2024年小升初数学专题 （通用版）-21 探究与表达规律专项训练（原卷版+解析版）

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2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证；
3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
【思考1】下面是杨辉三角，你能接着写下去吗?
【思考2】下面是2023年6月的日历，你能观察出日历上的数字有什么特点，他们之间有关吗?
提示可以从下列情况思考：（1）横排相邻的日期；（2）竖排相邻的日期；（3）“左上-右下”相邻的日期；（4）“左下-右上”相邻的日期。
1.规律探索型问题解题技巧
1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.
4）常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）； 2）2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3）2，4，8，16，32，…，（为正整数）； 4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1，3，6，10，15，21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
考点1、数列的规律
【解题技巧】数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
例1．（2023·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，18，1，…，则第15个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得第k个奇数为，再由第15个数是第8个奇数，即可求解．
【详解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…，
∴偶数位置上的数都是1，奇数位置上的数分别是，9，，81，…，
∴第k个奇数为，∴第15个数是第8个奇数，为．故选C．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
变式1.（2022·广东七年级月考）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【详解】解：一组数为∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，第3个数为：…
∴第n个数为：故选：C
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
变式2.（2022·福建七年级期中）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．
【答案】
【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．
【详解】解：=，=，=，=，…
∴第7项是，第n项是，故答案为：，．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．
考点2、数（图）表的规律
【解题技巧】数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
例1．（2023·山东泰安·统考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
【答案】
【分析】根据题干中给出的三角形中数字规律，得出第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为，再根据第n行第2个数是第行第2个数和第三个数的和进行求解即可．
【详解】解：根据题目中给出数的特点，第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为，
∴第6行第1个数为，第6行第2个数为 ，
∴第六行第三个数表示的是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据题目中给出的数字找出规律．
变式1．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A 、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．
【答案】50
【分析】根据点P到A、B两点的距离和是16，确定有理数x的值，再按照规律确定y的值．
【详解】解：∵点P到A、B两点的距离和是16，且点P在原点左侧，
∴点P在点A左侧，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，
观察图形中的四个数，左上角的数是右上角的数的绝对值少1，左下角的数比左上角的数多2，从第2个图形开始，右下角的数是左上角的数与左下角的数的积再加2，
∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案为：50．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数字类图形变化题．注意观察总结出规律，能正确的应用规律．
变式2．（2023春·山东青岛·七年级校考期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则__________．
【答案】1327
【分析】分奇数和偶数计算．
【详解】当序号为偶数时，，∴，∴；
当序号为奇数时，，
∴，∴；∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探索，正确运用分类思想分成偶数列，奇数列计算是解题的关键．
变式3.（2022•柳南区七年级月考）将正奇数按下表排成5列：
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256B．257C．510D．511
【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．
【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，
其次，奇数可以用2x﹣1表示，当x＝1011时，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．
在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252•••••••3，因此2021应该在第253行，第4列，
即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故选：B．
考点3、算式的规律
【解题技巧】算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
例1．（2022春·广东梅州·七年级校考期末）观察下列算式中的规律：……，下列等式中符合规律的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得到第n个等式的左边的数：1的个数是个，后面2的个数是n个，末尾是5；等式的右边3的个数是个，末尾是5组成数字的平方，由此规律求解即可．
【详解】∵……，
∴第n个等式的左边的数：1的个数是个，后面2的个数是n个，末尾是5，
等式的右边3的个数是个，末尾是5组成数字的平方，∴，故选：C．
【点睛】此题考查了数字变化规律，解题的关键是正确分析出个位数字是5的数乘以它本身的积的规律．
变式1．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）有一种印度式乘法，如图（1）表示，其中12是沿左上到右下的方向，画两组线段依次表示被乘数从高位到低位的数字；31是沿左下到右上的方向，画两组线段依次表示乘数从高位到低位的数字；372是由从左往右数每一竖列上结点的个数连在一起得到的（若每一竖列上结点的个数大于10，则需往左进位），图（2）表示的算式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】仿照图（1）的方法解答即可．
【详解】解：图中沿左上到右下的方向，画三组线段依次表示被乘数从高位到低位的数字即112；沿左下到右上的方向，画三组线段依次表示乘数从高位到低位的数字即231；由从左往右数每一竖列上结点的个数连在一起分别得到：2、5、8、7、2，即25872．故选B．
【点睛】本题主要考查了图形规律，根据图（1）归纳出规律是解答本题的关键．
变式2.（2022·山西七年级期中）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据题中等式的规律可得；（2）观察等式的规律可得；
（3）将等式的左边进行整式的混合运算，判断与等式右边是否相等即可．
【详解】（1）根据题中规律可得：
（2）观察式子可得：
（3）等式左边===3=等式右边
∴（2）中所写式子一定成立．
【点睛】本题通过找规律的方式考查整式的混合运算．分析所给等式，找到规律是解题的关键．
考点4、图形的规律（一次类）
【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
例1．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，将黑、白两种颜色的小正方形按照一定规律组合成一系列图案，若第n个图案中黑色小正方形个数记作，如，，则等于（ ）
A．101B．102C．202D．203
【答案】D
【分析】结合图形可知，当n为奇数时，，当n为偶数时，，问题随之得解．
【详解】结合图形可知：，，，，
可知：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则有：，故选：D．
【点睛】本题考查了寻找图形规律的知识，根据图形的规律准确列出代数式是解答本题的关键．
变式1．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）数学兴趣小组的一位同学用棋子摆图形探究规律．如图所示，若按照他的规律继续摆下去，第n个图案中用了2025颗棋子，则n的值为（ ）
A．506B．507C．508D．509
【答案】A
【分析】根据题目中给出的图案中棋子个数找出规律，得出第个图案有颗棋子，令求出n的值即可．
【详解】解：∵第1个图案有5颗棋子，第2个图案有9颗棋子，
第3个图案有13颗棋子，第4个图案有17颗棋子，……
第个图案有颗棋子，∴当时，解得：，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，解题的关键是根据题目中给出的图案，找出一般规律．
变式2．（2023春·重庆北碚·七年级校考期中）为纪念中国人民志愿军抗美援朝作战胜利“70周年”，学校社团开展了系列活动．手工制作社团的同学用糖果摆成如图所示的“70”图案，其中第1个“70”图案用8颗糖果，第2个“70”图案用12颗糖果……按照这种规律，第70个“70”图案用（ ）颗糖果．
A．276B．280C．284D．288
【答案】C
【分析】仔细观察图案，找到糖果个数的变化规律即可求解．
【详解】解：观察图案，可得：第①个图案中，糖果的个数为个，
第②个图案中，糖果的个数为个，第③个图案中，糖果的个数为个，……
第个图案中，糖果的个数为个，第70个图案中，糖果的个数为个，故选：C．
【点睛】本题考查了规律性-图形的变化类，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的变化规律．
考点5、图形的规律（二次类）
【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
例1. （2022·重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55B．220C．285D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：第1层：1，第2层：3＝1+2，
第3层：6＝1+2+3，第4层：10＝1+2+3+4，第5层：15＝1+2+3+4+5，
∴第n层“三角形数”为，∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，
则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及数字变化规律，得出第n层“三角形数”为是解答本题关键．
变式1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案．该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图形（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，…．依次规律，图形（10）由（ ）个小三角形组成．
A．100B．160C．200D．300
【答案】C
【分析】设第n个图中三角形的个数为，列出前几个图中三角形的个数，找到规律，并用含有n的代数式表示规律，然后把代入规律中求出即可．
【详解】设第n个图中三角形的个数为（n为正整数），则
；；；⋯故选：C
【点睛】本题主要考查了规律型中的图形变化类，找到规律，并把规律用代数式表示出来是解题的关键．
变式2．（2022·成都市七年级期中）如图是一张101×101方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有_____个格子被涂色．
【答案】5201
【分析】由图可得，白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．．从而可得第n个数是，则其总数是结合方格纸的大小可求得白色格子的数量，从而可求涂色的格子的数量．
【详解】解∶由题意得白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．．∴第n个数是∶，
∴白色格子的总数是∶，
∵方格纸的规格是，∴白色格子的行数是50行，
即当时，其白色格子的总数是∶(个)，
∴涂色的格子的数量为∶ (个) ．故答案为∶ 5201．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解答的关键是先求出白色的格子的数量，从而可求涂色的格子的数量．
变式3.（2022·浙江七年级期末）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）
A．52根B．66根C．70根D．72根
【答案】C
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n层时，需要根火柴，从而验证选项即可确定正确答案．
【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要根火柴棒；
搭3个正方形，两层，需要根火柴棒；
搭6个正方形，三层，需要根火柴棒；
搭10个正方形，四层，需要根火柴棒；
因此当有n层时，需要 根火柴棒．
当时，根火柴棒，因此C选项正确．故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，用变量代替数字总结规律，最终再代入数字求解即可，难度中等．
考点6、图形的规律（指数类）
【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论
例1．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（）
A．15B．23C．27D．31
【答案】D
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：第一代勾股树中正方形有(个)，
第二代勾股树中正方形有(个)，
第三代勾股树中正方形有(个)，
第四代勾股树中正方形有(个)，故选：D．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
例2．（2022秋·吉林长春·七年级统考期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．
【方法生成】
将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：
（1）______；（2）______；（3）______；
【方法迁移】（4）______；
【灵活运用】（5）______．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【分析】（1）（2）（3）根据图中空白面积＝1－阴影部分面积可得结果；
（4）类比（1）（2）（3）可得结果；（5）类比（4）可得结果；
【详解】解：由图中阴影部分面积可知：（1）；故答案为： ；
（2）；故答案为： ；（3）；故答案为： ；
（4）故答案为：；
（5）故答案为：．
【点睛】本题考查的图形的变化类及有理数的乘方运算，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
变式1．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，图形⑦面积是．从而得到的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，即可求解．
【详解】解：根据题意得：图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，
图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，
图形⑦面积是．∴的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，
∴．故选：A
【点睛】本题考查图形的变化以及有理数的混合运算，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
变式2．（2023·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45，22(2)图n中，○的个数，▲的个数．
【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果；（2）根据（1）即可得到规律．
【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数，
图2，○的个数，▲的个数，
图3，○的个数，▲的个数，
图4，○的个数，▲的个数，故答案为：45，22；
（2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数．
【点睛】本题主要考查探求规律的问题，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键．
考点7、循环规律类问题
【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
例1．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和求得到分别是多少，即可找出规律，求得答案.
【详解】解：任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，，
，，，，，.
每6个数为一循环，且6个数的和为0，
.故选：B.
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力.涉及到有理数的加法法则，解题的关键在于分析题意，找到规律并进行推导.
变式1．（2022·湖南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察发现2n的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，直接填空即可；
【详解】通过观察发现2n的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，且2+4+8+6=20，尾数为0
2022÷4=500……2，则尾数为2+4=6，故选D．
【点睛】此题考查幂的乘方末尾的数字规律，注意观察循环的数字规律，利用规律解决问题．
变式2．（2023·贵州遵义·统考三模）如图1，是的直径，点B、C、D将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n的值可以是（ ）

A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】先得到前4次换序后的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由题意得：1次换序后，得到的顺序为，2次换序后，得到的顺序为，
3次换序后，得到的顺序为，4次换序后，得到的顺序为，
由此可知，每经过4次换序，得到的顺序与图1相同，即此时（为正整数），
观察四个选项可知，只有选项B符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
A级（基础过关）
1．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A．57枚B．52枚C．50枚D．47枚
【答案】B
【分析】总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，栽求和即可得到答案．
【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚），
当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：，
所用两种卡片的总数为：（枚），故选：B．
【点睛】本题考查了与有理数有关的规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚．
2．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，按此规律操作下去，则第（为正整数）个图形中正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由第1个图形中正方形的个数3＝2×1＋1，第2个图形中正方形的个数5＝2×2＋1，第3个图形中正方形的个数7＝2×3＋1，……据此可得．
【详解】解：∵第1个图形中正方形的个数3＝2×1＋1，
第2个图形中正方形的个数5＝2×2＋1，第3个图形中正方形的个数7＝2×3＋1，……，
∴第个图形中正方形的个数为，故选：D．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
3．（2022秋·安徽六安·七年级统考阶段练习）小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图形，请你猜测一下，若小明继续摆下去，第10个图形需要几颗棋子（ ）
A．40B．45C．41D．36
【答案】C
【分析】根据前三个图形中棋子的数量，可找出变化规律“”；代入，即可求出结论．
【详解】解：∵第1个图形中棋子的个数是，第2个图形中棋子的个数是，
第3个图形中棋子的个数是，…，∴第n个图形中棋子的个数是．
当时，．故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中棋子数量的变化，找出变化规律“”是解题的关键．
4．（2023春·江西鹰潭·七年级统考期中）某树苗原始高度为，下图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度（单位：cm）应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据每月增加即可解答．
【详解】解：∵第1个月的高度为：，第2个月的高度为：，
第3个月的高度为：，…，∴第n个月的高度为：，故选D．
【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
5．（2023秋·河南周口·七年级校考期末）如图，用规格相同的小金属棒按照图示规律焊接成相连的小正方体，根小金属棒最多可以焊接成________个小正方体．
【答案】
【分析】根据正方体有12条棱，每增加1个正方体，增加8根小金属棒，得到规律，然后根据题意列方程即可求解．
【详解】解：依题意，1个正方体需要12根小金属棒，2个正方体需要1根小金属棒，
3个正方体需要根小金属棒，……个正方体需要根小金属棒，
∵，，∴根小金属棒最多可以焊接成个小正方体．故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律得出个正方体需要的小金属棒数是解题的关键．
6．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持．科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构．如图是蜜蜂蜂房的一组有规律的图案，它们是由相同的小正六边形组成，依此规律，第个图案中有______个小正六边形．
【答案】/
【分析】分别求出第1，2，3个图案的小正六边形的个数，推导一般性规律，进而可得结果．
【详解】解：由题意知，第1个图案中有5个小正六边形，
第2个图案中有个小正六边形，第3个图案中有个小正六边形，
∴可推导一般性规律：第个图案中有个小正六边形，故答案为：．
【点睛】本题考查了图形规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．
7．（2022秋·云南玉溪·七年级校考期中）如图，数1对应着1颗星形，数2对应着5颗星形，数3对应着9颗星形，…，按这样的规律排列下去，则正整数n对应着____颗星形．
【答案】/（-3+4n）
【分析】首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
【详解】根据图形的变化，发现：分成三层，上下层一致，中间为一排，
∴第2个图形星形的颗数为：；
第3个图形星形的颗数为：；
第4个图形星形的颗数为：；⋯，
第n个图形星形的颗数为：；故答案为：．
【点睛】本题考查图形的变化类问题，重点考查了学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，难度不大．
8．（2022秋·七年级统考期中）某次会议前，小明同学帮助老师摆放桌椅：
甲方式：……
乙方式：……
（1）按甲方式将4张桌子拼在一起共有_________个座位，张桌子拼在一起共有_________个座位；
（2）按乙方式将6张桌子拼在一起共有_________个座位，张桌子拼在一起共有_________个座位．
【答案】 12 26
【分析】（1）甲方式可以看成是1张桌子配2把椅子，再额外配4把椅子，规矩规律可得其值；
（2）乙方式可以看成是1张桌子配4把椅子，再二外配2把椅子，规矩规律可得其值．
【详解】解：（1）根据题意有，4张桌子拼在一起共有的座位数为：，
n张桌子拼在一起共有的座位数为：．故答案为：12；；
（2）根据题意有，6张桌子拼在一起共有的座位数为：，
m张桌子拼在一起共有的座位数为：，故答案为：26；．
【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
9．（2022秋·浙江台州·七年级统考期末）如图，某公园分别按照方案A和方案B，用许多相同的小正方体盆花，依次一圈一圈地摆放出上表面为大正方形的图案，其中方案A中间的一个小正方形不放花，方案B中间的四个小正方形不放花．可以按照图中的规律不断增加摆花的圈数．
(1)根据题意，将两种方案下前三圈的盆花数量填入下表：
你发现同一圈上这两种方案盆花数量之间有什么关系？
(2)请用字母表示数，通过计算说明（1）中发现的数量关系成立的理由．
【答案】(1)同一圈上方案A的盆花数量比方案B的盆花数量少4盆(2)见解析
【分析】（1）根据图形数据，再总结归纳，从而可得表格数据；
（2）由（1）的答案，总结归纳得到按方案A摆放第n圈的盆花数量是，按方案B摆放第n圈的盆花数量是，再列式计算即可．
【详解】（1）解：如图．
发现同一圈上方案A的盆花数量比方案B的盆花数量少4盆．
（2）因为按方案A摆放第n圈的盆花数量是，按方案B摆放第n圈的盆花数量是，
而， 所以同一圈上方案A的盆花数量比方案B的盆花数量少4盆．
【点睛】本题考查的是列代数式，合并同类项，图形类的规律探究，理解题意，列出正确的代数式是解本题的关键．
10．（2023秋·山东威海·六年级统考期末）用正方形和圆按照一定规律摆出下列一组图形：
(1)请填写下表：
(2)第2023个图形中，有____________个圆；
(3)若第n个图形中有100个圆，则从第1个图形到第n个图形中共有多少个正方形？
【答案】(1)见解析(2)(3)从第1个图形到第n个图形中共有561个正方形
【分析】（1）观察图形即可填表；
（2）根据（1）表中的数据，发现规律，第n个图形中有个圆，当时，代入求解即可；
（3）先根据第n个图形中圆的个数求出n的值，再根据从第1个图形到第n个图形中正方形的个数和为：求解即可．
【详解】（1）由图得，
（2）由（1）表中的数据，可得第n个图形中有个圆，有n个正方形，
∴第2023个图形中，有个圆，故答案为：；
（3）若第n个图形中有100个圆，则，解得，
从第1个图形到第n个图形中正方形的个数和为：个，
所以从第1个图形到第n个图形中共有561个正方形．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，能够根据图形得出图形分布的规律是解题的关键．
B级（能力提升）
1．（2023·四川攀枝花·校考一模）按规律填空：1，0，9，16，（ ），48
A．33B．25C．36D．42
【答案】A
【分析】根据数据找出规律即可得出答案．
【详解】∵，，，∴，，故选：A．
【点睛】本题考查数字规律，根据题意找出规律是解题的关键．
2．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：某同学在利用火柴棍拼三角形时发现规律，图1是利用3根火柴棍能拼成边为1根火柴棍的三角形图案，图2是利用9根火柴棍拼成边为2根火柴棍的三角形图案，图3是利用18根火柴棍拼成边为3根火柴棍的三角形图案，按此规律拼图，要拼成边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：（ ）
A．891B．5050C．10101D．15150
【答案】D
【分析】通过图形发现边为1，2,3,4根火柴棍三角形图案需要火柴棒的根数的规律，后根据规律即可求解．
【详解】边为1根火柴棍的三角形图案需要3根火柴棒，即；
边为2根火柴棍的三角形图案需要9根火柴棒，即；
边为3根火柴棍的三角形图案需要18根火柴棒，即；
边为4根火柴棍的三角形图案需要30根火柴棒，即；……
边为100根火柴棍的三角形图案需要火柴棍的根数是：
故选：D
【点睛】本题考查图形类规律的探索，解题的关键是掌握找到题目中的规律．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）一共有12个1排成一行，在它们中间加入一定的加号使得它们的和能被30整除，例如．求使得最终和是30的倍数的添法的个数为（ ）
A．15B．45C．55D．90
【答案】C
【分析】由，可得12个1排成一行，添上一定的加号得到的数的既是的倍数，也是的倍数，同时还是的倍数，可得这个数的尾数一定是，可得在12个1只能是11个空中添加个加号；再分情况讨论即可．
【详解】解：∵，
∴12个1排成一行，添上一定的加号得到的数的既是的倍数，也是的倍数，同时还是的倍数，
∴这个数的尾数一定是，∴在12个1中，只能是11个空中添加个加号；
（1）有1个数是，则添加的加号如下：，
交换与后面的位置，可得此时共有种添加方法；
（2）①有2个数，则添加的加号如下：，
交换第一个与后面的位置可得共有种添加方法；
交换第二个11与后面的位置可得共有种添加方法；
②有2个数，则添加的加号还可以如下：，
交换第一个与后面的位置可得共有种添加方法；
交换第二个11与后面的位置可得共有种添加方法；
③有2个数，则添加的加号还可以如下：，
交换第一个与后面的位置可得共有种添加方法；
交换第二个11与后面的位置可得共有种添加方法；
④有2个数，则添加的加号还可以如下：，
交换第一个与后面的位置可得共有种添加方法；
交换第二个11与后面的位置可得共有种添加方法；
⑤有2个数，则添加的加号还可以如下：，此时有1种添加方法，
∴一共有（种）方法．故选C．
【点睛】本题考查的是数的整除，规律探究，掌握例举的方法解决问题是解本题的关键．
4．（2022·广东江门·七年级期末）个等腰梯形按如图的方式拼接得到组合图形，由图可知，时，图形的周长（1），时，图形的周长（2）．依此类推：

（1）（5）___________；（2）___________．
【答案】
【分析】（1）先分别求出（1），（2），（3），（4），再求出答案即可；
（2）根据（1）的结果得出答案即可．
【详解】解：（1）当时，图形的周长（1），
当时，图形的周长（2），
当时，图形的周长（3），
当时，图形的周长（4），
当时，图形的周长（5），故答案为：；
（2）从（1）知：（1），（2）；
（3），（4），（5），
，故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，列代数式，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将一个正三角形分为4个全等的小正三角形，挖去中间的一个小三角形，称为一次操作；再对剩下的3个小正三角形分别重复上面的操作，这样下去，就能得到越来越多的小正三角形，这个最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的．那么至少连续经过______次这样的操作，得到的小正三角形就能超过50个．
【答案】四/4
【分析】根据题意可得进行一次操作得到4个小正三角形，进行二次操作得到13个小正三角形，进行三次操作得到40个小正三角形，进行三次操作得到121个小正三角形，即可求解．
【详解】解：根据题意得：进行一次操作得到4个小正三角形，进行二次操作得到13个小正三角形，
进行三次操作得到40个小正三角形，进行四次操作得到121个小正三角形，
∴至少连续经过三次这样的操作，得到的小正三角形就能超过50个．故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2023·湖南张家界·统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，
①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如数列①中数列②中那么数列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．
【答案】(1)(2)(3)(4)第项为：，第项为：
【分析】（1）利用等差数列的定义进行求解即可；（2）根据所给的式子进行求解即可；
（3）结合（2）进行总结即可；（4）利用（3）的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：，，中的，故答案为：；
（2）解：，，
，故答案为：；
（3）解：由（2）得：，故答案为：；
（4）解：，，，第项为：，第项为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是对由所给的式子总结出存在的规律．
7．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）用“”和“”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植：
(1)观察图形，寻找规律，并将下表填写完整：
(2)分别表示出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数．
【答案】(1)见详解；(2)，．
【分析】（1）根据图形规律可知甲种植物是第n个图形就有n行n列，总数是n的平方，乙种植物第n个图形就有行列，总数是，即可得到答案；（2）根据图形规律即可得到答案；
【详解】（1）由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形有行列，
（2）解：：由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形就有行列，
∴第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数分别为：，．
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到每个图形的排布规律．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）观察下面三行数：
0 1 4 9 16……①
0 3 8 15 24……②
3 11 23 39……③
(1)求①中的第11个数是______(2)用含有n的式子表示②中的第n个数是________
(3)在（1）、（2）条件下，计算③中的第21个数是多少？
【答案】(1)100(2)(3)839
【分析】（1）探究规律后，利用规律解决问题即可；（2）探究规律后，利用规律解决问题即可；
（3）探究规律后，利用规律解决问题即可．
【详解】（1）第2个数是，第3个数是，
第4个数是，第5个数是，…，∴第n个数是；
∴第11个数是，故荅案为：100；
（2）第2个数是，第3个数是，第4个数是，
第5个数是，…，∴第n个数是，故荅案为：；
（3）∵③中的第2个数为，第3个数为，
第4个数为，第5个数为，…，
∴第n个数为①的第n个数加上②的第n个数再减1，
∴①第21个数为，②第21个数为，
∴③中的第21个数是．
【点睛】本题考查规律型−数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
9．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有个小正方形；
(3)借助以上结论计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）观察图形根据已知图形得出第2个图形比第1个图形多：个；第3个图形比第2个图形多：个；第4个图形比第3个图形多：个；即可得出后面一个图形比第前个图形多的个数是连续奇数，即可求解；（2）根据（1）的规律，写出式子即可求解．（3）根据（2）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；故答案为：；
（2）∵第2个图形比第1个图形多：个；第3个图形比第2个图形多：个；
第4个图形比第3个图形多：个；
∴第n个图形比第个图形多：个；第个图中有个小正方形，
此类推，图n中（未画出）共有个小正方形故答案为：；
（3）解：∵，∴
【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．
10．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，观察下列几何体并回答问题．
(1)请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有___________个面，___________条棱，___________个顶点；棱锥有___________个面，___________条棱，___________个顶点；
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数，顶点个数以及棱的条数存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为___________．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系．
【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点；四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；
六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；三棱锥有4个面，6条棱，4个顶点；
四棱锥有5个面，8条棱，5个顶点；五棱锥有5个面，10条棱，5个顶点；
观察所给几何体的面、棱、顶点的数量，纳出n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点；故答案为：；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：
根据上表总结出这个关系为，故答案为：．
【点睛】本题考查几何体的认识；能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．分形是把整体以某种方式分成几个部分．按照如图甲所示的分形规律（1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得如图乙所示的一个树形图，则第7行中黑圈数量为（ ）
A．363B．364C．365D．366
【答案】C
【分析】设某一行产生白圈个，黑圈个，表示为：，以此表示出每一行，即可解答．
【详解】解：设某一行产生白圈个，黑圈个，表示为：，
∵1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，观察图乙可知第n行共有个圈，则第一行表示为：，即；第二行表示为：，即；
第三行表示为：，即；第四行表示为：，即；
第五行表示为：，即；第六行表示为：，即；
第七行表示为：，即；∴第7行中黑圈数量为365个，故选：C
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是观察图形找出其中的规律．
2．（2022秋·北京·七年级北京市陈经纶中学分校校考期中）将个纸杯分别单独立在桌面上，其中有b个纸杯倒扣（杯口朝下），其余纸杯正立（杯口朝上）．规定一次操作必须同时翻转3个不同的纸杯，n次操作的目的是使所有的纸杯都杯口朝上正立在桌面上．
①如果，而，那么不能实现目标（即：n不存在）
②如果，而（为正整数），那么最少m次操作就能实现目标（即）
③如果a＝5，b＝4，那么不能实现目标（即：n不存在）
以上判断正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】每个都要翻转3个杯子，而只有3个杯子，则每个杯子的朝向经过一次变换后与原来不同即可判断①；每次翻转杯口朝下的3个杯子，即翻转m次后就能使所有的杯子杯口朝上即可判断②；要使得4个杯口朝下的杯子经过翻转后杯口都朝上，则这4个杯口朝下的杯子翻转的总次数一定是偶数（4个奇数的和），翻转的总次数一定是3的倍数（4个杯子翻转的次数和），由此即可判断③．
【详解】解：∵杯子数为3，杯口朝下的杯子数不为0，且每次同时翻转3个杯子，
∴每次翻转，都总有杯口朝下（上一次翻转结束后杯口朝上的杯子），故①正确；
∵，，∴只需要每次翻转杯口朝下的3个杯子，即翻转m次后就能使所有的杯子杯口朝上，即最少m次操作就能实现目标，故②正确；
∵杯口朝下的杯子要使经过多次翻转后杯口朝上，那么翻转的次数必须为奇数，∴要使得4个杯口朝下的杯子经过翻转后杯口都朝上，则这4个杯口朝下的杯子翻转的总次数一定是偶数（4个奇数的和），
又∵每次只翻转3个不同的杯子，∴翻转的总次数一定是3的倍数（4个杯子翻转的次数和），
∴存在n，例如，A表示杯口朝上，B表示朝下：
原来：ABBBB 第一次变换：AAAAB 第二次变换：ABBAA
第三次变换：AABBB 第四次变换：AAAAA 故③错误；故选C．
【点睛】本题考查了图形类的规律题，正确理解题意一步步分析每次翻转变换得到的结果是解题的关键．
3．（2023·北京顺义·统考二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是______，丙的三张牌上的数字是______．
【答案】
【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．
【详解】解：已知红桃有数字共计张牌
甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合，
张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，
甲最多只能有一个奇数，只有符合，
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，
乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为，故答案为：；
【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．
4．（2022秋·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）如图是深中初中部美丽校园的一景，黄馨同学上学时走过两段楼梯，其中第一段有5个阶梯，第二段有10个阶梯．如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么黄馨同学有______种方法走完第一段楼梯，有______种方法走完第二段楼梯.
【答案】 8 89
【分析】先假设只有1个阶梯，则只有1种方法走完；有2个阶梯，则有2种方法走完；
有3个阶梯，则有1+2=3种方法走完；有4个阶梯，则有2+3=5种方法走完；从而可以总结规律：从第3个阶梯起后一种的走法总数等于前两种走法数的总和，进而即可解答．
【详解】解：假设只有1个阶梯，则只有1种方法走完；有2个阶梯，则有2种方法走完；
有3个阶梯，则有1+2=3种方法走完；有4个阶梯，则有2+3=5种方法走完；
∴从第3个阶梯起后一种的走法总数等于前两种走法数的总和，∴有5个阶梯时，有3+5=8种方法走完；
以此类推：依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，
∴有10个阶梯时，有89种方法走完．故答案为：8，89．
【点睛】本题考查图形类规律探索．理解题意，总结出从第3个阶梯起后一种的走法总数等于前两种走法数的总和是解题关键．
5．（2022秋·福建福州·七年级统考期中）幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，，，则______．
【答案】/
【分析】由，可得，，又，故．
【详解】解：根据题意得：，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，列方程得到，．
6．（2022秋·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
【答案】(1)(2)(3)，共有1025156个小正方形
【分析】（1）根据给出的等式写出答案即可；（2）根据这3个等式写出答案即可；
（3）因为最底端有2024个小正方形，所以，得出n的值，再计算有多少个小正方形即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：因为最底端有2024个小正方形，所以，解得：
所以（个）
答：，共有1025156个小正方形．
【点睛】本题考查图形的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键．
7．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）问题探究：
如图1，2个角的各边相交，第2个角的每条边最多会与第1个角的2条边新产生2个交点，所以共有个交点；
如图2，3个角的各边相交，第3个角的每条边最多会与前面2个角的4条边新产生4个交点，所以共有个交点；
若4个角的各边相交，第4个角的每条边最多会与前面3个角的6条边新产生6个交点，所以共有个交点；
……
(1)若5个角的各边相交，最多有多少个交点？（仿照上面的“问题探究”中的方法，写出必要的探究过程）
(2)直接写出10个角的各边相交，最多共有________个交点；
(3)直接写出n个角的各边相交，最多共有________个交点（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)40个；(2)180；(3)．
【分析】（1）仿照题干中的方法即可得到答案；（2）根据题意，得到规律n个角的各边相交，最多有个交点，将代入即可得到答案；（3）将（2）得到的规律化简整理即可得到答案．
【详解】（1）解：若5个角的各边相交，第5个角的每条边最多会与前面4个角的8条边新产生8个交点，所以共有个交点；若5个角的各边相交，最多有40个交点；
（2）解：2个角的各边相交，最多有个交点；
3个角的各边相交，最多有个交点；
4个角的各边相交，最多有个交点；
5个角的各边相交，最多有个交点；……
n个角的各边相交，最多有个交点，
10个角的各边相交，最多共有个交点，故答案为：180；
（3）解：n个角的各边相交，最多共有交点个数为：个，
n个角的各边相交，最多共有个交点，故答案为：．
【点睛】本题属于规律探究类问题，根据已知条件准确归纳概括规律是解题关键．
8．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形的宽为1，长为的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应的值．
【答案】见解析
【分析】有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为．
【详解】①如图，
；
②如图，
；
③如图，
；
④如图，
．
【点睛】本题的关键是：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．
9．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）完成下列填空：(1)已知，，，……，依据上述规律，则___________=___________．
(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________．
(3)下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；第2个数：；
第3个数： ；……则第n个数为：___________．
【答案】(1)，(2)20，或
(3)
【分析】（1）找到规律，根据规律填空即可；（2）第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可求解；（3）找到规律，根据规律填空即可．
【详解】（1）解：∵，，，……，
∴，∴，
故答案为：，；
（2）解：解：从图形可推断：纸张张数为5，图片周长为；
当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：；
当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：．
综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为或．故答案为：20，或．
（3）解：∵第1个数：；第2个数：；
第3个数： ；
……
∴第n个数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化以及数字的变化，解第(2)题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有 个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有 个正方形？(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝ ．
【答案】(1)30个，图见解析(2)55(3)(4)9411
【分析】（1）先画出图形，再根据探究二的思路即可得；（2）根据探究三的思路得出规律即可解决问题；
（3）根据探究一、二、三归纳类推出一般规律即可得；
（4）将原式转化为，再利用规律计算即可得．
【详解】（1）解：画图如下：
由图可知，边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个，边长为4的正方形有个，则总共有个正方形．
（2）解：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为（个），故答案为：55．
（3）解：当时，图形中正方形的个数为，
当时，图形中正方形的个数为，
当时，，
归纳类推得：将边长为的正方形四条边分别等分，连接各边对应的等分点，图形中一共有正方形的个数为，故答案为：．
（4）解：原式
，故答案为：9411．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23
…
…
…
27
25
图1
图2
图3
图4
○的个数
3
9
21
______
▲的个数
1
4
10
______
盆花数量
方案
第1圈
第2圈
第3圈
…
方案A
…
方案B
…
盆花数量
方案
第1圈
第2圈
第3圈
…
方案A
8
16
24
…
方案B
12
20
28
…
图形编号
①
②
③
④
…
正方形/个
1
…
圆/个
4
…
图形编号
①
②
③
④
…
正方形/个
1
2
3
4
…
圆/个
4
7
10
13
…
图序
①
②
③
④
1
4
9
4
9
图序
①
②
③
④
1
4
9
4
9