河南省驻马店市汝南县2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷+解析卷）

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一．选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限点的坐标的符号特点，即可得出正确选项．
【详解】解：点，横坐标小于零，纵坐标大于零，符合点在第二象限的条件，所以点位于第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，掌握四个象限的符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限是解答本题的关键．
2. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的概念逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意，选项错误；
B、有理数，不符合题意，选项错误；
C、是分数，属于有理数，不符合题意，选项错误；
D、是无理数，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了无理数的概念，初中范围内涉及到的无理数有三类：开方开不尽的数的方根，如；特定结构的数，如；特定意义的数，如．
3. 如图，已知直线，直线与直线，分别交于，两点，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】有平行线性质可得，由垂直的定义，可得，从而推出，即可求出的度数．
【详解】解：如图，

，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的意义，熟记平行线的性质是解答本题的关键．
4. 下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】估算选项中的数可知，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴介于6和7之间的数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
5. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 若在x轴上，则在y轴上
B. 如果直线a，b，c满足，，那么
C. 两直线平行，同旁内角互补
D. 相等的两个角是对顶角
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征、平行线的判定和性质、对顶角的性质分别进行判断即可．
【详解】解：A．若在x轴上，则，则即在y轴上，故选项正确，不符合题意；
B．如果直线a，b，c满足，，那么,故选项正确，不符合题意；
C．两直线平行，同旁内角互补，故选项正确，不符合题意；
D．相等的两个角不一定是对顶角，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标轴上点的坐标特征、平行线的判定和性质、对顶角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6. 如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为(－3，－1)，白棋④的坐标为(－2，－5)，则黑棋①的坐标为（ ）
A. (－1，－4)B. (1，－4)C. (3，1)D. (－3，－1)
【答案】B
【解析】
【分析】根据白棋②的坐标得出原点的位置，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系：
则黑棋①的坐标是（1，-4），
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是正确得出原点的位置．
7. 若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把各数化简，进而可得，，的大小关系．
详解】解：，，，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根和立方根的意义，正确化简各数是解答本题的关键．
8. 已知点关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两个点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得出答案．
【详解】点关于y轴的对称点Q的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的两个的坐标，掌握关于坐标轴对称的两个点的坐标特征是解题的关键．
9. 如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
10. 一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A. 45°，75°，120°，165°B. 45°，60°，105°，135°
C. 15°，60°，105°，135°D. 30°，60°，90°，120°
【答案】A
【解析】
【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【详解】解：如图，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______．
【答案】-1（答案不唯一，即可．）
【解析】
【分析】选取的的值不满足即可．
【详解】解：时，满足是实数，但不满足，
所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一，即可．）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12. 比较大小：________．(填“”，“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13. 在平面直角坐标系内，点M，N的坐标分别为和．已知轴，，点N在M右侧，则的值为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据平行线及坐标与图形得出，然后求代数式的值即可．
【详解】解：∵轴，，点N在M右侧，M，N的坐标分别为和．
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，求代数式的值，理解题意是解题关键．
14. 如图，三角形的边长为．将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．
由平移的性质可得，，由题意知，计算求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴，
故答案为：40．
15. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则_____．
【答案】##29度
【解析】
【分析】由矩形的性质和平行线的性质可得，再由折叠的性质进行求解即可．
【详解】∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及平行线的性质．掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）先进行开平方和开立方，再相加减即可；
（）先计算乘方，绝对值的化简和开立方，再相乘，最后相加、减即可．
【小问1详解】
原式，
，
【小问2详解】
原式，
，
，
【点睛】此题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则和运算顺序．
17. 求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
18. 若一个正数的两个不同的平方根分别为和的算术平方根等于它本身，求的立方根．
【答案】0或
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据一个数的平方根互为相反数列式求出a的值，然后根据b的算术平方根等于它本身，求出b的值，代入求出的值，再求立方根即可．
【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得．
∵b的算术平方根等于它本身，
∴或1，
当时，，的立方根是0；
当时，，的立方根是．
综上可知，的立方根是0或．
19. 补全下列证明过程：
已知：如图，求证：．
证明：如图，作射线，使，

（_______________）
又 （________________）
（_________________）
即
∴（_________________）
又
（__________________）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：如图，作射线，使，

（两直线平行内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
即，
∴（内错角相等，两直线平行），
又，
（平行于同一直线的两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行直线的性质与判定，平行线公里推论的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
20. 已知：如图，．
（1）求证：//；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)先利用垂直于同一直线的两直线平行，得到AE//FG，再利用平行线性质，得到∠1=∠A=∠2，从而得证．
（2）根据//，得到∠C=∠3，结合三角形内角和定理计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21. 在边长为的方格纸中有一个．
（1）作出的高，并求出面积；
（2）将向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到，请画出；
（3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．
【答案】（1），画图见解析；（2）画图见解析；（3）A1B1//AB，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.
（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1位置，连接即可得到；
（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可.
【详解】（1）．
如图所示：
（2）先将点A，，C分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点，，，再连接，，，此时即为所求．
（3）根据平移的性质可知：A1B1//AB，．A1C1//AC，．B1C1//BC，B1C1=BC，三组线段任写一组．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用．
22. 观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
（1）请写出第⑤个等式：______，化简：______；
（2）写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
（3）比较与1的大小．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；
（3）利用作差法比较大小．
【小问1详解】
解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
【小问2详解】
解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵，
∴．
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
23. 探索与实践：
数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用两个三角形纸片来探索平行．
如图：在三角形和三角形中，，，，将三角形绕着点C做旋转运动．
（1）当时，如图①所示，________．
（2）当与重合时，如图②所示，与的位置关系是________，理由是________．
（3）如图③所示，当时，等于多少度？说明理由．
（4）当时，直接写出的度数为________．
【答案】（1）
（2）平行；内错角相等，两直线平行
（3），理由见解析
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等解答即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行解答即可；
（3）根据两直线平行内错角相等解答即可；
（4）注意分类讨论，画出图形，根据平行线的性质及三角形内角和定理即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
故答案为．
【小问2详解】
∵与重合，，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：平行；内错角相等，两直线平行．
【小问3详解】
，理由如下：
由题意可知：，，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
即；
【小问4详解】
当线段与相交时，令与交点为F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当的延长线与相交于点F时；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、三角形内角和定理及三角形外角等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．