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广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（共10题，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形又是中心对称；
D、只是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
故选：A．
3. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 4D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件；根据分式的值为零的条件得且，即可以求出的值．
【详解】若分式的值为，则且．
得或．
当时，分母为，不合题意，舍去．
故的值为．
故选B．
4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式求出黄球的个数，即可求解．
【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右，
∴黄球的个数为，
∴布袋中白球可能有个．
故选：A．
5. 如图，在中，，对角线与相交于点，，则周长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定，掌握相关判定定理，是解题的关键．根据矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定定理，进行判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等且平分的四边形是矩形，故选项错误；
D、四条边都相等的四边形是菱形，正确；
故选C．
7. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
9. 深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
10. 如图，，是正方形的边上两个动点，．连接，交于点，连接，交于点．若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，取的中点，连接、，则，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案．
【详解】解：如图，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共5题，共15分）
11. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12. 已知（b≠0），则的值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】由可设a＝2k，b＝3k，进而代入求出答案．
【详解】∵(b≠0)
可设a＝2k，b＝3k (k≠0)
则
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，可直接利用比例的性质或设k法．
13. 如图，六边形是由正和正五边形组成的，则的度数是 _________．
【答案】##132度
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边三角形的性质等知识，求出正多边形的内角是解题的关键；
利用等边三角形的性质求得的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得的度数，最后利用角的和差计算即可．
【详解】解：是正三角形，
，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
14. 若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
15. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为______．
【答案】2.8
【解析】
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H ，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
四边形ABCD是菱形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8-x，
在Rt△EHB中，BH=x，EH=x ，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6-x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为2.8．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共7题，共55分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的减法和除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
（2）先通分，然后利用同分母分式的运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得，
故原分式方程的解为．
18. 先化简：，再从0，1，，中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，8
【解析】
【分析】本题考查是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可；
【详解】解：原式
当时，原式
19. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，八年级某班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，只有当抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是___________；
（2）丽丽决定参加游戏，请用树状图说明丽丽获得奖品的概率；
（3）游戏规定：所抽取的2张卡片中，能够组成“龙马精神”的，则丽丽获胜，否则小虎获胜，你觉得这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）图见解析，
（3）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）利用概率公式进行解答即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出丽丽获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
（3）根据（2）中求出的概念判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
∴丽丽获得奖品的概率为．
【小问3详解】
解：这个游戏不公平，理由：因为丽丽获得奖品的概率为，而小虎则为，，
故不公平．
20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接，若，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形,
∴, ，
∴
在中，，
∴
在中，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C.某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元.
（1）问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每千克“果冻橙”进价12元，每千克“脐橙”进价为8元
（2）该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元.
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答：每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元．
【小问2详解】
设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，
解得，
每千克“果冻橙”的利润为（元），
每千克“脐橙”的利润为（元），
设总利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最大值，，此时，．
答：该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元．
22. 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
（1）初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
（2）迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
（3）拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
一、选择题（共10题，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B都只是轴对称图形；
C、既是轴对称图形又是中心对称；
D、只是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
故选：A．
3. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 4D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件；根据分式的值为零的条件得且，即可以求出的值．
【详解】若分式的值为，则且．
得或．
当时，分母为，不合题意，舍去．
故的值为．
故选B．
4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式求出黄球的个数，即可求解．
【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右，
∴黄球的个数为，
∴布袋中白球可能有个．
故选：A．
5. 如图，在中，，对角线与相交于点，，则周长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定，掌握相关判定定理，是解题的关键．根据矩形的判定，平行四边形的判定和菱形的判定定理，进行判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等且平分的四边形是矩形，故选项错误；
D、四条边都相等的四边形是菱形，正确；
故选C．
7. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
9. 深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
10. 如图，，是正方形的边上两个动点，．连接，交于点，连接，交于点．若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，取的中点，连接、，则，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案．
【详解】解：如图，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共5题，共15分）
11. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12. 已知（b≠0），则的值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】由可设a＝2k，b＝3k，进而代入求出答案．
【详解】∵(b≠0)
可设a＝2k，b＝3k (k≠0)
则
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，可直接利用比例的性质或设k法．
13. 如图，六边形是由正和正五边形组成的，则的度数是 _________．
【答案】##132度
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边三角形的性质等知识，求出正多边形的内角是解题的关键；
利用等边三角形的性质求得的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得的度数，最后利用角的和差计算即可．
【详解】解：是正三角形，
，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
14. 若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
15. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为______．
【答案】2.8
【解析】
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H ，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
四边形ABCD是菱形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8-x，
在Rt△EHB中，BH=x，EH=x ，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6-x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为2.8．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共7题，共55分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的减法和除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
（2）先通分，然后利用同分母分式的运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得，
故原分式方程的解为．
18. 先化简：，再从0，1，，中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，8
【解析】
【分析】本题考查是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可；
【详解】解：原式
当时，原式
19. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，八年级某班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，只有当抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是___________；
（2）丽丽决定参加游戏，请用树状图说明丽丽获得奖品的概率；
（3）游戏规定：所抽取的2张卡片中，能够组成“龙马精神”的，则丽丽获胜，否则小虎获胜，你觉得这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）图见解析，
（3）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）利用概率公式进行解答即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出丽丽获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
（3）根据（2）中求出的概念判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
∴丽丽获得奖品的概率为．
【小问3详解】
解：这个游戏不公平，理由：因为丽丽获得奖品的概率为，而小虎则为，，
故不公平．
20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接，若，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形,
∴, ，
∴
在中，，
∴
在中，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C.某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元.
（1）问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每千克“果冻橙”进价12元，每千克“脐橙”进价为8元
（2）该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元.
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答：每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元．
【小问2详解】
设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，
解得，
每千克“果冻橙”的利润为（元），
每千克“脐橙”的利润为（元），
设总利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最大值，，此时，．
答：该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元．
22. 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
（1）初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
（2）迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
（3）拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
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