5，正确；
C、(2a2)3=8a6，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、1+3<5，长度是1cm、3cm、5cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、1+4=5，长度是1cm、4cm、5cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、1+5<7，长度是1cm，7cm、5cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、2+5>6，长度是2cm、6cm、5cm的线段能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】B
【解析】解：∵x−3y−2=0，
∴x−3y=2，
∴2x÷8y
=2x÷23y
=2x−3y
=22
=4．
故选：B．
先对条件进行变形，再计算原式，整体代入即可．
本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟记计算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(x+2)(x−2)=x2−4，则A不符合题意；
(x+2)(−x+2)=4−x2，则B不符合题意；
(−x+2)(−x−2)=x2−4，则C不符合题意；
(x+2)(2+x)=x2+4x+4，则D符合题意；
故选：D．
利用平方差公式及完全平方公式逐项判断即可．
本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】D
【解析】解：多边形的外角是360°，不会因边数的增加而改变，则A不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，则B不符合题意；
直角三角形有3条高，它们交于其直角顶点，则C不符合题意；
三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，则D符合题意；
故选：D．
根据多边形的外角和，三角形的外角性质，三角形的高与三角形的角平分线的性质进行判断即可．
本题考查多边形外角和及三角形的相关性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、4x2−2x+1+6x=4x2+4x+1=(2x+1)2，故A不符合题意；
B、4x2−2x+1+4x=4x2+2x+1，故B符合题意；
C、4x2−2x+1−2x=4x2−4x+1=(2x−1)2，故C不符合题意；
D、4x2−2x+1−3x2=x2−2x+1=(x−1)2，故D不符合题意；
故选：B．
利用完全平方式的特征进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠3为三角形的外角，
∴∠3=∠1+∠B=70°，
∵a//b，
∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠4=90°，∠3=70°，
∴∠2=20°．
故选：A．
由三角形外角性质求出∠3的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠3+∠4+∠2的度数，根据∠3与∠4的度数求出∠2的度数即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过B作BF//AE交DE于F，
∵AE//CD，
∴BF//CD，
∴∠E=∠BFD，∠BFD+∠D=180°，∠A+∠ABF=180°，∠FBC+∠C=180°，
∴∠E+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠C=360°，
∴α=2β，
即α−2β=0，
故选：C．
过B作BF//AE交DE于F，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等和两直线平行．同旁内角互补解答．
10.【答案】C
【解析】解：连接BF，过C点作CH⊥AB于H，
∵D，E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四边形BDFE=S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四边形BDFE=5，
∴S四边形BDFE=S△ACF=5，
∴S△ABC=S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF=15，
∴12CH⋅AB=15，
∴CH=5，
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=5，
∴AC的最小值为5，
故选：C．
连接BF，过C点作CH⊥AB于H，根据三角形中线的性质利用面积公式得出CH，进而利用距离最短解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出CH解答．
11.【答案】3.7×10−5
【解析】解：0.000037=3.7×10−5．
故答案为：3.7×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】135
【解析】解：因为一个八边形，它的每个内角都相等，
所以这个八边形的每个外角都相等，
所以每个外角的度数=360°÷8=45°，
所以每个内角的度数=180°−45°=135°．
故答案是：135．
根据多边形的外角和为360°即可得出结果．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角与相邻的外角互补，且外角和为360°是解本题的关键．
13.【答案】①
【解析】解：①(x2+2x−3=(x+3)(x−1)，符合因式分解的定义，符合题意；
②(x+3)(x−1)=x2+2x−3.，从左到右的变形是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故答案为：①．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
14.【答案】x+1
【解析】解：∵x2−1=(x+1)(x−1)，x2+x=x(x+1)，
∴整式x2−1与x2+x的公因式是x+1，
故答案为：x+1．
先利用平方差公式、提取公因式法分解因式，然后找出公因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
15.【答案】−1
【解析】解：310×(−19)5
=310×(−1310)
=310×[−(13)10]
=−(3×13)10
=−110
=−1．
故答案为：−1．
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】2
【解析】解：(y2+ay)(2y−4)
=2y3−4y2+2ay2−4ay
=2y3+(2a−4)y2−4ay，
∵(y2+ay)(2y−4)的结果中不含y2项，
∴2a−4=0，
∴a=2．
故答案为：2．
现对原式展开，再进行合并同类项，最后是y2项的系数为0即可求得．
本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项后y2项的系数为0是解题的关键．
17.【答案】15°或30°
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B−∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=180°−40°−x°=(140−x)°，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
当∠DFE=∠E=40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=180°−40°−40°=100°，
∴140−x=100+40+x，
解得x=0(不存在)；
当∠FDE=∠E=40°时，
∴140−x=40+40+x，
解得x=30，
即∠ACD=30°；
当∠DFE=∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=12×(180°−40°)=70°，
∴140−x=70+40+x，
解得x=15，
即∠ACD=15°，
综上，∠ACD=15°或30°，
故答案为：15°或30°．
由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=(140−x)°，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．
18.【答案】2或8或10
【解析】解：∵∠E=∠ABC=30°，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠D=∠A=60°．
①当DE//AC时，如图1中，
∵∠C=90，
∴AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
∴∠D+∠BFD=90°，
∴∠BFD=90°−60°=30°，
∴旋转时间t=3015=2s．
②如图2中，当DE//BC时，
∠BFE=∠E=30°，
∴∠DFB=90°+30°=120°，
∴旋转时间t=12015=8s．
③当DE//AB时，如图3中，
∴∠BGF=∠E=30°，
∴∠BFE=30°+30°=60°，
∴∠DFB=60°+90°=150°，
∴旋转时间t=15015=10s．
综上所述，旋转时间为3s或12s或15s时，△ABC恰有一边与DE平行．
故答案为：2或8或10．
分三种情形讨论：①当DE//AC时．②当DE//BC时．③当DE//AB时，分别求出∠DFB即可解决问题．
本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)(12)−1+(−1)3+(π−2024)0
=2+(−1)+1
=2；
(2)2m5⋅3m−(−2m3)2
=6m6−4m6
=2m6；
(3)3(13a−b)2
=3(19a2−23ab+b2)
=13a2−2ab+3b2；
(4)(x−y−3)(x+y−3)
=(x−3−y)(x−3+y)
=(x−3)2−y2
=x2−6x+9−y2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
(3)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=n(mn−2)；
(2)原式=4(a2−9)
=4(a+3)(a−3)；
(3)原式=(a2+b2+2ab)(a2+b2−2ab)
=(a+b)2(a−b)2；
(4)原式=[3x−(y−1)]2
=(3x−y+1)2．
【解析】(1)利用提公因式法因式分解即可；
(2)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(3)利用平方差及完全平方公式因式分解即可；
(4)利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(2x+3)(2x−3)−x(5x+4)−(x−1)2
=4x2−9−5x2−4x−x2+2x−1
=−2x2−2x−10，
∵x2+x−3=0，
∴x2+x=3，
∴原式=−2(x2+x)−10=−2×3−10=−16．
【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知变形代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
；
(2)S△ABC=3×4−12×4×2−12×3×2−12×2×1=4，
故答案为：4；
(3)如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
．
(1)根据AB的方向，寻找过点C且与AB互相垂直的直线，再寻找格点D即可；
(2)利用割补法求面积即可；
(3)根据同底等高的三角形面积相等和AB的方向，寻找过点C且与AB互相平行的直线，以及AB的另一侧且到AB的距离和点C到AB距离相等的直线，再寻找格点E即可．
本题考查三角形面积，掌握同底等高的三角形面积相等是关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠ADE，
∴DE//BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠DEB=∠GFC，
∴∠EBC=∠GFC，
∴BE//GF；
(2)解：∵DE//BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠BDE=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=35°，
∵BE//GF，
∴∠GFC=∠EBC=35°，
∵∠C+∠GFC+∠CGF=180°，
∴∠CGF=180°−∠C−∠GFC=95°．
【解析】(1)由题意可求得DE//BC，则有∠DEB=∠EBC，即可求得∠EBC=∠GFC，即得BE//GF；
(2)由平行线的性质得∠BDE+∠ABC=180°，可求得∠ABC=70°，再由角平分线的定义得∠EBC=35°，再由平行线的性质得∠GFC=35°，从而可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：【教材重现】图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，所拼成的图2是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
【类比探究】如图3，
∵a+b=20，ab=80，
∴S阴影部分=S梯形BDEG−S△DEH−S△BCH
=12a(a+b+b)−12b(a−b)−12ab
=12a2+ab−12ab+12b2−12ab
=12a2+12b2
=12(a2+b2)
=12[(a+b)2−2ab]
=12×(400−160)
=120；
【拓展应用】设3−4x=a，2(2x−5)=b，则ab=2(3−4x)(2x−5)=9，a+b=3−4x+4x−10=−7，
∴(3−4x)2+4(2x−5)2=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=49−18
=31．
【教材重现】用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
【类比探究】根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=12[(a+b)2−2ab]，再代入求值即可；
【拓展应用】设3−4x=a，2(2x−5)=b，则ab=2(3−4x)(2x−5)=9，a+b=3−4x+4x−10=−7，将(3−4x)2+4(2x−5)2化为a2+b2=(a+b)2−2ab，再代入计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
25.【答案】10t (90−5t) 8或283 45°或135°
【解析】解：(1)①由题意得：∠AMP=10t°，∠NMF=5t°，
∵AB//CD，MN⊥AB，
∴∠QMB=90°−∠NMF=90°−5t°=(90−5t)°；
故答案为：10t，(90−5t)；
(2)①当点E在N左侧时，
∵AB//CD，
∴∠MEN=∠AMP=10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF=5t°，
∴∠MFN=90°−5t°，
∵∠MEN+∠MFN=130°，
∴10t°+90°−5t°=130°，
解得：t=8；
②当点E在N右侧时，如图，
∵AB//CD，∠AMP=10t°，
∴∠MEN+∠AMP=180°，
∴∠MEN=180°−10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF=5t°，
∴∠MFN=90°−5t°，
∵∠MEN+∠MFN=130°，
∴180°−10t°+90°−5t°=130°，
解得：t=283；
∴t的值为8或283；
故答案为：8或283；
(3)∠EFR=∠ERF，
理由：∵FR平分∠QFC，由(2)得∠MFN=90°−5t°，
∴∠EFR=12(180°−∠MFN)=12(180°−90°+5t°)=45°+52t°，
∵由(1)得∠REF=90°−5t°，
在△REF中，∠ERF=180°−∠REF−∠EFR=180°−(90°−5t°)−(45°+52t°)=45°+52t°，
∴∠EFR=∠ERF；
(4)①当K点在MN的左边时，如图所示：
由(2)得∠MEN=10t°，
∴∠EMN=90°−10t°，
∵MK是∠EMF的平分线，
∴∠EMK=12∠EMN=45°−5t°，
由(1)得：∠REF=90°−5t°，
∴∠MER=∠REF+∠MEN=90°−5t°+10t°=90°+5t°，
在△MEK中，∠EKM=180°−∠MER−∠EMK=180°−(90°+5t°)−(45°−5t°)=45°．
②当K点在MN的右边时，如图所示：
由题意可知：∠AMP=10t°，则有∠MEN=180°−∠AMP=180°−10t°，
∠PMN=10t°−90°，
∵MK平分∠PMN，ER平分∠PEF，∠PED=∠MEN，
∴∠EMK=12∠PMN=5t°−45°，∠MEK=12∠MEN=12∠PED=90°−5t°，
在△MEK中，∠EKM=180°−∠MEK−∠EMK=180°−(90°−5t°)−(5t°−45°)=135°．
故答案为：45°或135°．
(1)根据题意可难得出∠AMP的度数为10t°，∠QMB=90°−5t°；
(2)由平行线的性质可得∠MEF=∠AME=10t°，再由MN⊥AB可得MN⊥CD，从而可得∠MFN=90°−5t°，结合所给的条件∠MEN+∠MFN=130°即可求解；
(3)∠EFR=∠ERF，分别用含t的代数式表示出∠REF和∠EFR的度数，再结合三角形的内角和，可表示出∠ERF，进行比较即可求解；
(4)可分K在MN的左边与K在MN的右边两种情况进行讨论，再把△EKM的∠MEK和∠EMK的度数用含t的代数式表示出来，再利用三角形的内角和求∠EKM的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用．
1.下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a5C. (2a2)3=6a6D. a6÷a2=a3
3.下列长度的两条线段与长度为5cm的线段首尾顺次连接能组成三角形的是( )
A. 1cm，3cmB. 1cm，4cmC. 1cm，7cmD. 2cm，6cm
4.若x−3y−2=0，则2x÷8y的值为( )
A. 14B. 4C. 8D. 16
5.下列不能用平方差公式运算的是( )
A. (x+2)(x−2)B. (x+2)(−x+2)
C. (−x+2)(−x−2)D. (x+2)(2+x)
6.下列说法正确的是( )
A. 多边形的边数越多，外角和越大B. 三角形的一个外角等于两个内角的和
C. 直角三角形只有一条高D. 三角形的三条角平分线的交点在三角形内
7.在多项式4x2−2x+1中，若添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是( )
A. 6xB. 4xC. −2xD. −3x2
8.如图，直线a//b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
9.如图，已知AE//CD，设∠A+∠B+∠C=α，∠D+∠E=β，则( )
A. α−β=0
B. 2α−β=0
C. α−2β=0
D. 3α−2β=0
10.如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037可用科学记数法表示为______．
12.南京大报恩寺琉璃塔地基平面可以看成八边形，它的每个内角都相等，则每个内角的度数是______°.
13.对于①x2+2x−3=(x+3)(x−1)，②(x+3)(x−1)=x2+2x−3.从左到右的变形中，属于因式分解的是______(填序号)．
14.整式x2−1与x2+x的公因式是______．
15.计算：310×(−19)5= ______．
16.若(y2+ay)(2y−4)的结果中不含y2项，则a的值为______．
17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F.若△DEF中有两个角相等，则∠ACD=______．
18.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为______秒．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
计算：
(1)(12)−1+(−1)3+(π−2024)0；
(2)2m5⋅3m−(−2m3)2；
(3)3(13a−b)2；
(4)(x−y−3)(x+y−3)．
20.(本小题16分)
把下列各式因式分解：
(1)mn2−2n；
(2)4a2−36；
(3)(a2+b2)2−4a2b2；
(4)9x2−6x(y−1)+(y−1)2．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+3)(2x−3)−x(5x+4)−(x−1)2，其中x2+x−3=0．
22.(本小题7分)
如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C均在格点上．
(1)标出一个格点D，使线段CD所在直线与线段AB所在直线互相垂直；
(2)三角形ABC的面积为______；
(3)标出所有的格点E，使三角形ABC与三角形ABE的面积相等．
23.(本小题6分)
如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，∠ABC=∠ADE，∠DEB=∠GFC．
(1)求证：BE//GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE=110°，∠C=50°，求∠CGF的度数．
24.(本小题8分)
【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
上述操作能验证的公式是______．
【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一直线上.若a+b=20，ab=80，求阴影部分的面积．
【拓展应用】根据前面的经验探究：若x满足(3−4x)(2x−5)=92，求(3−4x)2+4(2x−5)2的值．
25.(本小题10分)
如图，直线AB//CD，MN⊥AB，分别交AB，CD于点M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED，∠QFC，设旋转时间为t秒(0
(1)用含t的代数式表示：∠AMP= ______°，∠QMB= ______°；
(2)当∠MEN+∠MFN=130°时，t= ______；
(3)试探索∠EFR与∠ERF之间的数量关系，并说明理由；
(4)若∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，∠EKM的度数是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、利用图形旋转而成，不符合题意；
B、利用图形平移而成，符合题意；
C、利用轴对称而成，不符合题意；
D、利用轴对称而成，不符合题意．
故选：B．
根据图形平移的性质即可得出结论．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
B、a3⋅a2=a5，正确；
C、(2a2)3=8a6，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、1+3<5，长度是1cm、3cm、5cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、1+4=5，长度是1cm、4cm、5cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、1+5<7，长度是1cm，7cm、5cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、2+5>6，长度是2cm、6cm、5cm的线段能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】B
【解析】解：∵x−3y−2=0，
∴x−3y=2，
∴2x÷8y
=2x÷23y
=2x−3y
=22
=4．
故选：B．
先对条件进行变形，再计算原式，整体代入即可．
本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟记计算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(x+2)(x−2)=x2−4，则A不符合题意；
(x+2)(−x+2)=4−x2，则B不符合题意；
(−x+2)(−x−2)=x2−4，则C不符合题意；
(x+2)(2+x)=x2+4x+4，则D符合题意；
故选：D．
利用平方差公式及完全平方公式逐项判断即可．
本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】D
【解析】解：多边形的外角是360°，不会因边数的增加而改变，则A不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，则B不符合题意；
直角三角形有3条高，它们交于其直角顶点，则C不符合题意；
三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，则D符合题意；
故选：D．
根据多边形的外角和，三角形的外角性质，三角形的高与三角形的角平分线的性质进行判断即可．
本题考查多边形外角和及三角形的相关性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、4x2−2x+1+6x=4x2+4x+1=(2x+1)2，故A不符合题意；
B、4x2−2x+1+4x=4x2+2x+1，故B符合题意；
C、4x2−2x+1−2x=4x2−4x+1=(2x−1)2，故C不符合题意；
D、4x2−2x+1−3x2=x2−2x+1=(x−1)2，故D不符合题意；
故选：B．
利用完全平方式的特征进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠3为三角形的外角，
∴∠3=∠1+∠B=70°，
∵a//b，
∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠4=90°，∠3=70°，
∴∠2=20°．
故选：A．
由三角形外角性质求出∠3的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠3+∠4+∠2的度数，根据∠3与∠4的度数求出∠2的度数即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过B作BF//AE交DE于F，
∵AE//CD，
∴BF//CD，
∴∠E=∠BFD，∠BFD+∠D=180°，∠A+∠ABF=180°，∠FBC+∠C=180°，
∴∠E+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠C=360°，
∴α=2β，
即α−2β=0，
故选：C．
过B作BF//AE交DE于F，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等和两直线平行．同旁内角互补解答．
10.【答案】C
【解析】解：连接BF，过C点作CH⊥AB于H，
∵D，E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四边形BDFE=S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四边形BDFE=5，
∴S四边形BDFE=S△ACF=5，
∴S△ABC=S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF=15，
∴12CH⋅AB=15，
∴CH=5，
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=5，
∴AC的最小值为5，
故选：C．
连接BF，过C点作CH⊥AB于H，根据三角形中线的性质利用面积公式得出CH，进而利用距离最短解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出CH解答．
11.【答案】3.7×10−5
【解析】解：0.000037=3.7×10−5．
故答案为：3.7×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】135
【解析】解：因为一个八边形，它的每个内角都相等，
所以这个八边形的每个外角都相等，
所以每个外角的度数=360°÷8=45°，
所以每个内角的度数=180°−45°=135°．
故答案是：135．
根据多边形的外角和为360°即可得出结果．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角与相邻的外角互补，且外角和为360°是解本题的关键．
13.【答案】①
【解析】解：①(x2+2x−3=(x+3)(x−1)，符合因式分解的定义，符合题意；
②(x+3)(x−1)=x2+2x−3.，从左到右的变形是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故答案为：①．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
14.【答案】x+1
【解析】解：∵x2−1=(x+1)(x−1)，x2+x=x(x+1)，
∴整式x2−1与x2+x的公因式是x+1，
故答案为：x+1．
先利用平方差公式、提取公因式法分解因式，然后找出公因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
15.【答案】−1
【解析】解：310×(−19)5
=310×(−1310)
=310×[−(13)10]
=−(3×13)10
=−110
=−1．
故答案为：−1．
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】2
【解析】解：(y2+ay)(2y−4)
=2y3−4y2+2ay2−4ay
=2y3+(2a−4)y2−4ay，
∵(y2+ay)(2y−4)的结果中不含y2项，
∴2a−4=0，
∴a=2．
故答案为：2．
现对原式展开，再进行合并同类项，最后是y2项的系数为0即可求得．
本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项后y2项的系数为0是解题的关键．
17.【答案】15°或30°
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B−∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=180°−40°−x°=(140−x)°，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
当∠DFE=∠E=40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=180°−40°−40°=100°，
∴140−x=100+40+x，
解得x=0(不存在)；
当∠FDE=∠E=40°时，
∴140−x=40+40+x，
解得x=30，
即∠ACD=30°；
当∠DFE=∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=12×(180°−40°)=70°，
∴140−x=70+40+x，
解得x=15，
即∠ACD=15°，
综上，∠ACD=15°或30°，
故答案为：15°或30°．
由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=(140−x)°，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．
18.【答案】2或8或10
【解析】解：∵∠E=∠ABC=30°，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠D=∠A=60°．
①当DE//AC时，如图1中，
∵∠C=90，
∴AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
∴∠D+∠BFD=90°，
∴∠BFD=90°−60°=30°，
∴旋转时间t=3015=2s．
②如图2中，当DE//BC时，
∠BFE=∠E=30°，
∴∠DFB=90°+30°=120°，
∴旋转时间t=12015=8s．
③当DE//AB时，如图3中，
∴∠BGF=∠E=30°，
∴∠BFE=30°+30°=60°，
∴∠DFB=60°+90°=150°，
∴旋转时间t=15015=10s．
综上所述，旋转时间为3s或12s或15s时，△ABC恰有一边与DE平行．
故答案为：2或8或10．
分三种情形讨论：①当DE//AC时．②当DE//BC时．③当DE//AB时，分别求出∠DFB即可解决问题．
本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)(12)−1+(−1)3+(π−2024)0
=2+(−1)+1
=2；
(2)2m5⋅3m−(−2m3)2
=6m6−4m6
=2m6；
(3)3(13a−b)2
=3(19a2−23ab+b2)
=13a2−2ab+3b2；
(4)(x−y−3)(x+y−3)
=(x−3−y)(x−3+y)
=(x−3)2−y2
=x2−6x+9−y2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
(3)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=n(mn−2)；
(2)原式=4(a2−9)
=4(a+3)(a−3)；
(3)原式=(a2+b2+2ab)(a2+b2−2ab)
=(a+b)2(a−b)2；
(4)原式=[3x−(y−1)]2
=(3x−y+1)2．
【解析】(1)利用提公因式法因式分解即可；
(2)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(3)利用平方差及完全平方公式因式分解即可；
(4)利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(2x+3)(2x−3)−x(5x+4)−(x−1)2
=4x2−9−5x2−4x−x2+2x−1
=−2x2−2x−10，
∵x2+x−3=0，
∴x2+x=3，
∴原式=−2(x2+x)−10=−2×3−10=−16．
【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知变形代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
；
(2)S△ABC=3×4−12×4×2−12×3×2−12×2×1=4，
故答案为：4；
(3)如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
．
(1)根据AB的方向，寻找过点C且与AB互相垂直的直线，再寻找格点D即可；
(2)利用割补法求面积即可；
(3)根据同底等高的三角形面积相等和AB的方向，寻找过点C且与AB互相平行的直线，以及AB的另一侧且到AB的距离和点C到AB距离相等的直线，再寻找格点E即可．
本题考查三角形面积，掌握同底等高的三角形面积相等是关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠ADE，
∴DE//BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠DEB=∠GFC，
∴∠EBC=∠GFC，
∴BE//GF；
(2)解：∵DE//BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠BDE=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=35°，
∵BE//GF，
∴∠GFC=∠EBC=35°，
∵∠C+∠GFC+∠CGF=180°，
∴∠CGF=180°−∠C−∠GFC=95°．
【解析】(1)由题意可求得DE//BC，则有∠DEB=∠EBC，即可求得∠EBC=∠GFC，即得BE//GF；
(2)由平行线的性质得∠BDE+∠ABC=180°，可求得∠ABC=70°，再由角平分线的定义得∠EBC=35°，再由平行线的性质得∠GFC=35°，从而可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：【教材重现】图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，所拼成的图2是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
【类比探究】如图3，
∵a+b=20，ab=80，
∴S阴影部分=S梯形BDEG−S△DEH−S△BCH
=12a(a+b+b)−12b(a−b)−12ab
=12a2+ab−12ab+12b2−12ab
=12a2+12b2
=12(a2+b2)
=12[(a+b)2−2ab]
=12×(400−160)
=120；
【拓展应用】设3−4x=a，2(2x−5)=b，则ab=2(3−4x)(2x−5)=9，a+b=3−4x+4x−10=−7，
∴(3−4x)2+4(2x−5)2=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=49−18
=31．
【教材重现】用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
【类比探究】根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=12[(a+b)2−2ab]，再代入求值即可；
【拓展应用】设3−4x=a，2(2x−5)=b，则ab=2(3−4x)(2x−5)=9，a+b=3−4x+4x−10=−7，将(3−4x)2+4(2x−5)2化为a2+b2=(a+b)2−2ab，再代入计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
25.【答案】10t (90−5t) 8或283 45°或135°
【解析】解：(1)①由题意得：∠AMP=10t°，∠NMF=5t°，
∵AB//CD，MN⊥AB，
∴∠QMB=90°−∠NMF=90°−5t°=(90−5t)°；
故答案为：10t，(90−5t)；
(2)①当点E在N左侧时，
∵AB//CD，
∴∠MEN=∠AMP=10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF=5t°，
∴∠MFN=90°−5t°，
∵∠MEN+∠MFN=130°，
∴10t°+90°−5t°=130°，
解得：t=8；
②当点E在N右侧时，如图，
∵AB//CD，∠AMP=10t°，
∴∠MEN+∠AMP=180°，
∴∠MEN=180°−10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF=5t°，
∴∠MFN=90°−5t°，
∵∠MEN+∠MFN=130°，
∴180°−10t°+90°−5t°=130°，
解得：t=283；
∴t的值为8或283；
故答案为：8或283；
(3)∠EFR=∠ERF，
理由：∵FR平分∠QFC，由(2)得∠MFN=90°−5t°，
∴∠EFR=12(180°−∠MFN)=12(180°−90°+5t°)=45°+52t°，
∵由(1)得∠REF=90°−5t°，
在△REF中，∠ERF=180°−∠REF−∠EFR=180°−(90°−5t°)−(45°+52t°)=45°+52t°，
∴∠EFR=∠ERF；
(4)①当K点在MN的左边时，如图所示：
由(2)得∠MEN=10t°，
∴∠EMN=90°−10t°，
∵MK是∠EMF的平分线，
∴∠EMK=12∠EMN=45°−5t°，
由(1)得：∠REF=90°−5t°，
∴∠MER=∠REF+∠MEN=90°−5t°+10t°=90°+5t°，
在△MEK中，∠EKM=180°−∠MER−∠EMK=180°−(90°+5t°)−(45°−5t°)=45°．
②当K点在MN的右边时，如图所示：
由题意可知：∠AMP=10t°，则有∠MEN=180°−∠AMP=180°−10t°，
∠PMN=10t°−90°，
∵MK平分∠PMN，ER平分∠PEF，∠PED=∠MEN，
∴∠EMK=12∠PMN=5t°−45°，∠MEK=12∠MEN=12∠PED=90°−5t°，
在△MEK中，∠EKM=180°−∠MEK−∠EMK=180°−(90°−5t°)−(5t°−45°)=135°．
故答案为：45°或135°．
(1)根据题意可难得出∠AMP的度数为10t°，∠QMB=90°−5t°；
(2)由平行线的性质可得∠MEF=∠AME=10t°，再由MN⊥AB可得MN⊥CD，从而可得∠MFN=90°−5t°，结合所给的条件∠MEN+∠MFN=130°即可求解；
(3)∠EFR=∠ERF，分别用含t的代数式表示出∠REF和∠EFR的度数，再结合三角形的内角和，可表示出∠ERF，进行比较即可求解；
(4)可分K在MN的左边与K在MN的右边两种情况进行讨论，再把△EKM的∠MEK和∠EMK的度数用含t的代数式表示出来，再利用三角形的内角和求∠EKM的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用．
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