2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市青山区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是，如图，点A，图1是一个地铁站入口的双翼闸机等内容，欢迎下载使用。

1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾B．厨余垃圾C．其它垃圾D．可回收物
2．已知x＜y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+3＞y+3B．3﹣x＞3﹣yC．x﹣3＞y﹣3D．﹣3x＜﹣3y
3．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤2
5．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．AB2＝AC2+BC2
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有两条边、一个角相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C．全等三角形对应边上的中线相等
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
7．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
8．如图，点A（0，4），△AOB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的对应点A'在直线上，则△AOB向右平移的长度为（ ）
A．B．10C．8D．5
9．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cmB．cm
C．64cmD．54cm
10．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
二、填空题
11．不等式x﹣1≤2的解集中所有非负整数的解是 ．
12．计算：20212﹣4042×2020+20202＝ ．
13．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，那么这个等腰三角形的周长为 ．
14．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝ ．
15．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＞0的解集为 ．
16．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 ．
17．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，则下列结论：①∠EAF＝45°；②△EBF为等腰直角三角形；③EA平分∠CEF；④BE2+CD2＝DE2．正确的是 ．
三、解答题
19．解不等式组
①解不等式+1＞x﹣3，并把它的解集表示在数轴上．
②解不等式组：．
20．把下列各式因式分解：（1）a2（x﹣1）+4（1﹣x） （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2
21．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）写出A2，B2的坐标．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
23．某单位参加一次团体表演，现需采购一批演出服装，选定A，B两家服装供应商．经了解：两家供应商的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据参演要求，参加演出的女生人数应比男生人数的2倍少100人，设参加演出的男生x人．
（1）分别写出该单位购买A，B两家供应商服装所付的总费用分别是y1元和y2元与参演男生数量x之间的函数关系式．
（2）该单位购买哪家供应商的服装比较合算？请说明理由．
24．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝ °；
（2）如图2，若∠DAC是锐角，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，并加以证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求QB的长．
参考答案
一．选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾B．厨余垃圾C．其它垃圾D．可回收物
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．已知x＜y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+3＞y+3B．3﹣x＞3﹣yC．x﹣3＞y﹣3D．﹣3x＜﹣3y
【分析】根据不等式的性质分析判断．
解：A、∵x＜y，
∴x+3＜y+3，故本选项不符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴3﹣x＞3﹣y，故本选项符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确．
故选：D．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤2
【分析】由式子在实数范围内有意义，可得4﹣2x≥0，再解不等式即可．
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴4﹣2x≥0，
解得：x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
5．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．AB2＝AC2+BC2
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、∵BC2+AC2＝42+52＝41，AB2＝（）2＝41，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵AB：BC：AC＝3：4：5，
∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∵BC2+AB2＝（4k）2+（3k）2＝25k2，AC2＝（5k）2＝25k2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有两条边、一个角相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C．全等三角形对应边上的中线相等
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
【分析】利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案．
解：A、两边及其夹角对应相等的三角形全等，故错误，为假命题；
B、等腰三角形的对称轴应是一条直线，故错误，为假命题；
C、正确，为真命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，为假命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定等知识，属于基础题，比较简单．
7．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
8．如图，点A（0，4），△AOB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的对应点A'在直线上，则△AOB向右平移的长度为（ ）
A．B．10C．8D．5
【分析】根据平移后，点A'的纵坐标没有变，将纵坐标代入函数中，得到点A'的横坐标，根据平移的特点便得到答案．
解：将y＝4代入中，
4＝x，
解得x＝5，
∴△AOB向右平移的长度为5，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和平移的知识，解题的关键是用代入法求出点的横坐标．
9．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cmB．cm
C．64cmD．54cm
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
10．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题
11．不等式x﹣1≤2的解集中所有非负整数的解是 0，1，2，3 ．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，进而得出非负整数解．
解：移项，得：x≤2+1，
合并同类项，得：x≤3，
不等式的非负整数解为0，1，2，3．
故答案为：0，1，2，3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．计算：20212﹣4042×2020+20202＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可求解．
解：20212﹣4042×2020+20202
＝20212﹣2×2021×2020+20202
＝（2021﹣2020）2
＝1．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
13．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，那么这个等腰三角形的周长为 13 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分情况讨论：
①当三边是3，2，5时，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是3，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝ ﹣2 ．
【分析】将（3x+2）（x﹣1）展开，则3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，从而求出m、n的值，代入计算可得答案．
解：∵（3x+2）（x﹣1）＝3x2﹣x﹣2，
∴3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴mn＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，知道因式分解前后两式相等是解题的关键．
15．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＞0的解集为 x＜﹣1 ．
【分析】将不等式变形为k1x+b＞k2x，再利用函数图象解决即可．
解：由图可知：两条直线的交点坐标为（﹣1，﹣2），
∵（k1﹣k2）x+b＞0，
∴k1x﹣k2x+b＞0，
∴k1x+b＞k2x，即直线l1在直线l2的上方，
∵当x＜﹣1时，直线l1在直线l2的上方，
∴解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
16．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
17．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 490 ．
【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，将原式因式分解代入求值即可．
解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝10×72
＝490．
故答案为：490．
【点评】本题考查了因式分解—提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，则下列结论：①∠EAF＝45°；②△EBF为等腰直角三角形；③EA平分∠CEF；④BE2+CD2＝DE2．正确的是 ①③④ ．
【分析】①根据旋转的性质，可得∠FAD＝90°，结合∠DAE＝45°，即可判断，
③根据旋转的性质，可证△DAE≌△FAE（SAS），得到∠DEA＝∠FEA，即可判断，
④由BF＝CD，FE＝DE，在Rt△FBE中，应用勾股定理，即可判断，
②根据CD与BE的关系，判断BF与BE的关系，即可判断，
解：由旋转的性质可得：AD＝AF，BF＝CD，∠FBA＝∠DCA＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠FAD﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，故①正确，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠DEA＝∠FEA，即：EA平分∠CEF，故③正确，
∴FE＝DE，
∵∠FBE＝∠FBA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBE中，BE2+BF2＝FE2，即：BE2+CD2＝DE2，故④正确，
∵CD与BE不一定相等，
∴BF与BE不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
三、解答题
19．解不等式组
①解不等式+1＞x﹣3，并把它的解集表示在数轴上．
②解不等式组：．
【分析】①根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
②分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：①去分母，得：x﹣5+2＞2（x﹣3），
去括号，得：x﹣5+2＞2x﹣6，
移项，得：x﹣2x＞﹣6+5﹣2，
合并同类项，得：﹣x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
；
②解不等式2x﹣7＜3（x﹣1），得：x＞﹣4，
解不等式，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x≥﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．把下列各式因式分解：（1）a2（x﹣1）+4（1﹣x） （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式；
（2）先利用平方差公式，再提取公因式即可．
解：（1）原式＝a2（x﹣1）﹣4（x﹣1）
＝（x﹣1）（a2﹣4）
＝（x﹣1）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题时注意要按照“一提二套三化简”的过程进行．
21．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）写出A2，B2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）由图可得答案．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由图可得，A2（6，1），B2（5，3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．某单位参加一次团体表演，现需采购一批演出服装，选定A，B两家服装供应商．经了解：两家供应商的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据参演要求，参加演出的女生人数应比男生人数的2倍少100人，设参加演出的男生x人．
（1）分别写出该单位购买A，B两家供应商服装所付的总费用分别是y1元和y2元与参演男生数量x之间的函数关系式．
（2）该单位购买哪家供应商的服装比较合算？请说明理由．
【分析】（1）分别根据“总费用＝男生服装费用+女生服装费用+运费”和“费用＝男生服装费用+女生服装费用”写出y1、y2与x之间的函数关系式即可；
（2）分别当y1＜y2、y1＝y2、y1＞y2时求出对应x的限值范围即可．
解：（1）根据题意，得参加演出的女生（2x﹣100）人．
y1＝0.7×120x+0.7×100（2x﹣100）+2200＝224x﹣4800，
y2＝0.8×100（x+2x﹣100）＝240x﹣8000，
∴y1和x之间的函数关系式为y1＝224x﹣4800，y2和x之间的函数关系式为y2＝240x﹣8000．
（2）当x＞200时，购买A公司的服装比较合算；当x＝200时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家购买；当x＜200时，购买B公司的服装比较合算．理由如下：
当y1＜y2时，得224x﹣4800＜240x﹣8000，解得x＞200；
当y1＝y2时，得224x﹣4800＝240x﹣8000，解得x＝200；
当y1＞y2时，得224x﹣4800＞240x﹣8000，解得x＜200；
∴当x＞200时，购买A公司的服装比较合算；当x＝200时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家购买；当x＜200时，购买B公司的服装比较合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．
24．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝ 60 °；
（2）如图2，若∠DAC是锐角，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，并加以证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求QB的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出∠QEP＝60°解答即可；
（2）根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CP＝CQ，∠PCQ＝60°，则∠ACP＝∠BCQ，可证明△ACP≌△BCQ（SAS），得到∠APC＝∠Q，然后利用三角形内角和定理可得到∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，由∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，易得∠APC＝30°，∠PCB＝45°，则可判断△ACH为等腰直角三角形，所以，在Rt△PHC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，于是可计算出，所以．
【解答】（1）解：∠QEP＝60°；理由如下：
如图1，记EQ与PC相交于M点，
∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB＝∠CPA，
又因为∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°．
（2）∠QEP＝60°．
如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB+BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，如图3，同理可得：△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∠HAC＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，而AC＝4，
∴，
在Rt△PHC中，PC＝2CH，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算等．