河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则下列命题正确的是( )
A.B.C.D.
3．若函数是奇函数，则实数( )
A.0B.C.1D.
4．已知数列的前n项和为，则( )
A.81B.162C.243D.486
5．若，则( )
A.B.40C.41D.82
6．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
7．若直线（，）经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，( )
A.2B.C.D.
8．已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，（其中i是虚数单位，a，），若为纯虚数，则( )
A.B.C.D.
10．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( )
A.该地农户家庭年收入的极差为12
B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数，例如，.下列命题中正确的有( )
A.，
B.，，
C.，
D.，
三、双空题
12．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则___________；___________.
四、填空题
13．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则___________.
14．已知过双曲线（，）左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为___________.
五、解答题
15．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，且.
（1）求C的离心率；
（2）射线与C交于点B，且，求的周长.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求.
（2）若，再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使三角形有唯一解，并求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
17．在四棱锥中，平面底面，.
（1）是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；
（2）若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小.
19．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
（1）试求，，，的值；
（2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数.试求，与和的关系；
（3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥.
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，所以抛物线的准线方程为.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为，所以，，
对A：，故错误；
对B：，故正确；
对C：，故错误；
对D：，故错误；
故选：B.
3．答案：C
解析：当时，则，
则，解得，
此时，
当时，所以，符合题意.
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：数列的前n项和为，所以.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得.
故选：C.
6．答案：D
解析：函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D.
7．答案：D
解析：因为直线（，）经过点，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，
此时，则.
故选：D.
8．答案：C
解析：如图，作出圆锥的轴截面，
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E，F，半径分别为r，R，
即，，
根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径，
，又，
，，
上部分圆锥的底面半径为，高为，
又圆锥的底面半径为，高为，
上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，
上、下两部分几何体的体积之比是.
故选：C.
9．答案：AC
解析：因为，，
所以，
又为纯虚数，所以，即且.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：观察频率分布直方图，
对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误；
对于B，数据在的频率为，
数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确；
对于C，数据在内的频率为，C正确；
对于D，该地农户家庭年收入的平均值
（万元），D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：对于A，当时，，当时，，而，
因此，A错误；
对于B，，，令，则，，
因此，B正确；
对于C，取，，，则，，，
显然，C错误；
对于D，，当时，，当时，，而，
因此，此时，D正确.
故选：BD.
12．答案：0；3
解析：以，交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，，，
，，
.
故答案为：0；3.
13．答案：
解析：依题意m、n为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A，则，
所以，解得或（舍去），
所以的可能取值为0、1、2，
则，，，
所以.
故答案为：.
14．答案：/
解析：由题意，，所以直线的方程为，
令得，因为A是的中点，所以，
将点代入得，
结合化简得，所以，
所以或，所以或，
又，所以，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）8
解析：（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以离心率；
（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，
射线的方程为，
联立，整理可得，
解得或，则，即，
所以，解得，则，
所以的周长.
16．答案：（1）
（2）选条件①，；选条件②，不符合题意；选条件③，
解析：（1）由得.
而，则，所以A为锐角.
因为，
所以.
（2）若选条件①，由且A为锐角，
得.
由余弦定理及，
得，解得，故.
又边c与b的夹角A已知，所以唯一确定，所以.
若选条件②，由正弦定理得，
则.
又，得，所以B有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.
若选条件③，由且A为锐角，得.
又，得，即，则.
因此，易知唯一确定.
由正弦定理得，则，
所以.
17．答案：（1）不一定，理由见解析
（2）
解析：（1）因为平面底面，过点P作的垂线交于点E，
又平面底面，平面，所以底面，
若，则点A与点E重合，即底面，
所以垂直平面内任意直线，即与无论何种位置关系，都有，
所以不一定成立.
（2）因为是正三角形，则点E为的中点，
由（1）底面，又底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又是正三棱锥，即为等边三角形，
设，则O为的中点，作，则底面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上所述，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值.
（2）因为，，
则，
令，解得或0（舍），
所以当时，单调递增，
所以，即，
令，，则，
若方程在上存在实根，
则方程在，上存在实根，
当时在上单调，则在上有解，
即应该在上有解，但是在上无解，不合题意，
所以在上不单调，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以.
19．答案：（1），，，
（2），
（3）
解析：（1）由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则，
不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，，，.
（2）在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，，从而，
由（2）得，，
即正整数k满足的条件为：，，
，令，则，，
令，则，，
取，则，，，于是，
因此，即，
，
.