山西省晋城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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►下册第16.1~17.4◄
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第四象限的坐标特征进行判断即可，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，是解此题的关键．
【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，则此点在第四象限，
故选：D．
2. 据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：∵1纳米米，
∴纳米米
米
故选：．
3. 已知n边形的内角和公式是，则其中变量是（ ）
A. B. nC. 和nD. ，n和180°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念及表示方法：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，我们就说是自变量，是因变量，此时也称是的函数．
【详解】解：在多边形的内角和公式是边形的内角和是边数中，常量是和，变量是和，是的函数
故选：C．
4. 解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练找出分式中分母的最简公分母是解题的关键．
先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可．
【详解】解：等式两边同时乘以得，，
∴，
故选：D．
5. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算．通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
故选：C．
6. 下列关于分式的说法中，错误的有（ ）
①分数一定是分式，②分式的分子中一定含有字母；③对于任意有理数x，分式总有意义；④当，时，分式的值为0（A，B是整式）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件．根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即可判断．
【详解】解：①分数不是分式；原说法错误；
②分式的分子中不一定含有字母；原说法错误；
③对于任意有理数x，分式总有意义；原说法正确；
④当，时，分式的值为0（A，B是整式）原说法正确；
综上，①②的说法错误．
故选：B．
7. 若一次函数的图象不经过第一象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，图象与系数的关系是解题关键．
由一次函数的图象不经过第一象限，则经过第二、三、四象限即可求解．
【详解】由一次函数的图象不经过第一象限，
则经过第二、三、四象限，且，
即 ．
故选D．
8. 如图，点A在反比例函数y=（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k=（ ）
A. -16B. -8C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求-ab，最后求k．
【详解】解：∵C是OB的中点，△ABC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴-ab=16，
∵点A在反比例函数y=（x＜0）的图象上，
∴k=-16．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题关键．
9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
根据题意得慢马的速度为，快马的速度为，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
10. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵轴，
∴，
，，
则，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分母不能等于0是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质．把代入，即可求出的值进行作答．
【详解】解：依题意，∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：3．
13. 点到x轴上的距离是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，根据点的纵坐标判断点到x轴的距离是解题的关键．根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值可得答案．
【详解】解：点到x轴上距离是．
故答案为：5．
14. 寒假期间小明帮助爸爸在集市上售卖红枣，根据售卖记录得到数据如下表（x（单位：千克）表示卖出的红枣，y（单位：元）表示小明钱包内的金额）
则y与x之间的函数关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是列函数关系式，设函数关系式为，选择表格中的两组数据代入求解即可．
【详解】解：由表格可知，是关于的一次函数，设函数关系式为，
选择表格中的两组数据代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是．
故答案为：．
15. 正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长，从而求得点的坐标，即可求得点的坐标．
【详解】解：直线，当时，，当时，，
，
，
，，
，
，
，
，
同理得：，，
；
，即，
，
点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算及分式的减法运算：
（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则即可求解；
（2）利用分式的减法运算法则即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
18. 已知与成正比例关系，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）判断点是否在该函数的图象上．
【答案】（1）
（2）是
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）设，把时，代入求出值即可；
（2）把代入解析式，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意，设，
∴，
∴，
∴，整理，得：；
【小问2详解】
当时，，
∴点在该函数的图象上．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括确定函数解析式，求面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据一次函数确定，，结合图象得出，代入求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
，，，
，，，
点，点，
反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：设直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，
当时，；当时，，
如图所示：，，
，，
．
20. 在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下问题，琪琪和佳佳两名同学都列出了对应的方程．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）琪琪同学所列方程中x表示____________；佳佳同学所列方程中y表示____________．
（2）请你在两个方程中任选一个，解答老师的问题．
【答案】（1）第一批购进的数量；第一批礼盒的进价；
（2）购进第一批特色水果礼品盒的数量为50盒
【解析】
【分析】本题考查分式方程解决销售问题，解题的关键是找到等量关系式．
（1）根据可得琪琪同学以单价等式，即可知道代表什么，由可得佳佳同学以数量为等量关系式，即可知道表示什么，即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意：琪琪：，
x表示第一批购进的数量；
佳佳：，
y表示第一批礼盒的进价；
故答案为：第一批购进的数量；第一批礼盒的进价；
【小问2详解】
选择佳佳：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：是原分式方程的解，
∴购进第一批特色水果礼品盒的数量为50盒．
21. 阅读与思考
阅读下列材料，并完成任务．
任务：
（1）已知a，b，c，d均不为0，若，则有①_______；②_________．
（2）请用上述规律，解分式方程：．
【答案】（1）①；②
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）设，则，，代入计算即可求解；
（2）利用规律，求解即可．
【小问1详解】
解：已知a，b，c，d均不为0，若，
设，则，，
∴，，
∴①；②．
故答案为：①；②；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解．
22. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，．
（1）求m，n值及反比例函数的表达式．
（2）连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标．
【答案】（1），，
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题.
（1）将点A，点B坐标代入可求，由，即可求解；
（2）由面积和差关系列出等式，即可求解；
（3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：点，在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
，，
点，点，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
设点，
，，，，
，
，
点；
小问3详解】
的周长，
又是定值，
当的值最小是，的周长最小，
如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与交于点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）点P在线段上（点P不与点A，C重合），过点P作x轴的垂线交直线于点M，交直线于点N．设点P的横坐标为m，线段的长为l．
①求l与m之间的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．
②连接，当时，请直接写出l的值．
【答案】（1）；
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）将点代入直线的解析式，求出a的值，得点E的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）①设点P的横坐标为m，则，，即可得l与m之间的函数表达式，由点P在线段上（点P不与点A，点C重合），可写出自变量m的取值范围；
②过点P作，交于Q，过点Q作轴于H，证明，可得，由Q在直线上，可求得m的值，代入即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入直线的解析式，得，
，
设直线的函数表达式为，
将点，点代入得，
，解得：，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：①如图，

过点P作x轴的垂线交直线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m，线段的长度为l，
，，
，
直线的解析式，
令，则，解得，
，
点P在线段上（点P不与点A，点C重合），点，
当时，，
当时，，
∴；
②如图，过点P作，交于Q，过点Q作轴于H，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
直线的解析式，
令，则，
，
，
，
，
在直线：上，
∴，解得，
∵在内，
∴将代入得，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形．
x/千克
1
2
3
4
5
…
y/元
25
30
35
40
45
…
例：春节将至，新年礼品盒的购买量逐渐增大．某超市用10000元购进了一批特色水果礼品盒，备受人们青睐，购进后很快售完，该超市又用18000元购进了第二批同种特色水果礼品盒，所购进第二批的数量比第一批多50%，且每个特色水果礼品盒的进价比购进第一批时多10元，求购进第一批特色水果礼品盒的数量．
琪琪：．
佳佳：．
材料：近几年来，我国已成为全球最大的电动汽车销售市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．求这款电动汽车平均每公里的充电费．
解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得……
老师在解此方程时给大家介绍了一种新的解法，如下：
，从而可得，
解得．
经检验，是原方程的根……
探究：小明同学对老师的这一解法非常感兴趣，于是自己随意找了几个式子进行探究．
由比例式，得成立，同时由，得也成立，由此发现规律．