广东省惠州市惠城区中建麦绍棠学校等七校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份广东省惠州市惠城区中建麦绍棠学校等七校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．4，5，6D．5，12，13
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
7．（3分）如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
8．（3分）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时，∠CED的大小为（ ）
A．27°B．37°C．53°D．63°
9．（3分）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝ ，y＝ ．
13．（4分）已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是 ．
14．（4分）若直角三角形的两边长a，b满足（a﹣4）2+＝0，则第三边的长是 ．
15．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是 ．
16．（4分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MB的长为 ．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为 ．
三、解答题（一）（本题共3小题，18小题4分，19、20小题6分，共16分）
18．（4分）计算：2﹣6+．
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
20．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知：x＝+，y＝﹣，
求（1）+
（2）x2+3xy+y2．
22．（8分）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
（2）求M点与小岛P的距离．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝3，AC＝6，求OE的长．
五、解答题（三）（本题共2小题，24题12分，25题10分，共20分）
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ cm，
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）计算∠AEF的度数；
（2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．4，5，6D．5，12，13
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝2，
∴选项A不符合题意；
∵+≠＝，
∴选项B不符合题意；
∵•＝，
∴选项C符合题意；
∵＝，+＝2+3＝5，
∴≠+，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）若直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵直角三角形的两直角边的长分别为6和8，
∴斜边长＝＝10，
∴斜边上的中线长＝＝5，
故选：D．
5．（3分）下列命题中，其逆命题成立的有（ ）个．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分逆命题是对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题．
故选：B．
6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
7．（3分）如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
【解答】解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，
∴AD2＝100﹣36＝64，
∴AD＝8，
∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2＝πAD2＝8π．
故选：B．
8．（3分）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时，∠CED的大小为（ ）
A．27°B．37°C．53°D．63°
【解答】解：过点A作AF∥BH，交BC于F，
∴∠FAB＝∠ABN＝37°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAF＝53°，
∵EC∥BH，AF∥BH，
∴AF∥EC∥BH，
∴∠CED＝∠DAF＝53°，
故选：C．
9．（3分）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∵a2+b2＝c2＝20，（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，即20﹣2ab＝4．
∴ab＝8．
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选：A．
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【解答】解：因为式子有意义，
则x的取值范围是x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
12．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝ 7 ，y＝ 2 ．
【解答】解：由题可知，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴y＝2，
∴2x﹣3＝11，
∴x＝7．
故答案为：7，2．
13．（4分）已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是 7.5 ．
【解答】解：∵新三角形的各边长分别为：4÷2＝2，5÷2＝2.5，6÷2＝3，
∴新三角形的周长＝2+2.5+3＝7.5．
故答案为7.5．
14．（4分）若直角三角形的两边长a，b满足（a﹣4）2+＝0，则第三边的长是 5或 ．
【解答】解：∵（a﹣4）2+＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝4，b＝3，
当4，3是直角边时，第三边长为：＝5；
当4为斜边，3是直角边时，第三边长为：＝，
故第三边的值是：5或．
15．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是 18 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
16．（4分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MB的长为 5 ．
【解答】解：如图，连接BD，BN，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，
∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，
∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DN＝DM＝BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形，
∵AD2+AM2＝DM2，
∴16+AM2＝（8﹣AM）2，
∴AM＝3，
∴DM＝BM＝5，
故答案为：5．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为 ．
【解答】解：连接AC、BC，
由题意得，，，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形A1B1C1D1，
∴，A1B1∥BD，，C1B1∥AC，，A1D1∥AC，
∴A1B1＝A1D1，A1B1∥C1D1，A1D1∥B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，且菱形的周长＝5×4＝20，
同理，四边形A3B3C3D3是菱形，且菱形的周长＝，
……，
四边形A5B5C5D5是菱形，且菱形的周长＝，
四边形A7B7C7D7是菱形，且菱形的周长＝，
故答案为：．
三、解答题（一）（本题共3小题，18小题4分，19、20小题6分，共16分）
18．（4分）计算：2﹣6+．
【解答】解：原式＝4﹣6×+4
＝8﹣2
＝6
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝ ，BC＝ 2 ，AC＝ 5 ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1），，AC＝5．
故答案为：，2，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
20．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴AE＝CE，
在△CEF与△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（SAS）；
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知：x＝+，y＝﹣，
求（1）+
（2）x2+3xy+y2．
【解答】解：∵x+y＝2、xy＝1，
（1）∴原式＝＝＝＝10；
（2）∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（2）2+1＝13．
22．（8分）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
（2）求M点与小岛P的距离．
【解答】解：（1）如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险，
理由：过点P作PQ⊥MN于Q，
∴∠PQN＝90°，
∵∠PMN＝30°，∠PNQ＝60°，
∴∠MPN＝∠PNQ﹣∠PMN＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MPN＝∠PMN，
∴PN＝MN＝16海里，
∴NQ＝PN＝8（海里），
∴PQ＝﹣＝8（海里），
∵8＞12，
∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险；
（2）在Rt△PMQ中，∵∠PQM＝90°，∠PMQ＝30°，
∴PM＝2PQ＝2×8＝16（海里），
答：M点与小岛P的距离为16海里．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝3，AC＝6，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝3，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝3．
五、解答题（三）（本题共2小题，24题12分，25题10分，共20分）
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ （10﹣t） cm，
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 2 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AD＝10，AP＝t，
∴PD＝10﹣t，
故答案为：（10﹣t）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AP∥BQ，∠A＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形PABQ是矩形，
当0＜t＜2.5时，点Q从点C向点B运动，
∴t＝10﹣4t，
解得t＝2，
故答案为：2．
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，
∵PD∥BQ，
∴当PD＝BQ时，四边形BPDQ是平行四边形，
当5＜t≤7.5时，点Q从点C向点B运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝10×3﹣4t，
解得t＝；
当7.5＜t＜10时，点Q从点B向点C运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝4t﹣10×3，
解得t＝8，
综上所述，t的值为或8．
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）计算∠AEF的度数；
（2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠AEF＝45°；
（2）CF＝DG．理由如下：
如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，
∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，
∴G是EF的中点，
∴AG＝EF，
同理，在Rt△EFC中，CG＝EF，
∴AG＝CG，
∵AD＝CD，DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SSS），
∴∠ADG＝∠CDG，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠ADC＝45°；
∴GM为△GEC的中位线，
∴GM∥CF，GM＝CF，
∴∠DMG＝∠DCB＝90°，
在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°，
∴△DMG为等腰三角形，
∴DM＝GM，
∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2，
∴DG＝GM，
∵GM＝CF，
∴DG＝CF，
∴2DG＝CF，即CF＝DG．