江苏省连云港市东海县2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省连云港市东海县2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
2．（3分）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
3．（3分）下列事件中，是确定事件的是
A．打开电视正好在播放广告
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是1
D．在一个装满白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
4．（3分）下列图形中的角是圆心角的是
A．B．
C．D．
5．（3分）若，与的面积比为，则与的对应边的比是
A．B．C．D．
6．（3分）某篮球队5名场上队员的身高（单位：分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员身高的
A．平均数变大，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大D．平均数变小，方差变小
7．（3分）关于的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根
A．2024B．C．D．
8．（3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，为交于点，连接交于点，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是 ．
10．（3分）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
11．（3分）若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是 ．
12．（3分）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ．
13．（3分）在中，，则是 三角形．
14．（3分）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇．赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么 ．
16．（3分）如图，在四边形中，，，，，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（10分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）0能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由．
19．（10分）为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”四组（依次记为，，，，小明和小刚两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学从四组题目中随机抽取一组．
（1）小刚抽到组题目的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小刚两名同学抽到的题目不是同一组的概率．
20．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）．音乐杜团；．体育社团；．美术杜团；．书法团；．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进调查统计，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查共随机抽取了 名学生，条形统计图中“．美术社团”有 人；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“．音乐社团”的学生共有多少名？
21．（10分）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
22．（10分）如图，已知是外一点，请只用直尺和圆规过点作的一条切线．（保留作图的痕迹）
23．（10分）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，，求的长．
24．（10分）为了让同学们感受三角函数与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣和探索欲望，数学备课组开展了“利用三角函数测高”综合实践活动．某活动小组对操场外的居民楼进行测量，如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角．在与点相距5.25米的测点处安置测倾器，测得点的仰角（点，与在一条直线上），求居民楼的高度．（参考数据：，，，计算结果精确到
25．（12分）如图①，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
（1）【证明与推断】：
①求证：四边形是正方形；
②推断：的值为 ；
（2）【探究与证明】：将正方形绕点顺时针方向旋转度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点．若，，求的长．
26．（12分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线交抛物线于点，并且，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点、、、，求四边形面积的最大值；
（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作直线平行于轴，在这条直线上是否存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
、化简后为不是一元二次方程，本选项不符合题意；
、是一元二次方程，本选项符合题意；
、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：．
2．（3分）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
【解答】解：点到圆心的距离为，小于的半径，
点在内．
故选：．
3．（3分）下列事件中，是确定事件的是
A．打开电视正好在播放广告
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是1
D．在一个装满白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【解答】解：、打开电视正好在播放广告，是随机事件，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
、随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是1，是随机事件，不符合题意；
、在一个装满白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
故选：．
4．（3分）下列图形中的角是圆心角的是
A．B．
C．D．
【解答】解：因为顶点在圆心的角为圆心角，
所以选项正确．
故选：．
5．（3分）若，与的面积比为，则与的对应边的比是
A．B．C．D．
【解答】解：与的面积比为，
与的对应边的比，
故选：．
6．（3分）某篮球队5名场上队员的身高（单位：分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员身高的
A．平均数变大，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大D．平均数变小，方差变小
【解答】解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变大，而人数没变，
所以他们的平均数变大，
由于数据的波动性变大，
所以数据的方差变大．
故选：．
7．（3分）关于的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根
A．2024B．C．D．
【解答】解：关于的一元二次方程一个实数根为2024，
，
，
，
是方程的实数根．
故选：．
8．（3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，为交于点，连接交于点，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：①四边形是正方形，
．
由折叠可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
．
故①正确；
②过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
．
，．
，
，
，
，
②不正确；
③由折叠可得：，
，
，
，
即平分．
③正确；
④连接，，，如图，
，，
，，
，
，
．
．
由折叠可得：，
．
．
由折叠可知：．
．
，，
，
，，，四点共圆，
．
在和中，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【解答】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
10．（3分）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 5 ．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得．
故答案为：5．
11．（3分）若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是 ．
【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
即：这种商品平均每次降价的百分率为．
故答案为：．
12．（3分）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 23 ．
【解答】解：解方程得：，，
当三边为4、9、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为，
当三边为4、9、14时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是23，
故答案为：23．
13．（3分）在中，，则是 钝角 三角形．
【解答】解：，
，，
解得：，
故，，
，
则是钝角三角形．
故答案为：钝角．
14．（3分）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇．赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为 ．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为，
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
16．（3分）如图，在四边形中，，，，，则的最大值是 ．
【解答】解：如图，以为边作等边，连结，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
以为直径作，则半径为，
动点在以为直径的上，连结并延长交于点，
，
在等边中，，为的中点，
，
，
即的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
则或，
，；
（2），，，
△，
则，
即，．
18．（10分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）0能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由．
【解答】（1）证明：△
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，有，
解得，
当时，方程为，
，，
能是方程的一个根，另一根为．
19．（10分）为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”四组（依次记为，，，，小明和小刚两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学从四组题目中随机抽取一组．
（1）小刚抽到组题目的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小刚两名同学抽到的题目不是同一组的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
小刚抽到组题目的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下所示：
所有可能出现的结果有16种，小西和小安抽取结果相同的有4种，
小明和小刚两名同学抽到的题目不是同一组的概率为．
20．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）．音乐杜团；．体育社团；．美术杜团；．书法团；．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进调查统计，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查共随机抽取了 200 名学生，条形统计图中“．美术社团”有 人；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“．音乐社团”的学生共有多少名？
【解答】解：（1）（名，
美术社团的人数为（人，
故答案为：200，30；
（2）扇形统计图中圆心角，
故答案为：54；
（3）（名，
答：该校选择“．音乐社团”的学生大约共有300名．
21．（10分）某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
【解答】解：根据题意，得，
解得（舍，．
当时，；
当时，；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价元．
根据题意，得，
解得，（舍．
当时，，；
当时，，；
答：每个台灯的售价为37元．
22．（10分）如图，已知是外一点，请只用直尺和圆规过点作的一条切线．（保留作图的痕迹）
【解答】解：如图，连接，以为直径作圆交于、，
，即为所求．
23．（10分）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，，求的长．
【解答】解：（1）与相切，
理由：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2），，
，
，
，
即，
解得：，或（舍去），
，
，
，
，
，
是的切线，
，
．
24．（10分）为了让同学们感受三角函数与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣和探索欲望，数学备课组开展了“利用三角函数测高”综合实践活动．某活动小组对操场外的居民楼进行测量，如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角．在与点相距5.25米的测点处安置测倾器，测得点的仰角（点，与在一条直线上），求居民楼的高度．（参考数据：，，，计算结果精确到
【解答】解：如图，延长交于点，
则米，，米，
设米，则米，
，，
是等腰直角三角形，
（米，
米，
在中，，
，
即，
解得：，
（米，
答：居民楼的高度约为22.6米．
25．（12分）如图①，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
（1）【证明与推断】：
①求证：四边形是正方形；
②推断：的值为 ；
（2）【探究与证明】：将正方形绕点顺时针方向旋转度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点．若，，求的长．
【解答】（1）①证明：四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；
②解：由①知四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
连接，如图，
由旋转性质知，
在和中，
，，
，
，
，
线段与之间的数量关系为；
（3）解：由（2）知，
，
，
，
、、三点共线．
，点、、三点共线，
，
，
，
，
，
；
，
设，则，
，
，
，
则，，
得，
解得：，即．
26．（12分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线交抛物线于点，并且，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点、、、，求四边形面积的最大值；
（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作直线平行于轴，在这条直线上是否存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点作轴，垂足为，如图1所示．
点的坐标为，
，．
，
，
，
点的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）过点作轴，垂足为，如图2所示．
当时，，
解得：，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
设点的坐标为，，则点的坐标为，
，，，，，
，
，
，
，
．
，
当时，取得最大值，最大值为9．
（3）连接，如图3所示．
，，
，
．
，
，
．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
直线的解析式为，直线的解析式为（可利用待定系数法求出）．
设点的坐标为，则过点且垂直的直线的解析式为．
联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
两直线的交点坐标为，．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
点的坐标为或．
综上所述：在这条直线上存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或．