安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若向量，，，则（ ）
A．B．C．2D．
3．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2B．4C．D．
4．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
5．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（ ）
A．B．C．D．2
7．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（ ）
A．224B．448C．147D．
8．在矩形中，，，沿对角线将折起，使点到达点（平面）的位置，连接，形成四面体.则在折起的过程中，四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．则下列说法中正确的有（ ）
A．梯形可以确定一个平面
B．设为复数，则有成立
C．存在一个四面体，四个面均是直角三角形
D．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则为等腰三角形
10．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，，（为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则（ ）
A．B．
C．的坐标为D．在方向上的投影向量为
11．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线共面B．
C．二面角的平面角余弦值为D．过点，，的平面，截正方体的截面面积为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为，则该圆台的母线长为__________.
13．已知水平放置的一个平面四边形，用斜二测画法画出的直观图，是边长为1的正方形，如图所示，则原四边形的周长为__________.
14．如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，__________.设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数和；
（2）复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值.
16．（本小题满分15分）
已知在中，三边，，所对的角分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，外接圆的直径为4，求的面积.
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，.
（1）求证：是的中点；
（2）求证：平面；
18．（本小题满分17分）
已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值.
19．（本小题满分17分）
如图，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，，点是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面.
（1）当平面时，求的值；
（2）证明：不可能垂直；
（3）设与平面所成的角为，二面角的平面角为（其中），求的最大值.
六安一中2024年春学期高一年级期中考试
数学试卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.213.814.6，（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：（1）设复数，，是实数，
所以， 1
则，所以， 3
因为为纯虚数，所以且，解得，
所以.
6
（2）由（1）知， 8
在复平面上对应的点为， 10
又已知在复平面上对应的点在直线上，则有：
，
解得： 13
16.解：（1）因为，
由正弦定理得， 2
因为，，所以，
因为，所以， 5
又，则，
因为，所以. 7
（2）由正弦定理，，则， 9
由余弦定理，，
解得或（舍去）， 12
故的面积. 15
17.证明：（1）连接，与交于点，为的中点，连接， 2
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以， 4
又在中，为的中点，所以是的中点. 6
（2）因为底面，平面，所以
又为棱的中点，，所以 8
因为，，平面，所以平面，平面，
所以. 10
因为，所以，又，
在和中，，所以， 12
即，所以，
又，，平面，所以平面. 15
18.证明：（1）取的中点，连接、.为的中点，
且. 1
平面，平面，
，. 2
又，.
四边形为平行四边形，则.
平面，平面，平面. 5
（2）为等边三角形，为的中点，.
平面，平面，. 7
，所以，，
又，，平面，平面. 9
平面，平面平面. 10
（3）在平面内，过作于，连接. 11
平面平面，平面平面，平面，
平面.
为和平面所成的角. 13
因为，，则，，
在中，，
直线和平面所成角的正弦值为. 17
19.解：（1）连接交于点，连接，则平面平面，
依题意，平面，平面，所以， 2
所以，
等腰梯形中，，
所以. 5
（2）假设，又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面.且平面平面，
得平面 8
这与在中，相矛盾
所以不可能垂直. 10
（3）作垂足为，连接，
平面平面，平面平面
此时，平面，是在平面的射影，
所以即为与平面所成的角；， 12
过作垂足为，连结，又，，所以平面，
平面，.所以即为二面角的平面角. 14
，所以，即. 15
所以，等号取得当且仅当，时， 16
所以的最大值为. 17
答案仅供参考，其他解法请酌情给分！题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
C
B
D
D
C
题号
9
10
11
答案
ABC
CD
ABC