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专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型题型归类训练)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练
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1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：
(1)点到点、的距离之和为10；
(2)点到点、的距离之和为12；
(3)点到点、的距离之和为8．
2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切；
(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.
3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.
题型二：直接法
1．（2024·全国·高三专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)说明点的轨迹是何种几何图形．
3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程．
2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点，点P是圆上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆的位置关系.
题型四：点差法
1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A．（）B．
C．（）D．（）
6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
三、解答题
10．（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3．
(1)求动点M的轨迹方程；
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：
(1)点到点、的距离之和为10；
(2)点到点、的距离之和为12；
(3)点到点、的距离之和为8．
2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切；
(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.
3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.
题型二：直接法
1．（2024·全国·高三专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)说明点的轨迹是何种几何图形．
3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程．
2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点，点P是圆上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆的位置关系.
题型四：点差法
1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A．（）B．
C．（）D．（）
6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
三、解答题
10．（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3．
(1)求动点M的轨迹方程；
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