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高中2 简谐运动的描述精品练习
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这是一份高中2 简谐运动的描述精品练习，共11页。
学习目标
02
预习导学
（一）课前阅读：
相位常应用在科学领域，如数学、物理学等。例如：在函数y=Acs(ωx+φ)中，ωx+φ称为相位。
简谐运动中的相位差：如果两个简谐运动的频率相等，其初相位分别是φ1，φ2。当φ2>φ1时，他们的相位差是
△φ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1
此时我们常说2的相位比1超前△φ。
（二）基础梳理
（三）预习作业
1．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm 10 cm B．4 cm 100 cm
C．0 24 cm D．0 100 cm
答案：B
解析：质点的振动周期T＝eq \f(1,f)＝0.4 s，故时间t＝eq \f(2.5,0.4)T＝6eq \f(1,4)T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6eq \f(1,4) cm＝100 cm，B项正确．
2．（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，则( )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为eq \f(2π,3) s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
答案 ABD
解析 质点做简谐运动，位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2))cm，对照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅为3 cm，角速度为eq \f(2π,3)，根据公式ω＝eq \f(2π,T)，周期为3 s，故A、B正确，C错误；t＝0.75 s时刻，x＝3sin (eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2))cm＝0，即质点在平衡位置，故D正确.
03
探究提升
环节一 振幅、周期、频率、相位的理解
思考：1．如何反映振动的强弱？
2．如何描述振动的快慢？
环节二 简谐运动的对称性
问题探究1：（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图象如图所示，则( )
A.弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为0.5 m
B.简谐运动的频率是0.125 Hz
C.弹簧振子在第4 s末的位移为零
D.在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
答案 BCD
解析 弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为5A，即2.5 m，选项A错误；简谐运动的周期T＝8 s，则频率是f＝eq \f(1,T)＝0.125 Hz，选项B正确；弹簧振子第4 s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；因x－t图象的斜率表示速度，可知在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确.
环节三 简谐运动的周期性
问题探究2：（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
s B.1.4 s
C.1.6 s D.2 s
答案 AC
解析 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向点C运动，振子从O→C所需时间为eq \f(T,4).因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq \f(T,4)＝0.3 s＋eq \f(0.2,2) s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq \f(0.3 s－0.2 s,3)＝eq \f(1,30) s，故周期为T＝0.5 s＋eq \f(1,30) s≈0.53 s，故A、C正确.
问题探究3：(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq \f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.
04
体系构建
振动的强弱---振幅
振动的快慢---周期、频率
振动的状态---相位
05
记忆清单
一、振幅、周期、频率
★学习聚焦：振动的快慢与振动的强弱没有关系
①周期、频率描述振动的快慢
②振幅表示振动的范围、强弱
二、相位、相位差
★学习聚焦：注意超前和落后的意思。
三、简谐运动的特点
★学习聚焦：周期性、对称性
0601
强化训练
1．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A.7 s B.14 s
C.16 s D.eq \f(10,3) s
答案 C
解析 由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确.
2、一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
[解析] 由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωteq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝\f(2π,T)))，由于高度差不超过10 cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝eq \f(T,12)，t2＝eq \f(5T,12)，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝eq \f(T,3)＝1.0 s，选项C正确。
[答案] C
3．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )
A．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2))) m
B．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2))) m
C．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(2,3)π)) m
D．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,π)t＋\f(π,2))) m
答案：A
解析：由题给条件可得：A＝0.8 cm＝8×10－3 m，ω＝eq \f(2π,T)＝4π，φ＝eq \f(π,2)，所以振动表达式为A项.
4．一个做简谐振动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系是( )
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
答案 B
解析 振子从平衡位置到最大位移处，速度减小，振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度大于从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度，由t＝eq \f(x,v)可知，t1＜t2，选项B正确．
5．（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin eq \f(π,4)t，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
答案 AD
6、（多选）如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A.h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
[思路点拨]
(1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。
(2)确定0.6 s时物块所在的位置。
(3)确定0.6 s时小球下落的高度与h的关系。
[解析] 由物块做简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内运动的路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C、D错误。
[答案] AB
7．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
解析：(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，
由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程
s＝eq \f(4,T)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin (2πt) cm。振动图像为
答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin (2πt) cm
图像见解析图
8、一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、速度、动能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
答案 (1)－eq \r(2) cm (2)变大 变小 变小 (3)34 cm 2 cm
解析 (1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－eq \f(π,2))＝－Acs ωt＝－2cs eq \f(2π,2×10－2)t cm＝－2cs 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cs eq \f(π,4) cm＝－eq \r(2) cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，速度变小，动能变小．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历eq \f(17,4)个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
课程标准
学习目标
通过实验，认识简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动。
1．理解振幅、周期和频率、相位。
2．熟悉简谐运动的对称性、周期性。
一、振幅、周期和频率、相位
1、振幅A：振动物体离开平衡位置的 。
振幅不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的 。
振幅是 （填“矢量”或者“标量”），表示振动的 。
2、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次 的时间。
振动的频率f：单位时间内完成 的次数。
3、简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，则
x=Asin（ωt＋ SKIPIF 1 < 0 ）
a:公式中的A代表 .
b:ω叫做圆频率，它与频率f之间的关系为： .
c:公式中的ωt＋ SKIPIF 1 < 0 表示 .
d:t=0时的相位 SKIPIF 1 < 0 叫做 ，简称初相.
答案：1、振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的绝对值。
振幅是标量，表示振动的强弱。
2、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动的时间。振动的频率f：单位时间内完成全振动的次数。
3、简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，则
x=Asin（ωt＋ SKIPIF 1 < 0 ）
a:公式中的A代表振动的振幅.
b:ω叫做圆频率，它与频率f之间的关系为：ω＝2πf.
c:公式中的ωt＋ SKIPIF 1 < 0 表示简谐运动的相位.
d:t=0时的相位 SKIPIF 1 < 0 叫做初相位，简称初相.
【概念衔接】匀速圆周运动、交变电流也有周期、频率，交变电流也有相位
【即学即练】1、(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。( )
(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。( )
(3)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。( )
答案：1、(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)
(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)
(3)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)
2、如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为负
C．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
[解析] 振幅是位移的最大值的大小，故振幅为8 cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4 s，故A错误；第2 s末振子的速度为零，故B错误；从第1 s末到第2 s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，振子做减速运动，C错误；第3 s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大，且方向为正，故D正确。
[答案] D
【微点拨】运动方向看斜率的正负
二、简谐运动的对称性和周期性
1、简谐运动的运动特征：靠近平衡位置时，x减小，v ；远离平衡位置时，x都增大，v
2、简谐运动的周期性特征：质点的位移和速度均随时间做 变化，变化周期就是简谐运动的周期T
3、简谐运动的对称性特征：关于平衡位置O对称的两点，速度的大小 ，相对平衡位置的位移大小
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于 对称，位移等大反向(或 )，速度等大反向(或 ).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在 位置，位移、速度和加速度都相同.
4.从x-t图象可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的 .
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的 大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
答案：1、简谐运动的运动特征：靠近平衡位置时，x减小，v增大；远离平衡位置时，x都增大，v减小
2、简谐运动的周期性特征：质点的位移和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T
3、简谐运动的对称性特征：关于平衡位置O对称的两点，速度的大小相等，相对平衡位置的位移大小相等
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同.
4.从x-t图象可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
【拓展补充】多画图
【即学即练】弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
解析：(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，由对称性可得：
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程
s＝eq \f(4,T)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin (2πt) cm。振动图像为
答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin (2πt) cm
【微点拨】可以先画图像，在想表达式
运动特点
靠近平衡位置时，x减小，v增大；远离平衡位置时，x增大，v减小
周期性
做简谐运动的物体的位移和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
学习目标
02
预习导学
（一）课前阅读：
相位常应用在科学领域，如数学、物理学等。例如：在函数y=Acs(ωx+φ)中，ωx+φ称为相位。
简谐运动中的相位差：如果两个简谐运动的频率相等，其初相位分别是φ1，φ2。当φ2>φ1时，他们的相位差是
△φ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1
此时我们常说2的相位比1超前△φ。
（二）基础梳理
（三）预习作业
1．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为( )
A．4 cm 10 cm B．4 cm 100 cm
C．0 24 cm D．0 100 cm
答案：B
解析：质点的振动周期T＝eq \f(1,f)＝0.4 s，故时间t＝eq \f(2.5,0.4)T＝6eq \f(1,4)T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6eq \f(1,4) cm＝100 cm，B项正确．
2．（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，则( )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为eq \f(2π,3) s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
答案 ABD
解析 质点做简谐运动，位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2))cm，对照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅为3 cm，角速度为eq \f(2π,3)，根据公式ω＝eq \f(2π,T)，周期为3 s，故A、B正确，C错误；t＝0.75 s时刻，x＝3sin (eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2))cm＝0，即质点在平衡位置，故D正确.
03
探究提升
环节一 振幅、周期、频率、相位的理解
思考：1．如何反映振动的强弱？
2．如何描述振动的快慢？
环节二 简谐运动的对称性
问题探究1：（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图象如图所示，则( )
A.弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为0.5 m
B.简谐运动的频率是0.125 Hz
C.弹簧振子在第4 s末的位移为零
D.在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
答案 BCD
解析 弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为5A，即2.5 m，选项A错误；简谐运动的周期T＝8 s，则频率是f＝eq \f(1,T)＝0.125 Hz，选项B正确；弹簧振子第4 s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；因x－t图象的斜率表示速度，可知在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确.
环节三 简谐运动的周期性
问题探究2：（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
s B.1.4 s
C.1.6 s D.2 s
答案 AC
解析 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向点C运动，振子从O→C所需时间为eq \f(T,4).因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq \f(T,4)＝0.3 s＋eq \f(0.2,2) s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq \f(0.3 s－0.2 s,3)＝eq \f(1,30) s，故周期为T＝0.5 s＋eq \f(1,30) s≈0.53 s，故A、C正确.
问题探究3：(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq \f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.
04
体系构建
振动的强弱---振幅
振动的快慢---周期、频率
振动的状态---相位
05
记忆清单
一、振幅、周期、频率
★学习聚焦：振动的快慢与振动的强弱没有关系
①周期、频率描述振动的快慢
②振幅表示振动的范围、强弱
二、相位、相位差
★学习聚焦：注意超前和落后的意思。
三、简谐运动的特点
★学习聚焦：周期性、对称性
0601
强化训练
1．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A.7 s B.14 s
C.16 s D.eq \f(10,3) s
答案 C
解析 由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确.
2、一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
[解析] 由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωteq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝\f(2π,T)))，由于高度差不超过10 cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝eq \f(T,12)，t2＝eq \f(5T,12)，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝eq \f(T,3)＝1.0 s，选项C正确。
[答案] C
3．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )
A．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2))) m
B．x＝8×10－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2))) m
C．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(2,3)π)) m
D．x＝8×10－1sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,π)t＋\f(π,2))) m
答案：A
解析：由题给条件可得：A＝0.8 cm＝8×10－3 m，ω＝eq \f(2π,T)＝4π，φ＝eq \f(π,2)，所以振动表达式为A项.
4．一个做简谐振动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系是( )
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
答案 B
解析 振子从平衡位置到最大位移处，速度减小，振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度大于从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度，由t＝eq \f(x,v)可知，t1＜t2，选项B正确．
5．（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin eq \f(π,4)t，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
答案 AD
6、（多选）如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A.h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
[思路点拨]
(1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。
(2)确定0.6 s时物块所在的位置。
(3)确定0.6 s时小球下落的高度与h的关系。
[解析] 由物块做简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内运动的路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C、D错误。
[答案] AB
7．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
解析：(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，
由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程
s＝eq \f(4,T)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin (2πt) cm。振动图像为
答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin (2πt) cm
图像见解析图
8、一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．
(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、速度、动能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
答案 (1)－eq \r(2) cm (2)变大 变小 变小 (3)34 cm 2 cm
解析 (1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－eq \f(π,2))＝－Acs ωt＝－2cs eq \f(2π,2×10－2)t cm＝－2cs 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cs eq \f(π,4) cm＝－eq \r(2) cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，速度变小，动能变小．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历eq \f(17,4)个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
课程标准
学习目标
通过实验，认识简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动。
1．理解振幅、周期和频率、相位。
2．熟悉简谐运动的对称性、周期性。
一、振幅、周期和频率、相位
1、振幅A：振动物体离开平衡位置的 。
振幅不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的 。
振幅是 （填“矢量”或者“标量”），表示振动的 。
2、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次 的时间。
振动的频率f：单位时间内完成 的次数。
3、简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，则
x=Asin（ωt＋ SKIPIF 1 < 0 ）
a:公式中的A代表 .
b:ω叫做圆频率，它与频率f之间的关系为： .
c:公式中的ωt＋ SKIPIF 1 < 0 表示 .
d:t=0时的相位 SKIPIF 1 < 0 叫做 ，简称初相.
答案：1、振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的绝对值。
振幅是标量，表示振动的强弱。
2、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动的时间。振动的频率f：单位时间内完成全振动的次数。
3、简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，若以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，则
x=Asin（ωt＋ SKIPIF 1 < 0 ）
a:公式中的A代表振动的振幅.
b:ω叫做圆频率，它与频率f之间的关系为：ω＝2πf.
c:公式中的ωt＋ SKIPIF 1 < 0 表示简谐运动的相位.
d:t=0时的相位 SKIPIF 1 < 0 叫做初相位，简称初相.
【概念衔接】匀速圆周运动、交变电流也有周期、频率，交变电流也有相位
【即学即练】1、(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。( )
(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。( )
(3)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。( )
答案：1、(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)
(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)
(3)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)
2、如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为负
C．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
[解析] 振幅是位移的最大值的大小，故振幅为8 cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4 s，故A错误；第2 s末振子的速度为零，故B错误；从第1 s末到第2 s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，振子做减速运动，C错误；第3 s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大，且方向为正，故D正确。
[答案] D
【微点拨】运动方向看斜率的正负
二、简谐运动的对称性和周期性
1、简谐运动的运动特征：靠近平衡位置时，x减小，v ；远离平衡位置时，x都增大，v
2、简谐运动的周期性特征：质点的位移和速度均随时间做 变化，变化周期就是简谐运动的周期T
3、简谐运动的对称性特征：关于平衡位置O对称的两点，速度的大小 ，相对平衡位置的位移大小
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于 对称，位移等大反向(或 )，速度等大反向(或 ).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在 位置，位移、速度和加速度都相同.
4.从x-t图象可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的 .
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的 大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
答案：1、简谐运动的运动特征：靠近平衡位置时，x减小，v增大；远离平衡位置时，x都增大，v减小
2、简谐运动的周期性特征：质点的位移和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T
3、简谐运动的对称性特征：关于平衡位置O对称的两点，速度的大小相等，相对平衡位置的位移大小相等
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同.
4.从x-t图象可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
【拓展补充】多画图
【即学即练】弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
解析：(1)弹簧振子简谐运动示意图如图所示，由对称性可得：
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅A＝eq \f(1,2)×25 cm＝12.5 cm，振子4.0 s内通过的路程
s＝eq \f(4,T)×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝2π
得x＝12.5sin (2πt) cm。振动图像为
答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin (2πt) cm
【微点拨】可以先画图像，在想表达式
运动特点
靠近平衡位置时，x减小，v增大；远离平衡位置时，x增大，v减小
周期性
做简谐运动的物体的位移和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
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