专题07 二次函数-面积最大值问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用）

这是一份专题07 二次函数-面积最大值问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用），共22页。试卷主要包含了三角形面积的最大值，四边形面积的最大值，图形面积和、差、比的最大值等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24222" 必备知识点 PAGEREF _Tc24222 \h 1
\l "_Tc16906" 考点一 三角形面积的最大值 PAGEREF _Tc16906 \h 1
\l "_Tc24876" 考点二 四边形面积的最大值 PAGEREF _Tc24876 \h 3
\l "_Tc18949" 考点三 图形面积和、差、比的最大值 PAGEREF _Tc18949 \h 5
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必备知识点
考点一 三角形面积的最大值
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，点D的坐标为（4，n）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
，
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
把点D的坐标为（4，n）代入y＝﹣x2+x+3得n＝3，
设直线l函数关系式为：y＝mx+n，
把点（﹣2，0）和（4，3）代入，
，
解得：，
∴直线l的函数关系式为：y＝x+1
（2）设P（m，﹣m2+m+3），过P点作PM∥y轴交直线l于N交x轴于M，
则点N的坐标为（m，m+1），
∴S△PAD＝S△APN+S△DPN＝×（﹣m2+m+3﹣m﹣1）（4+2）＝﹣m2+m+6＝﹣（m﹣1）2+；
∴当m＝1时，△PAD面积最大，
此时，点P的坐标为（1，），该面积的最大值为；
2．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4或x2＝﹣2，
∴B（4，0）．
由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．
设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），
由题知0＜n＜4，
∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）
＝﹣n2+4n．
∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB•PF
＝×4×（﹣n2+4n）
＝﹣2n2+8n
＝﹣2（n﹣2）2+8．
∵0＜2＜4，
∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，
此时，点P的坐标为（2，﹣8）；
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，
∴B（8，0），
∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，
∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，
∴﹣16＝﹣，＝6，
∴a＝，b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣4；
（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
过点B作BG⊥AD交点G，
∵QR⊥BC，
∴QR＝BG，
在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，
∴BG＝2，
设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），
∵QR＝2，
∴20＝（m﹣n）2+，
∴n﹣m＝2，
∴R（m+2，m﹣3），
S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，
∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，
∴P（4，﹣6）；
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∵D点是BC中点，
∴D（，﹣），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
过点P作PG∥y轴，交BC于点G，
设P（a，a2﹣2a﹣3），则G（a，a﹣3），
∴PG＝﹣a2+3a，
∴S△BDP＝×PN×（3﹣）＝﹣（a﹣）2+，
∵0＜a＜3，
∴当a＝时，△BDP面积的最大值为，
此时P（，﹣）；
考点二 四边形面积的最大值
5．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x＝交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点E是线段BC上的一个动点．过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点H，连接CF、BF、OE．当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．
【解答】解：（1）∵对称轴直线x＝，
∴m＝；
（2）∵BD＝，
∴S△BCD＝BD×OC＝××2＝，
∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△BCF，
∴当S△BCF最大时，S四边形CDBF就最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设F（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），
∴EF＝﹣m2+m+2+m﹣2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，EF最大，此时S△BCF最大，
∴F（2，3），E（2，1），
∴EF＝2，
∵OC＝2，
∴CO∥EF，CO＝EF，
∴四边形COFE是平行四边形；
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；
【解答】解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，
∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，
设BC的直线解析式y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PQ取最大值，
∴P（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝4，
∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cs∠ABD＝．
（1）求点D的坐标；
（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PE∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；
【解答】解：（1）当y＝0时，＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
如图，设BD与y轴交于点G，则cs∠ABD＝＝，
∴＝，
∴BG＝2，
∴OG＝3，
∴G（0，﹣2），
将B，G的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣2，
令x﹣2＝，
解得x＝﹣2或x＝4（舍），
∴D（﹣2，﹣3）．
（2）如图，连接PB，
∵PE∥BE，
∴S△PBE＝S△PEF，
∴S四边形PFED＝S△PED+S△PFE＝S△PED+S△PBE＝S△PBD，
过点P作PH∥y轴交BD于点H，
∴S△PBD＝•PH•（xB﹣xP）+•PH•（xP﹣xD）＝•PH•（xB﹣xD），
设P（x，﹣x2+x+2），则H（x，x﹣2），
∴PH＝﹣x2+x+2﹣（x﹣2）＝﹣x2+x+4，
∴S四边形PFED＝S△PBD＝•PH•（xB﹣xD）＝•（﹣x2+x+4）×（4+2）＝x2+3x+12，
∵＜0，
∴当x＝＝1时，S四边形PFED有最大值，
此时P（1，3）．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；
【解答】解：（1）对，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，2），
将点B和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得
，化简得：，
∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，即有b＝﹣3a，
∴﹣4a﹣＝﹣3a，
∴a＝﹣，b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点M的坐标（，）．
（2）如图2，过点F作FQ⊥PF于点Q，过点P作PN⊥DE于点N，
∵PF⊥x轴，ED⊥x轴，
∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，
∴△DQF∽△BOC，
∵B（4，0），C（0，2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴BC＝2，
∵DF＝，
∴，即，
∴DQ＝PN＝2，FQ＝1，
设点D的坐标为（x，﹣x+2），则点E（x，﹣x2+x+2），F（x+2，﹣x+1），P（x+2，﹣x2﹣x+3），
∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，
∴S四边形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x2+2﹣x2+2x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，四边形PFDE面积的最大值为3，
此时，点E的坐标为（1，3），点P坐标为（3，2）．
考点三 图形面积和、差、比的最大值
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥BC交线段AC上方的抛物线于点E，过点E作EM∥y轴交直线AC于点M，过点D作DN⊥EM于点N，求阴影部分面积S的最大值和此时点E的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣，0）、B（1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+．
（2）如图，延长ED交y轴于点P，
∵DE∥BC，
∴∠PCB＝∠CPE，
∵EM∥y轴，
∴∠MEP＝∠CPE，
∴∠PCB＝∠MEP，
∵DN⊥EM，
∴△END∽△COB，
∴EN：ND＝CO：OB，
把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝，
∴C（0，），
∴OA＝OC＝，
∴EN：ND＝：1，即EN＝ND，∠ACO＝45°，
∵EM∥y轴，
∴∠DMN＝∠ACO＝45°，
∴NM＝DN，
∴EM＝EN+NM＝ND+ND＝ND，
把A（﹣，0），C（0，）代入AC：y＝kx+b得，
直线AC的解析式为：y＝x+．
设E（x，﹣x2﹣x+），M（x，x+），
∴EM＝﹣x2﹣x+﹣（x+）＝﹣x2﹣x＝ND，
∴ND＝﹣x2﹣x，
∴S阴影＝×ND×OC＝ND＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
此时E（﹣，）．
综上可知，S的最大值为；此时E（﹣，）．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，
令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣3，0）；
（2）如图1，延长DE交x轴于点K，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AC的函数表达式为，
设，其中﹣3＜t＜0，
∴，K（t，0），
∴DE＝﹣t2﹣2t，
∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，
＝（t+2）＝t+3，
∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，
∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，
此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴，
∴＝＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣﹣2＝﹣，
∴AK＝，
设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），
∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．
∴＝＝＝．
∴当m＝2时，有最大值，最大值是；
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．
①若sin∠PAB＝，试求四边形OBPC的面积S；
②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，C（0，2）；
（2）①如图1，过P作PG⊥AB于G，设P（），
∴，AG＝m+1，
∵，
∴，
设PG＝，则PA＝5n，
∴，
∴AG＝2PG，
∴m+1＝﹣m2+3m+4，
∴m＝3或﹣1，
∵P在第一象限，
∴m＝3，
∴PG＝2，
∴P（3，2），
又C（0，2），
∴PC∥AB，
∴四边形OBPC的面积为S＝（PC+OB）•PG＝7；
②如图2，过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，
则AN∥PM，
∴△PMD∽△AND，
∴，
设直线BC为y＝kx+2，
代入点C（4，0）得，4k+2＝0，
∴，
∴直线BC为y＝，
设P（），则M（m，），
∴，
当x＝﹣1时，，
∴，
∴，
∴＝＝＝，
∵P是第一象限的点，
∴0＜m＜4，
∴m＝2时，的最大值为．