2024年湖南省株洲市中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1. 某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：如果节约的水记为，那么浪费的水记为，
故选：A．
2. 2024年清明假期，“民俗文化”和“赏花踏春”引领的祭先烈祭英烈清明出行．根据文化和旅游部门统计，清明小长假全国出行人数达到1.19亿人，将1.19亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：1.19亿．
故选：B
3. 如图，左边的几何体是由五个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解∶该几何体的主视图是∶
，
故选∶B．
4. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，幂运算法则，依次计算，即可判断，
本题考查了，合并同类项，幂运算法则，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：A 、，故A错误，不符合题意，
B、，故B错误，不符合题意，
C、，故C错误，不符合题意，
D、，故D正确，符合题意，
故选：D．
5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组7名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4，5（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5B. 5和4C. 4和5D. 5和6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数5，
故选：A．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得：；
由②得：；
∴不等式组的解集为：
故选：C
7. 如图，内接于，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，先利用直径所对的圆周角是直角得出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵和所对的弧都是，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．
【详解】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
,
故选：C．
9. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中位线，得到，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，， ，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解，
本题考查了，三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握先关判定定理．
【详解】解：连接、、、，
∵点E，F，G，H分别是、、、的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，平行四边形矩形，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，， ，
∴，
∴平行四边形不可能是矩形或正方形，
故选：．
10. 已知抛物线（a，b，c是常数，且，）的图象经过点，其中，现有四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程必有一个小于2的正实数解．其中正确的结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，得根据，，，即可得到，判断①，由，，得到抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，判断④②，由抛物线的对称轴不能确定，当时，无法确定y随x的增大而增大，判断③，
本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的图象经过点，，
∴，
∵，，
∴，故①正确，
∵，，
∴抛物线与y轴交点在正半轴，点P在x轴下方，
∴抛物线与轴有两个交点，一个交点在和之间，故④正确，
∴，故②正确，
∵抛物线的对称轴不能确定，
∴当时，无法确定y随x的增大而增大，③故错误，
综上所述，①②④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点为原点，若，则点B表示的数是______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的意义．根据数轴上两点间的距离，即可求解.
【详解】解：∵点A表示的数是，，
∴点A点B表示的数互为相反数，
∴点B表示数为：，
故答案为：2024．
12. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
13. 如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点）
【答案】20
【解析】
【分析】由折射光线反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解，
本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
14. “彩缕碧筠粽，香梗白玉团”，端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽3个、红枣粽5个，小明任意选取一个，选到豆沙粽的概率是__________．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：小明任意选取一个，选到豆沙粽的概率是：．
故答案为：
15. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
16. 若直线向上平移3个单位后经过点，则a的值为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得a的值，
本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：7．
17. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年第一架水车创制成功后，华夏各族人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面逆时针旋上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是__________米．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的应用，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：，
∴水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米，
故答案为：．
18. 如图，点A、C是反比例函数的图象不同的两点，其中点A的横坐标为，点C的纵坐标为，点B为直线与该反比例函数图象的另一交点，连接和，若的面积为11，则m的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的中线，解题的关键是得出，建立出m的等式求解．
【详解】解：关于原点对称，
，
，
作轴交于，作轴交于，交轴于，
由题意知：，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19，20，21题每小题6分，第22，23题每小题8分，第24，25题每小题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据绝对值的化简，特殊角的三角函数值，算术平方根，负整数指数幂的运算计算即可，
本题考查了绝对值的化简，特殊角的三角函数值，算术平方根，负整数指数幂的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值．先根据平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？
【答案】60米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先根据坡度求出，然后解求出，即可求解．
【详解】解：∵山高米，坡面的坡度，
∴，
解得米，
∵，，
∴，
∴米，
∴米，
即该河的河宽为60米．
22. 如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，，结合，，得到，即可求证，
（2）根据菱形的性质，特殊角三角函数值，得到、、的长，根据即可求解，
本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【小问1详解】
解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，，
∴，同理，，，
，
∴，
故答案为：．
23. 春暖花开，三月是观赏油菜花的季节，流连油菜花海，成为踏青的人们最轻松惬意的时刻．学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查，计划研究A、B、C、D四个油菜花观赏地（作旅游攻略）．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了__________名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中B类的扇形圆心角度数为__________度；
（3）若该校七年级共有600名学生，根据以上抽样结果，估计七年级学生对D地作旅游攻略的约有多少名？
【答案】（1）50，补图见解析
（2）108 （3）约有156名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，根据图得出相关信息是解题的关键．
（1）用C类的学生数除以所占的百分比求出本次调查的学生，用总人数减去A、C、D类的学生数，求出B类的学生数，然后补图即可；
（2）用乘以B类所占的百分比即可；
（3）用600乘以D类所占百分比即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
∴本次共调查了50名学生，
，
∴B类有15名学生，
补图如下：
，
故答案为：50；
【小问2详解】
解：，
故答案为：108；
【小问3详解】
解：，
答：估计七年级学生对D地作旅游攻略的约有156名．
24. 2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元．
（1）求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？
（2）该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计800本，并且甲种图书不超过乙种图书的，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为多少元？
【答案】（1）甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元
（2）该批发商所获最大利润为1000元
【解析】
【分析】（1）根据“若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元”列二元一次方程组，即可求解，
（2）根据“共计800本”设甲种本，乙种本，根据“两种图书提高售出”列式
，根据“甲种图书不超过乙种图书的”列式，即可求解，
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式．
【小问1详解】
解：设甲种图书的进价为元，乙种图书的进价为元，
根据题意得：，解得：，
故答案为：甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元，
【小问2详解】
解：设购进甲种图书的数量为本，则购进乙种图书的数量为本，
根据题意得：，
，解得：，
∴当时，利润最大，
（元），
故答案为：该批发商所获最大利润为1000元．
25. 如图，内接于，点O在的内部，直径交线段于点D，点P是延长线上一点，连接，满足．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，点C为的中点，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆周角定理等等：
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，据此可证明结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，，证明，求出，则．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
26. 定义：对于函数，当自变量，函数值时，则叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数的不动点是______．
（2）如图，若二次函数有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为．
①求该二次函数的表达式；
②连接，M是线段上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点满足，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为和，则点E和点F的距离为．
【答案】（1），；
（2）①；②存在，m的最大值为．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线表达式与二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，
（1）根据不动点的定义求解即可；
（2）①根据抛物线经过点、，利用待定系数法求解即可；②延长交x轴于点A，求出,的解析式，联立求出点N的坐标，设点，利用相似三角形的性质得出，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：把，函数值代入，
，解得，
故答案为：，．
【小问2详解】
①∵二次函数有两个不动点0与3，
∴点、在二次函数的图象上．
将，代入得，解得．
∴二次函数的表达式为．
②延长交x轴于点A，设，
∵，
∴，则，
解得，．设直线的表达式为，
将，代入得，解得．
∴直线的表达式为，同理直线的表达式为．
联立，解得，，则．
设点，由，，可得
，．
．
∵，，
∴．
∴，
则，
整理得．
∴，
整理得．
∵，
∴当时，．
∴在x轴正半轴上存在点，且m的最大值为．