2023-2024学年湖南省邵阳市新宁一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市新宁一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．不能使两个直角三角形全等的条件（ ）
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC＝BC
3．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A．14B．16C．20D．28
5．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
6．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A．B．C．D．不能确定
7．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.25mD．3m
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．2
9．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2B．2+C．4D．3
10．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（4+）cmB．5cmC．2cmD．7cm
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 ．
12．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝ ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知AD＝3，AC＝2，∠BAC＝90°，求高AE＝ ．
15．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为 ．
16．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝ 米．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN有最小值时∠ABM＝ °．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD．过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是18cm，AC的长为6cm，求线段AB的长度．
21．如图：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
22．如图，△ABC，△ADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连接CD，CE，且CD⊥BE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若线段DE＝3，求线段BD的长．
23．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（3）若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选）
1．不能使两个直角三角形全等的条件（ ）
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法，对选项逐一验证，选项D只有两个锐角对应相等是不符合直角三角形判定方法的，所以不能判定三角形全等．
解：A、符合AAS，正确；
B、符合HL，正确；
C、符合ASA，正确；
D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．
故选：D．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法的掌握情况．判断全等时必须要有边对应相等的关系．
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC＝BC
【分析】根据平行四边形对边相等，对角相等，对边平行，可得AB∥CD，进而得到∠1＝∠2，因此A、B、C正确．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2，故A正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，故B正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故C正确；
D、AC＝BC错误，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等．
3．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE＝90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝60°，BC＝CD＝4．
∴∠BDC＝∠CBD＝30°．
∴∠BDE＝90°．
∴BD＝＝4．
故选：D．
【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A．14B．16C．20D．28
【分析】根据题意可知五个小矩形的所有边正好能平移到大矩形的四条边上，即可得出答案．
解：根据题意可知五个小矩形的所有边正好能平移到大矩形的四条边上，故即可得出答案：
∵AC＝10，BC＝8，
∴AB＝＝＝6，
图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8＝28．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及平移的性质，得出五个小矩形的所有边正好能平移到大矩形的四条边上是解决问题的关键．
5．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选：D．
【点评】本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
6．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．
解：如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH＝3×＝，
S△ABC＝BC•AH＝AB•PD+BC•PE+AC•PF，
∴×3•AH＝×3•PD+×3•PE+×3•PF，
∴PD+PE+PF＝AH＝，
即点P到三角形三边距离之和为．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
7．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.25mD．3m
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x﹣0.5）米．根据勾股定理，得：x2＝1.52+（x﹣0.5）2，x＝2.5．那么河水的深度即可解答．
解：设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，
由题意得，x2＝1.52+（x﹣0.5）2，
解之得，x＝2.5，
所以水深2.5﹣0.5＝2（米）．
故选：A．
【点评】此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．2
【分析】由角平分线的定义可求得∠CAD的度数，再根据特殊角的三角函数关系可得CD的长，再根据勾股定理求得AC的长，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝，
∴CD＝，
∴AC＝，
∴BC＝AC＝3，
∴S＝，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，以及特殊角的三角函数关系是解题的关键．
9．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2B．2+C．4D．3
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，得到AB＝AC＝2，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，即可得到结论．
解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝，
∵＝，
∴AB＝AC＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴AE+CE＝BC＝2，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
10．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（4+）cmB．5cmC．2cmD．7cm
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′＝6cm，PC＝BC，求出PC′＝×4＝4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
解：侧面展开图如图所示：
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′＝3cm．
∵PC′＝BC′，
∴PC′＝×6＝4cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC′2+CP2，
∴AP＝＝5cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 5＜AB＜7 ．
【分析】由三角形的性质可得BC﹣AC＜AB＜AC+BC，将AC、BC的值代入该不等式求出AB的取值范围．
解：由三角形的性质得：
BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7．
∵∠C为钝角，
∴钝角三角形AB2＞BC2+AC2，
∴5＜AB＜7，
故答案为：5＜AB＜7．
【点评】本题主要考查三角形的性质，三角形的两边之和一定大于第三边，两边之差小于第三边．
12．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝ 2 ．
【分析】根据勾股定理计算即可．
解：在RtABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝2；
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 2+2 ．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝2，进而求解．
解：过点D作DH⊥AB，则DH＝2，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△DHB为等腰直角三角形，
∴BD＝HD＝2，
∴BC＝CD+BD＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14．如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知AD＝3，AC＝2，∠BAC＝90°，求高AE＝ ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以得到BC的长，再根据勾股定理可以得到AB的长，然后根据等面积法即可得到AE的长．
解：∵AD＝3，∠BAC＝90°，AD是BC边上得中线，
∴BC＝2AD＝6，
∵AC＝2，
∴AB＝＝＝4，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
解得AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC和AB的长．
15．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为 x2+32＝（10﹣x）2 ．
【分析】由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为（10﹣x）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵竹子原高一丈（1丈＝10尺），折断处离地面的高度为x尺，
∴竹梢到折断处的长度为（10﹣x）尺．
依题意得：x2+32＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝ （5﹣6） 米．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣3＝5（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝5（米），
∴BE＝CE﹣BC＝（5﹣6）米，
故答案为：（5﹣6）．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴S扇形ABD＝＝．
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
18．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN有最小值时∠ABM＝ 50 °．
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′的值最小．
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′的的值最小．
此时∠ABM＝90°﹣∠BAC＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
【分析】由折叠的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，EC的长．
解：设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．
∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm．
又∵AB＝8cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2，
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm．
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48．
∴x＝3．
答：EC的长为3cm．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD．过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是18cm，AC的长为6cm，求线段AB的长度．
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝18﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．
解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，
解得：AB＝10cm，
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．如图：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA＝OB＝OC＝BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO＝∠B＝45°，OA＝OB，又有AN＝MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON＝OM ①∠NOA＝∠MOB，于是有，∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
∴OA＝BC＝OB＝OC，
即OA＝OB＝OC；
（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC＝AB，OC＝OB
∴OA＝OB，∠NAO＝∠B＝45°，
在△AON与△BOM中
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB
∴∠NOA+∠AOM＝∠MOB+∠AOM
∴∠NOM＝∠AOB＝90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
【点评】本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．
22．如图，△ABC，△ADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连接CD，CE，且CD⊥BE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若线段DE＝3，求线段BD的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB＝120°，可求∠DEC＝60°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝60°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴BD＝CE＝2DE＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
23．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
【分析】（1）根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
（2）根据题意列出方程，解方程得到答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到BP＝BQ，进而列出方程，解方程即可得出答案．
解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x＝36，
解得：x＝3，
则AB＝3x＝9，BC＝4x＝12，AC＝5x＝15，
∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，
则BP＝9﹣3＝6cm，
∴S△BPQ＝×6×6＝18（cm2）；
（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
则BP＝9﹣t，
当BP＝BQ时，9﹣t＝×2t，
解得：t＝4.5；
（3）当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即9﹣t＝2t，
解得：t＝3．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（3）若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．
【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝＝，即可得出四边形ABDF的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵E为BD中点，
∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，
∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，
∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA+∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴AE＝BE＝DE，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝＝，
∵DF＝AB＝1，
∴四边形ABDF的面积＝DF×AD＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．