2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列分式是最简分式的是( )
A. aa2B. 63yC. xx+1D. x+1x2−1
2.若a≠b，则下列分式化简正确的是( )
A. a+3b+3=abB. a−3b−3=abC. a3b3=abD. 13a13b=ab
3.已知在▱ABCD中，∠B+∠D=160°，则∠B的度数为( )
A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°
4.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若A(0,1)，B(1,0)，则点C的坐标为解( )
A. (1,−2)
B. (1,−1)
C. (2,−2)
D. (2,1)
5.将直线y=3x−2向下平移2个单位长度后所得直线的表达式为( )
A. y=3xB. y=3(x−2)−2C. y=3(x+2)−2D. y=3x−4
6.如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12ah.那么下列说法错误的是( )
A. 当a为定长时，S是h的一次函数B. 当h为定长时，S是a的一次函数
C. 当S确定时，a是h的一次函数D. 当S确定时，h是a的反比例函数
7.在公式1R=1R1+1R2中，以下变形正确的是( )
A. R1=RR2R−R2B. R2=RR1R1−RC. R=R1+R2R1R2D. R=1R1+R2
8.在A、B两地之间有汽车站C(C在直线AB上)，甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.如果绘制成甲、乙两车的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象，这个图象大约是( )
A. B.
C. D.
9.已知a，b为实数，且ab=1，a≠1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，则M，N的大小关系是( )
A. M>NB. M=NC. M0时y随x的增大而增大的函数关系式，这个函数关系式可以是______．
12.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=3，BD=10，则AC的长是______．
13.若点A(−2023,y1)，B(2024,y2)都在双曲线y=3−2ax上，且y1>y2，则a的取值范围是______．
14.如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为(−2,0).将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过A、D两点，则k值为 ．
15.在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AD=8，EF=2，BC边上的高AH=3，则AB边上的高CG= ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|−1|+3−8+(13)−2−(1− 3)0；
(2)化简：(a−b2a)÷a−ba．
17.(本小题9分)
已知正比例函数y=−43x的图象经过横坐标为3的点A，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，且△AOH的面积为6．
(1)填空：点A的坐标是(______，______)，△AOH的面积为______；
(2)点P(2,0)在x轴上，点Q在第二象限，四边形OAPQ是平行四边形，求四边形OAPQ的周长．
18.(本小题9分)
我县某校九年级为进行数学综合与实践活动，需要到一个批发兼零售的商店购买所需器材.该商店规定一次性购买该器材达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.如果给九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买120个使希望参加进去的八年级学生都拥有，则可以按批发价付款，同样需用3600元.经销商定价，按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
19.(本小题9分)
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A点，连接AO交双曲线另一支于B点.已知B点的坐标为(−3,−2)，分别过A、B作AD⊥x轴于D、BC⊥y轴与C，连接CD，过AC作直线．
(1)求直线AC和反比例函数的表达式；
(2)点B在双曲线上移动，其它条件不变，△ABC和△ACD的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由．
20.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，连接CH.作
∠ADC的角平分线DF，交CH、BC及AB的延长线于G、E、F．
(1)如果AB=2，AD=3，那么AF= ______，BE= ______；
(2)若点G恰好是线段CH的中点，求证：BF=AH．
21.(本小题9分)
小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解．
如已知yx−xy=5，求3x2+xy−3y22x2−xy−2y2的值．
小明的做法是：
∵yx−xy=5，
∴x2−y2=−5xy，
∴3x2+xy−3y22x2−xy−2y2=3(x2−y2)+xy2(x2−y2)−xy=−15xy+xy−10xy−xy=1411．
小亮的做法是：
∵yx−xy=5，
∴xy=−15(x2−y2)，
∴3x2+xy−3y22x2−xy−2y2=3(x2−y2)+xy2(x2−y2)−xy=3(x2−y2)−15(x2−y2)2(x2−y2)+15(x2−y2)=145(x2−y2)115(x2−y2)=1411．
学习他们的方法求解：
(1)已知1a+2b=1，且a≠−b，求ab−aa+b的值；
(2)已知1x−1y=m，2x−3xy−2yx+xy−y=73，求m的值．
22.(本小题10分)
2024年正月十六晚，汝阳“在水一方醉美汝阳”烟火晚会隆重举行.据气象部门预报，当晚大气温度是5℃，寒冷的天气阻止不了群众观看的热情，小明与小亮也不例外.据有关资料研究表明：声音在空气中的传播速度y(m/s)简称声速，它与气温x(℃)有如表所反映的函数关系：
(1)观察表格数据，y与x之间的函数关系符合我们学习过的______函数，由此表格中a= ______.求出y与x之间的函数关系式；
(2)小亮在距燃放中心约1002米的地方观看，他看到烟花放多少秒后才能听到声响？
(3)小明在瑞云山上观看，他、小亮与燃放中心正好在一条线上，已知他看到烟花放5秒后才听到声响，直接写出小明与小亮所在地的大约距离．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A(2,0)，B(6,2)，C(6,6).反比例函数y=kx(x>0)的函数图象经过点D，点P是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y=ax+b(a≠0)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，直接写出直线PC的解析式；
(3)对于一次函数y=ax+b(a≠0)，当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；
C、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．
D、分母为(x+1)(x−1)，所以该分式的分子、分母中含有公因式(x+1)，则它不是最简分式．故本选项错误；
故选：C．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
B.从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
C.从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
D.13a13b=ab，能从等式的左边推出等式的右边，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的混合运算和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠B=∠D=80°，
故选：C．
根据平行四边形的对角相等，即可得出∠B的度数．
本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
4.【答案】C
【解析】解：∵A(0,1)，B(1,0)，
∴坐标系如图，
由图可知，C(2,−2)．
故选：C．
根据题意建立坐标系，根据点C在坐标系中的位置即可得出结论．
本题考查的是点的坐标，根据题意建立出平面直角坐标系是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据平移的规则可知：
将直线y=3x−2向下平移2个单位长度后所得直线的表达式为：y=3x−4，
故选：D．
根据函数图象的平移规则“上加、下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．
6.【答案】C
【解析】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12ah，
A、当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B、当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C、当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D、当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数及一次函数的定义解答即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵1R=1R1+1R2，即1R=R1+R2R1R2，
∴R=R1R2R1+R2，
因此选项C、选项D不符合题意；
∵1R=1R1+1R2，即1R1=1R−1R2，
∴即1R1=R2−RRR2，
∴R1=RR2R2−R，
因此选项A不符合题意；
∵1R=1R1+1R2，即1R2=1R−1R1，
∴即1R2=R1−RRR1，
∴R2=RR1R1−R，
因此选项B符合题意；
故选：B．
根据等式的性质以及分式加减法的计算方法逐项进行计算后再判断即可．
本题考查分式的解决运算，掌握分式加减的计算方法以及等式的性质是正确解答的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由函数图象可知，当x=0时，y1=360，y2=80，
∴A、C两地之间的距离是360千米，B、C两地之间的距离是80千米，
∴360+80=440(千米)，
∴A、B两地相距440千米，
故选项A不符合题意；
∵两车的速度和不变，
∴相遇前y随x的增大而减小，
故选项C不符合题意；
∵甲车到达C站后，甲、乙两车的距离y随x的增加而增加且增加的速度比开始小，
∴选项B不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
由函数图象可知，A、C两地之间的距离是360千米，B、C两地之间的距离是80千米，可求得A、B两地之间的距离是440千米，可判断选项A不符合题意；根据相遇前两车的速度和不变，随x的增大而减小，可得判断选项C不符合题意；根据甲车到达C
此题考查了函数的图象，正确理解不同取值范围内的函数图象所表示的实际意义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知：M−N=aa+1+bb+1−1a+1−1b+1
=a−1a+1+b−1b+1
=(a−1)(b+1)+(b−1)(a+1)(a+1)(b+1)
=2ab−2(a+1)(b+1)
∵ab=1
∴M−N=0，
∴M=N
故选：B．
运用作差法，根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
10.【答案】A
【解析】解：当点E运动在AB上时，四边形AEFD为矩形，
∴DF=AE，
当点E运动在BC上时，DF的长呈先变短再变长的变化，故DF不一定等于AE，故A不一定正确，符合题意；
当点E运动到点B处时，DF=AB=4，
∴a=4，故B正确，不符合题意；
当点E运动到点C处时，点E运动路程为8，E、F、C三点重合，
∴DF=DC=4，
∴b=8，故C正确，不符合题意；
当点E运动到BC中点时，如图，
BE=CE=2，此时△ABE∽△CEF，
∴CF：CE=BE：AB，
∴CF=1，
∴EF= 12+22= 5，故D正确，不符合题意．
故选：A．
根据点P的运动位置，判断出点P的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象逐个判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
11.【答案】y=x+2(答案不唯一)
【解析】解：∵当x>0时，y随x的增大而增大，
∴设解析式为：y=x+b，
∵图象经过点(−1,1)，
∴1=−1+b，
解得：b=2，
∴解析式为：y=x+2．
故答案为：y=x+2(答案不唯一)．
根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．
本题考查了函数的性质，用到的知识点：函数图象经过点，则点的坐标满足函数解析式；一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大，k32
【解析】解：∵−2023y2，
∴双曲线y=3−2ax图象分布在第二、四象限，
∴3−2a32．
根据点的横坐标大小关系和y1>y2确定双曲线分布的象限，再确定反比例函数的k值范围，最后解不等式即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】−16 33
【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为(−2,0)，
∴AB=−k2，
∴OC=−k2，
由旋转性质知OD=OC=−k2，∠COD=60°，
∴∠DOE=30°，
∴DE=12OD=−14k，OE=ODcs30°= 32×(−k2)=− 34k，
即D( 34k,−14k)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过D点，
∴k=( 34k)(−14k)=− 316k2，
解得：k=0(舍)或k=−16 33，
故答案为：−16 33．
过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为(−2,0)知OC=AB=−k2，由旋转性质知OD=OC=−k2、∠DOC=60°，
据此求得D( 34k,−14k)，代入解析式解之可得．
本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点D的坐标．
15.【答案】245
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，AB=CD，
∴∠AFB=∠CBD，∠CED=∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF=∠CBD，∠BCE=∠ECD，
∴∠ABF=∠AFB，∠CED=∠ECD，
∴AB=AF，CD=DE，
∴AD=AF+DE−EF=2AB−2=8，
∴AB=5，
∵BC=AD=8，BC边上的高AH=3，CG⊥AB，
∴平行四边形的面积=AB⋅CG=BC⋅AH，
∴5CG=8×3，
∴CG=245．
故答案为：245．
根据平行四边形的性质，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，证明AB=AF，CD=DE，然后利用平行四边形的面积即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−1|+3−8+(13)−2−(1− 3)0；
=1−2+9−1
=7．
(2)(a−b2a)÷a−ba
=a2−b2a×aa−b
=(a+b)(a−b)a×aa−b
=a+b．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的除法法则得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】3 −4 6
【解析】解：(1)点A的横坐标为3，A在正比例函数为y=−43x图象上，
故点A的坐标为(3,−4)．
∴△AOH的面积为6．
故答案为：(3,−4)，6．
(2)如下图，AH⊥x轴于点H，
∵点A的坐标为(3,−4)，
∴.OA=5，
∵点P的坐标为(2,0)，
∴PH=1，
由勾股定理得AP= 17．
∵四边形OAPQ是平行四边形，
∴PQ=OA=5，OQ=AP= 17
∴四边形OAPQ是周长为：10+2 17．
(1)将点A的横坐标为3代入正比例函数解析式求出纵坐标，面积题目已知；
(2)根据点的坐标利用勾股定理分别求出OA、PA长，即可得到平行四边形周长．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和平行四边形性质，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
18.【答案】解：∵批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，
∴零售价是批发价的1.2倍，
设批发价为x元，则零售价为1.2x元，这个学校九年级学生有36001.2x人，
根据题意得：3600x=36001.2x+120，
解得：x=5，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×5=6，
∴3600÷6=600(人)，
答：这个学校九年级学生有600人．
【解析】设批发价为x元，则零售价为1.2x元，这个学校九年级学生有36001.2x人，根据如果给九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买120个使希望参加进去的八年级学生都拥有，则可以按批发价付款，同样需用3600元．列出分式方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设反比例函数为y=ax，
∵点B(−3,−2)在反比例函数y=ax的图象上，
∴a=−3×(−2)=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∵点B(−3,−2)，
根据反比例函数的性质得A与B关于O对称，BC⊥y轴与C，得A(3,2)，C(0,−2)
设直线AC表达式为y=kx+b经过AC，
∴3k+b=2b=−2，解得k=−43b=−2，
∴直线AC表达式为y=−43x−2；
(2)不会改变，
作AE⊥y轴，垂足为E，根据中心对称性质，
S△ABC=S矩形AEOD=6，
S△ACD=S△OCD=S△AOD=12×6=3，

∴△ABC的面积是6，△ACD的面积是3．
【解析】(1)待定系数法求出直线AC和反比例函数的表达式即可；
(2)根据反比例函数中心对称性质，S△ABC=S矩形AEOD=6，S△ACD=S△OCD=S△AOD=12×6=3即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20.【答案】3 1
【解析】(1)解：∵DF是∠ADC的角平分线，
∴∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB/​/CD，AB=CD=2，BC=AD=3，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠CDE，
∴∠ADF=∠AFD，∠DEC=∠CDE，
∴AF=AD=3，CE=CD=2，
∴BE=BC−CE=3−2=1，
故答案为：3，1；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠AFD=∠CDF，
∵G为CH的中点，
∴CG=HG，
∵∠CGD=∠HGF，
∴△CDG≌△HFG(AAS)，
∴FH=CD，
∴FH=AB，
∴FH−BH=AB−BH，
∴BF=AH．
(1)根据平行四边形的性质解答即可；
(2)根据平行四边形的性质证明△CDG≌△HFG(AAS)，得FH=CD，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，急急急本题的关键是得到△CDG≌△HFG．
21.【答案】解：(1)∵1a+2b=1，
∴ab=2a+b，
∴ab−aa+b=b+2a−aa+b=a+ba+b=1；
(2)把1x−1y=m去分母变形得y−x=mxy，
∴x−y=−mxy，
∴2x−3xy−2yx+xy−y=2(x−y)−3xyx−y+xy=73，
整体代入可化为−2mxy−3xy−mxy+xy=73，
即(−2m−3)xy(−m+1)xy=73，
−2m−3−m+1=73，
解分式方程得m=16．
【解析】(1)把已知条件去分母得到b+2a=ab，然后把ab=b+2a代入所求的代数式中约分即可；
(2)把已知条件去分母得到x−y=−mxy，再利用整体代入的方法把原方程化为−2m−3−m+1=73，然后解分式方程即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
22.【答案】一次 334
【解析】解：(1)由图表可以看出，声速随温度的升高匀速上升，故为一次函数，
根据规律，问题每升高5度，声速提高3米/秒，故a=334，
故答案为：一次，334；
y与x之间一次函数关系为y=kx+b，代入坐标(0,331)、(10,337)，
得331=b337=10k+b，
解得k=0.6b=331，
所以y与x之间一次函数关系为y=0.6x+331；
(2)当x=5℃时，y=331+0.6×5=334(m/s)，
∴小亮看到烟花后听到声响需要的时间为1002÷334=3(秒)．
(3)小明距燃放中心得距离为：5×334=1670，
当小明和小亮在燃放中心的同侧时，两人的距离为：1670−1002=668(米)，
当小明和小亮在燃放中心的两侧时，两人的距离为：1670+1002=2672(米)．
小明与小亮所在地的大约距离为668或2672米．
(1)根据表中规律判断，用待定系数法求解即可；
(2)用距离除以速度计算即可；
(3)先求出小亮距燃放中心得距离，再分两种情况进行讨论计算即可．
本题考查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵B(6,2)，C(6,6)，
∴BC///y轴，BC=6−2=4，
又∵四边形ABCD是平行四边形，A(2,0)，
∴.D(2,4)，
又∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的关系式为y=8x；
(2)①当PC经过线段AD的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，
由(1)可知AD中点坐标为(2,2)，
设PC解析式为y=kx+b，
∴2k+b=26k+b=6，解得k=1b=0，
∴PC解析式为：y=x，
②当PC经过线段AB的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，
线段AB的中点坐标为(4,1)，设PC解析式为y=mx+n，
∴4m+n=16m+n=6，解得m=52n=−9，
∴直线PC的解析式为：y=52x−9．
综上分析，直线PC的解析式为：y=x或y=52x−9．
(3)如图，过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点P1、P2，

∵C(6,6)，
∴当x=6时，y=43，当y=6时，x=43，
∴P1(6,43)，P2(43,6)，
当点P在P1、P2之间的双曲线上时，直线PC，即直线y=ax+b(a≠0)，y随x的增大而增大，
∴点P的横坐标x的取值范围为43