2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥初级中学校中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义．根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
2. 下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．此图案不是轴对称图形，是中心对称图形；
C．此图案是轴对称图形，也是中心对称图形；
D．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：C
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图像所过象限性质列不等式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图像性质：过一三象限，过二四象限．
5. 如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，
第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6. 方程的解为（ ）
A. x=﹣1B. x=0C. x=D. x=1
【答案】D
【解析】
【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选D．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. 5米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
9. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴，
设，则，
∵，
∴
解得：，经检验，满足所列方程，
∴
故选：C．
10. 如图二次函数的图象，与轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③当时，随的增大而增大．正确的说法有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口方向及与轴的交点位置可判断①；根据二次函数与轴的交点坐标可判断②；由图象的对称轴，结合图象的开口方向，则可判断③；则可求得答案．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与一元二次方程的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
【详解】解：抛物线开口向上、与轴的交点在轴的下方，
，，
，故①正确；
∵二次函数的图象，与轴交于、点，
∴方程的根是，
∴②是正确的；
抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，故③正确；
综上可知说法正确的有①②③，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 哈尔滨大冬会的火炬接力全程为2009000米，将这一路程用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值是易错点，由于2009000有7位，所以可以确定．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
【详解】解：由题意得x−2≠0，即x≠2，
故答案为x≠2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．
13. 把多项式分解因式的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14. 不等式组的解集是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
详解】解：解不等式得：；
解不等式得：．
∴不等式组的解集：为，
故答案为：．
15. 抛物线的顶点坐标是__________．
【答案】（1，0）
【解析】
【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是
故答案为:
点睛：根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
16. 先后两次各掷一枚硬币，其结果一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查概率的计算．
先根据题意列出所有可能出现的结果，找出“一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上”的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可．
概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】∵先后两次各掷一枚硬币，共有四种情况：“正正，正反，反正，反反”， 结果是“一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上”有“正反，反正”，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
故答案为：
17. 如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N．若，，则的长为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查全等三角形性质及判定，掌握全等三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，是的中点，
∴是的中位线，
，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵
，
故答案：4．
18. 观察图中图形的构成规律，根据此规律，第个图形中有______ 个圆圈．
【答案】37
【解析】
【分析】将第个图形中圆圈划分成两部分，左边部分为的正方形，又边部分只有个，据此规律可得．
【详解】解：第个图形中，圆圈的个数为：个；
第个图形中，圆圈的个数为：个；
第个图形中，圆圈的个数为：个；
第个图形中，圆圈的个数为：个；

第个图形中，圆圈的个数为：个；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
19. 在锐角中，，垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，首先根据题意作图，然后由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，即可得，，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得．
【详解】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，
∴，，
∴．
∵，
∴，

故答案为：．
20. 已知四边形，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F，设，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】作，，则．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
延长交的延长线与点F，则四边形是正方形，
∴．
设，则，
在中，，
解得（负值舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cs30°+3tan45°．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【详解】当a=4cs30°+3tan45°时，
所以a=2+3
（1﹣）÷=
=
=.
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22. 图1、图2分别是网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请分别在每个图形中各画一条线段，满足以下要求：（1）线段的一个端点为图形顶点，另一个端点在图形一边的格点上（每个小正方形的的顶点均为格点）（2）将图形按要求分成两个图形（图1、图2中的分法各不相同）
（分成一个中心对称图形和一个轴对称图形） （分成两个轴对称图形）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了利用中心对称与轴对称．熟练掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解答此题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据中心对称图形定义和轴对称图形的定义可知，平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称性图形，可得答案．
【详解】如图1中分成的平行四边形是中心对称图形，三角形是轴对称图形；
如图2中分成的两个三角形都是轴对称图形．
23. 为提高同学们体育运动水平，增强体质，九年毕业年级规定：每周三下午人人参与1小时体育运动．项目有篮球、排球、羽毛球和乒乓球．下面是九年（2）班某次参加活动的两个不完整统计图（图1和图2）．根据图中提供的信息，请解答以下问题：
（1）九年（2）班共有多少名学生？
（2）计算参加乒乓球运动的人数并补全乒乓球的条形图；
（3）求出扇形统计图中“羽毛球”扇形圆心角的度数．
【答案】（1）50 人
（2）参加乒乓球运动有10人；条形图见详解，
（3）
【解析】
【分析】（1）由图可知：九年（2）班共有学生人数=参加篮球的人数÷参加篮球所占的百分比，即可求得总人数；
（2）参加乒乓球运动的人数=总人数×参加乒乓球运动所占的百分比，即可算得；
（3）扇形统计图中“羽毛球”扇形圆心角的度数=360°×参加羽毛球的所占的百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【小问1详解】
（人）
答：九年（2）班共有50名学生；
【小问2详解】
参加乒乓球运动有人，如图，
【小问3详解】
参加羽毛球运动的人数为：（人），
所占百分比为：，
∴“羽毛球”扇形圆心角的度数为．
24. 如图，已知点，在上，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段（除外）．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识;
（1）证（），得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得，，，再证，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：
，
，
，
，
在和中，
（），
，
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
即，
图中所有相等的线段（除外）为：，，，．
25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
【答案】（1）每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；（2）最多可以购买35个A型放大镜．
【解析】
【详解】分析：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
详解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：
，
解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75-a）≤1180，
解得：x≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
26. 已知：为的直径，为的切线，连接交于点C．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点E为中点，点F为上一点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M、G为上两点，连接，且，连，若，若，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理和切线的性质得到，，再利用同角的余角相等即可证明；
（2）连接，证明是的中位线，推出，，得到，，再根据正弦函数的定义即可求解；
（3）连接，由圆周角定理求得，推出，利用证明，得到，，设，则，证明，作于点，在上截取，推出，，设，则，在和中，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴点O为中点，
∵点E为中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：连接，
由（2）知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，在上截取，连接，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
和中，，
即，
解得，
即，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与轴交于点B，与x轴交于点A，的面积为98．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点H为直线上一点，其横坐标为t，过点H作的垂线交x轴于点P，设线段的长度为d，求与t的函数关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点O作于点E，点F为上一点，连接、，M为上一点，连接交于点K，若平分，过点A、P分别作、的平行线交于点N，连接并延长交于点Q，若，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，根据列出方程求得，即可求解；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由此可得，根据，，结合勾股定理即可求解；
（3）据题意可知为等腰直角三角形，作，，过点作交延长线于，先证，四边形是平行四边形，设，再证，得，可知四边形是菱形，再证，，可证，得，连接交于，则，且，，可证四边形是平行四边形，得，设，则，，则，在中，，列出方程求得，可得，易知直线的解析式为，联立直线，即可求得点的坐标为．
【小问1详解】
解：当时，，即，
当时，，即，
∴，，
∵，
∴（负值舍去），
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
由（1）可知，，，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
∵点H为直线上一点，其横坐标为t，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
作，，过点作交延长线于，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
设，则，，，
∵，则，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，则，
∴，
则，
∵，，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
连接交于，则，且，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
∴，
则，
在中，，即：，解得，
∴，
∴，
可得直线的解析式为：，
联立直线可得：，解得：，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质，图形与坐标，求一次函数解析式，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．