2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 x+3有意义的条件是( )
A. x>3B. x>−3C. x≥−3D. x≥3
2.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A. 一组对角相等B. 对角线互相平分C. 一组对边相等D. 对角线互相垂直
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3− 2=1C. 3 2− 8= 2D. 3+ 3=3 3
4.下列二次根式中，可与 12进行合并的二次根式是( )
A. 3B. 6C. 18D. 24
5.已知三角形的三边长之比为1：1： 2，则此三角形一定是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6.有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：|a+c|− (b−c)2=( )
A. a−b−2cB. −a−bC. a+cD. a−b
7.如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )
A. 8B. 6C. 9D. 10
8.如图，一架梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1米，则梯子顶端A下落了( )
A. 1米
B. 2米
C. 3米
D. 5米
9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=12，则边AD的长度x的取值范围是( )
A. 210.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP=OB，则∠COP的度数为( )
A. 15°
B. 22.5°
C. 25°
D. 17.5°
11.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点Cˈ处，BCˈ交AD于点E，则线段DE的长为( )
A. 3B. 154C. 5D. 152
12.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE/​/DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
13.计算：(−2 5)2=______．
14.已知x= 5+1，y= 5−1，则x2−y2的值为______．
15.有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少______秒才能到达大树和伙伴在一起．
16.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．
17.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为BC上一动点，过P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则P在运动过程中EF的最小值为______．
18.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=1，BC=4，则AB2+CD2= ______．
19.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1−S2+S3+S4等于______．
三、解答题：本题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
计算： (−2)2+(π−3.14)0+( 5− 2)( 5+ 2)−(14)−1．
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE/​/DF，交AD的延长线于点E.若∠A=46°，求∠CBE的度数．
22.(本小题12分)
如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km(即AD=60km)．
(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
23.(本小题13分)
在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2 2，BC= 2，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
(2)若原点为O，且CO=5 2，求P的值．
24.(本小题14分)
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN/​/BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
25.(本小题15分)
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=30cm，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0(1)求证：AE=DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，解不等式即可．
【解答】
解：∵要使 x+3有意义，必须x+3≥0，
∴x≥−3，
故选：C．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，注意：要使 a有意义，必须a≥0．
2.【答案】B
【解析】解：
A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、∵OA=OC、OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
根据平行四边形的判定定理(①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形)进行判断即可．
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、3 2− 8=3 2−2 2= 2，故本选项正确；
D、3和 3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误．
故选C．
先将各个二次根式化简，再按合并同类二次根式法则逐项判断即可。
此题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式的法则．
4.【答案】A
【解析】解： 12=2 3，
A、 3与 12是同类二次根式，符合题意；
B、 6与 3不是同类二次根式，不符合题意；
C、 18=3 2，与 3不是同类二次根式，不符合题意；
D， 24=2 6，与 3不是同类二次根式，不符合题意，
故选：A．
根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系满足a2+b2=c2，三角形为直角三角形．
由已知得其有两条边相等，并且符合勾股定理的逆定理，从而可判断三角形的形状．
【解答】
解：由题意设三边长分别为：x，x， 2x，
∵x2+x2=( 2x)2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，c|b|>|a|，
所以a+c<0，b−c>0，
所以原式=−a−c−b+c=−a−b．
故选：B．
根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得c|b|>|a|，进而可得a+c<0，b−c>0，再根据绝对值、二次根式的性质进行化简即可．
本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质是正确解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，AD=BC=5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE=DC+DE+AE=DC+AD=3+5=8．
故选：A．
由AC的垂直平分线交AD于E，易证得AE=CE，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD与DC的长，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=5m，BC=3m，根据勾股定理得AC= AB2−BC2=4米，
Rt△CDE中，ED=AB=5m，CD=BC+DB=3+1=4米，
根据勾股定理得CE= DE2−CD2=3，
所以AE=AC−CE=1米，
即梯子顶端下滑了1m．
故选：A．
根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，连续运用两次勾股定理，分别求得AC和CE的长，进一步求得AE的长．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=12AC=12×6=3，OD=12BD=12×12=6，
∴边AD的长度x的取值范围是：6−3即3故选：B．
由在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=12，根据平行四边形的性质，可求得OA与OD的长，然后由三角形三边关系，求得边AD的长度x的取值范围．
此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，
∵BP=OB，
∴∠BOP=∠BPO=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠COP=90°−77.5°=22.5°．
故选：B．
根据四边形ABCD是正方形，可得∠BOC=90°，∠OBC=45°，再根据BP=OB，即可求出∠COP的度数．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
11.【答案】B
【解析】【解答】
解：设ED=x，则AE=6−x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=32+(6−x)2，
解得：x=154，
∴ED=154．
故选：B．
【分析】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAE=∠DCF，
AB=CD(故③不正确)，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF(故①正确)，
同理：DE=BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE/​/DF(故②正确)，
∵AB=CD，AD=BC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴两三角形AC边上的高的相等，
∵△ABE，△ADE分别是△ABC与△CDA中的小三角形，且AE=AE，
∴S△ADE=S△ABE(故⑤正确)，
∵AE=CF，
∴AF=CE(故⑥正确)，
∴正确的有：①②④⑤⑥共5项．
故选：C．
根据平行四边形的判定及性质及全等三角形的判定及性质对各个选项进行分析，从而判断各个结论的正确性．
此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定及性质的综合运用能力．
13.【答案】20
【解析】解：原式=4×5=20．
故答案为20．
直接进行二次根式的平方运算即可得出答案．
本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意细心运算即可．
14.【答案】4 5
【解析】解：∵x= 5+1，y= 5−1，
∴x+y=2 5，x−y=2，
∴x2−y2
=(x+y)(x−y)
=2 5×2
=4 5；
故答案为4 5．
求得x+y=2 5，x−y=2，将代数式进行适当的变形后，代入即可．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：如图所示，根据题意，得
AC=20−4=16，BC=12．
根据勾股定理，得
AB=20．
则小鸟所用的时间是20÷4=5(s)．
故答案为：5．
根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20−4=16，再根据勾股定理就可求解．
此题主要是勾股定理的运用．解题时应注意：时间=路程÷速度．
16.【答案】15
【解析】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm−4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C= 122+92=15cm，
故答案为：15．
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
17.【答案】125
【解析】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∵△ABC的面积=12AC⋅AB=12BC⋅AP，
即12×4×3=12×5×AP，
∴AP=125，
即P在运动过程中EF的最小值为125，
故答案为：125．
证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
18.【答案】17
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2，
∵AD=1，BC=4，
∴AB2+CD2=12+42=17．
故答案为：17．
根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
19.【答案】6
【解析】解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△BCA，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2=SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3=S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4=SRt△ABC，
∴S1−S2+S3+S4
=(S1+S3)−S2+S4
=SRt△ABC−SRt△ABC+SRt△ABC
=6−6+6
=6，
故答案是：6．
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2=SRt△ABC；S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC；S4=SRt△ABC，进而即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
20.【答案】解：原式=2+1+5−2−4
=2．
【解析】先根据二次根式的性质、零指数幂、平方差公式和负整数指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=46°，
∴∠ADC=∠ABC=134°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=12∠ADC=67°，
∴∠AFD=∠CDF=67°，
∵DF/​/BE，
∴∠ABE=∠AFD=67°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=134°−67°=67°．
【解析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意AD=60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，得602+BD2=1002．
∴BD=80(km)．
∴CD=BC−BD=125−80=45(km)．
∴AC= CD2+AD2= 452+602=75(km)．
75÷25=3(小时)．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
(2)∵AB2+AC2=1002+752=15625，BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC=90°．
∴∠NAC=180°−90°−50°=40°．
∴C岛在A港的北偏西40°．
【解析】(1)Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC−BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度；
(2)由勾股定理的逆定理推知∠BAC=90°.由方向角的定义作答．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
23.【答案】解：(1)点A，C对应的数为−2 2， 2，
P=−2 2+0+ 2=− 2；
(2)当点O在点C右边时，
点A所对应数为0−5 2− 2−2 2=−8 2，
点B所对应数为0−5 2− 2=−6 2，
点C所对应数为0−5 2=−5 2，
P=−8 2−6 2−5 2=−19 2；
当点O在点C左边时，
点A所对应数为2 2，
点B所对应数为4 2，
点C所对应数为5 2，
P=2 2+4 2+5 2=11 2；
综上所述，P的值为−19 2或11 2．
【解析】(1)以B为原点，写出点A，C所对应的数，从而计算出P的值；
(2)原点为O，且CO=5 2，因为不知道点O的位置，所以分点O在点C右边和左边两种情况，分别计算即可．
本题考查了实数与数轴，二次根式的加减运算，注意分类讨论，不要漏解．
24.【答案】(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN/​/BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
(2)解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= CE2+CF2= 144+25=13，
∴OC=12EF=132；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵Rt△ABC中，∠C=30°．
∵CD=2t，AE=t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=12CD=t，
∴DF=AE；
解：(2)∵DF/​/AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即30−2t=t，
解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
(3)当t=152时，△DEF是直角三角形(∠EDF=90°)；
当t=12时，△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下：
当∠EDF=90°时，DE/​/BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=2t，
∴DF=t=AE，
∴AD=2t，
∴2t+2t=30，
∴t=152时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD/​/EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=90°−30°=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=12AE，
AD=AC−CD=30−2t，AE=DF=12CD=t，
∴30−2t=12t，
解得t=12．
当∠DFE=90°时，点E和点F都和点B重合，不能构成三角形，所以，此种情况不存在；
综上所述，当t=152时，△DEF是直角三角形(∠EDF=90°)；当t=12时，△DEF是直角三角形(∠DEF=90°)．
【解析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
(2)易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
(3)分三种情况，建立方程求解即可．
此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．