2024年四川省内江市市中区四川省内江市第二中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2.所有试卷的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．
3.考试结束后，监考人员将答题卡、试卷一并收回．
A卷（100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2018的相反数是( )
A. 8102B. ﹣2018C. D. 2018
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可.
详解：2018的相反数是-2018.
故选B.
点睛：本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键.
2. 用科学记数法表示0.0000061，结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：科学记数法表示为，1≤|a|<10，n为整数，0.0000061小数点往右移动六位，所以n为-6.
故选B.
考点：科学记数法的表示.
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B．应为，故本选项错误；
C．应为，故本选项错误；
D．，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法．掌握各运算法则是解题关键．
4. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．
【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为.
故选A.
【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键.
5. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. ，且
C. ，且D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可
【详解】解：根据题意得：，
解得，，
故选：D
6. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A 3.75、4B. 3.75、2C. 3.8、4D. 3.8、4.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和平均数的概念求解.
【详解】这组数据中出现的次数最多，众数为，
平均数为：.
故选：.
【点睛】本题考查了平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.
7. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍求出∠AOD=60°，然后根据等弧所对的圆心角相等即可求出∠BOD的度数．
【详解】如图，连接AO，
∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠BOD=∠AOD =60°，
故选：D．
【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解．
【详解】∵y=x2-6x+5，
∴y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4．
故选:C．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤；
9. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得．
故选：C．
10. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A. B.
C. 且D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象求解不等式，由图象可得，二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解．
【详解】解：由图象可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点为，
由对称性可得，与x轴的另一个交点为，
则不等式的解集为，
故选：A．
11. 如图在平面直角坐标系中，直线过点的半径为于点P，切于点，那么切线长的最小值为（ ）
A B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【详解】解：连接．
∵是的切线，
∴；
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
12. 如图，在矩形ABCD中，，点为对角线的中点，，交于点，点是对角线上的动点，的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】相题主要考查矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，延长交于点，证明得，证明，求出，由勾股定理求出的长即可
【详解】解：延长交于点，如图，
在中，，，
∴
∵点为对角线的中点，
∴
∵，
∴，
又
∴
∴，
∴即点F在上，
连接，交于点，连接，
∴当点三点共线时，的值最小，为的长，
∵
∴，
∴
∴,
∴
在中，，
∴的最小值为，
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
14. 已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足，则k的值是________．
【答案】2
【解析】
【详解】解：∵关于x的方程的两根分别是，，
∴，，
，
解得：k=2，
故答案为：2
15. 若圆锥的地面半径为，侧面积为，则圆锥的母线是__________．
【答案】13
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：
设母线长为R，则：
解得:
故答案为13.
16. 如图，直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为；再过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为，以此类推．那么的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，得出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，再根据弧长公式计算即可求解．
【详解】解：直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，可知点的坐标为，
∴
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，，
∴点的坐标为，
同理：的坐标为，点的坐标为，
以此类推便可求出点的坐标为，
即
又，
∴，
则的长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
18. 如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．

（1）求证：；
（2）连接，求证：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质：
（1）由是等边三角形可得，运用可证明；
（2）由可得，再证明即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
证明：∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴是等边三角形．
19. 九（1）班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）.余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68.
频数分布表
请解答下列问题：
（1）完成频数分布表，__________，__________.
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
（4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
【答案】（1）4，4；（2）答案见解析（3）估计该校成绩范围内的学生有50人（4）
【解析】
【详解】试题分析：（1）将余下的8位同学按分组可得a、b的值；
（2）根据（1）中所得结果补全即可得；
（3）将样本中成绩范围内的学生所占比例乘以总人数600可得答案；
（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
试题解析：（1）由题意知，的有60、63、67、68这4个数，的有90、99、99、99这4个，即，
故答案为4，4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）（人）．
答：估计该校成绩范围内的学生有50人．
（4）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况，
∴甲、乙被选中的概率为=．
20. 如图，为测量学校旗杆AB高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）
【答案】（1）点D的铅垂高度是米（2）旗杆AB的高度约为7.7米
【解析】
【详解】试题解析：(1)延长ED交射线BC于点H，在中，求得∠DCH=30°，根据30°角直角三角形的性质即可求得DH的长，即求得点D的铅垂高度；（2）过点E作����⊥����于F，根据题意可得，易证四边形FBHE为矩形．从而求得EF、FB的长；在中，根据锐角三角函数求得AF的长，即可求得AB的长.
试题分析：
延长ED交射线BC于点H．
由题意得．
在中，：．
．
．
，
．
答：点D的铅垂高度是米
过点E作于F．
由题意得，即为点E观察点A时的仰角，
．
，
．
四边形FBHE为矩形．
．
．
在中，．
．
答：旗杆AB的高度约为米．
21. 如图，函数与直线交于点和点．
（1）求直线对应的函数关系式；
（2）直线，交轴于点，求点的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合性，求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质：
（1）把代入，求出，得到，再把代入求出，得，把，代入，求出，，从而可得一次函数解析式；
（2）求出直线与x轴的交点坐标，得再证明可求出，从而求出，可得点C的坐标
【小问1详解】
解：把代入，得：，
∴，
∴；
把代入，得，，
∴，
把，代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式与轴的交点为，如图，
对于，当时，，
解得，，
∴，
∴，
过点作于点E，则有：
∵
∴
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为
B卷（60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
22. 已知，则代数式的值为________.
【答案】
【解析】
【详解】解：根据，得出a+2b=6ab，再把ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出=．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键．
23. 在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=______．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案为．
考点：1．含30度角直角三角形；2．勾股定理．
24. 抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．
【答案】-16
【解析】
【详解】试题解析：当时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为
25. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得

∴



∵
∴是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴是等边三角形，
∴
故答案为
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26. 某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?
【答案】（1）
（2）当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元
（3）100元
【解析】
【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求函数值2400为所对应自变量的值，即解方程求出，然后利用“想卖得快”确定的x值．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：，
当时，w有最大值3 200，
所以当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元；
【小问3详解】
解：由题意，，
解得：，
当时，，
当时，，
因为想卖得快，所以销售单价应定为100元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
27. 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）．
【解析】
【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==，
∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值．
28. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）（3）点M的坐标为（1，）或（1，1）
【解析】
【详解】试题分析：求出用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．根据抛物线的解析式求出设 设 列出方程，求出的值.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）
∴
代入 ，得
解得
∴抛物线对应二次函数的表达式为：
（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．
由 得对称轴为直线x=1，
∴
∴
∴为等腰直角三角形．
∴
∴
∴
∴为等腰三角形．
设
∴
在中，
∴
∴
整理，得
解得，
∴点P的坐标为 或
（3）存在点M，使得∽．
如图，连结
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
由（2）可知，
∴
∴分两种情况．
当 时，
∴，解得．
∴
∴
当时，
∴，解得
∴
∴
综上，点M的坐标为或
点睛：相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例.劳动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
分数段
频数（人数）
16
24