


河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.已知抛物线的标准方程是,则它的准线方程是( )
A.B.C.D.
2.已知集合,,则下列命题正确的是( )
A.B.C.D.
3.若函数是奇函数,则实数( )
A.0B.C.1D.
4.已知数列的前n项和为,则( )
A.81B.162C.243D.486
5.若,则( )
A.B.40C.41D.82
6.已知函数,则函数的图象在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
7.若直线(,)经过点,则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,( )
A.2B.C.D.
8.已知经过圆锥的轴的截面是正三角形,用平行于底面的截面将圆锥分成两部分,若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切),则上、下两部分几何体的体积之比是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.已知复数,(其中i是虚数单位,a,),若为纯虚数,则( )
A.B.C.D.
10.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中正确的是( )
A.该地农户家庭年收入的极差为12
B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为,表示不超过x的最大整数,例如,.下列命题中正确的有( )
A.,
B.,,
C.,
D.,
三、双空题
12.已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则___________;___________.
四、填空题
13.袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,则___________.
14.已知过双曲线(,)左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A,与y轴交于点B,且A是的中点,则C的离心率为___________.
五、解答题
15.已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为A,且.
(1)求C的离心率;
(2)射线与C交于点B,且,求的周长.
16.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求.
(2)若,再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知,使三角形有唯一解,并求的面积.
条件①:;条件②:;条件③:.
17.在四棱锥中,平面底面,.
(1)是否一定成立?若是,请证明,若不是,请给出理由;
(2)若是正三角形,且是正三棱锥,,求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知函数.
(1)讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(2)函数;若方程在上存在实根,试比较与的大小.
19.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为.
(1)试求,,,的值;
(2)设n是一个正整数,p,q是两个不同的素数.试求,与和的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数p,q;
②计算,欧拉函数;
③求正整数k,使得kq除以的余数是1;
④其中称为公钥,称为私钥.
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列,数列满足,求数列的前n项和.
参考答案
1.答案:A
解析:因为,所以,所以抛物线的准线方程为.
故选:A.
2.答案:B
解析:因为,所以,,
对A:,故错误;
对B:,故正确;
对C:,故错误;
对D:,故错误;
故选:B.
3.答案:C
解析:当时,则,
则,解得,
此时,
当时,所以,符合题意.
所以.
故选:C.
4.答案:B
解析:数列的前n项和为,所以.
故选:B.
5.答案:C
解析:因为,
令,可得,
令,可得,
两式相加可得.
故选:C.
6.答案:D
解析:函数,求导得,则,而,
所以所求切线方程为,即.
故选:D.
7.答案:D
解析:因为直线(,)经过点,则,
则,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为,
此时,则.
故选:D.
8.答案:C
解析:如图,作出圆锥的轴截面,
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为r,R,
即,,
根据题意可知为正三角形,易知,圆锥的底面半径,
,又,
,,
上部分圆锥的底面半径为,高为,
又圆锥的底面半径为,高为,
上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为,
上、下两部分几何体的体积之比是.
故选:C.
9.答案:AC
解析:因为,,
所以,
又为纯虚数,所以,即且.
故选:AC.
10.答案:BCD
解析:观察频率分布直方图,
对于A,该地农户家庭年收入的极差约为,A错误;
对于B,数据在的频率为,
数据在的频率为,因此75%分位数,,解得,B正确;
对于C,数据在内的频率为,C正确;
对于D,该地农户家庭年收入的平均值
(万元),D正确.
故选:BCD.
11.答案:BD
解析:对于A,当时,,当时,,而,
因此,A错误;
对于B,,,令,则,,
因此,B正确;
对于C,取,,,则,,,
显然,C错误;
对于D,,当时,,当时,,而,
因此,此时,D正确.
故选:BD.
12.答案:0;3
解析:以,交点为坐标原点,建立直角坐标系如图所示:
则,,,
,,
.
故答案为:0;3.
13.答案:
解析:依题意m、n为非负整数,记取出的两个球都是红球为事件A,则,
所以,解得或(舍去),
所以的可能取值为0、1、2,
则,,,
所以.
故答案为:.
14.答案:/
解析:由题意,,所以直线的方程为,
令得,因为A是的中点,所以,
将点代入得,
结合化简得,所以,
所以或,所以或,
又,所以,所以.
故答案为:.
15.答案:(1)
(2)8
解析:(1)依题意可得上顶点,左,右焦点分别为,,
所以,,
又,
所以,即,即,
所以,所以离心率;
(2)由(1)可得,,则椭圆方程为,
射线的方程为,
联立,整理可得,
解得或,则,即,
所以,解得,则,
所以的周长.
16.答案:(1)
(2)选条件①,;选条件②,不符合题意;选条件③,
解析:(1)由得.
而,则,所以A为锐角.
因为,
所以.
(2)若选条件①,由且A为锐角,
得.
由余弦定理及,
得,解得,故.
又边c与b的夹角A已知,所以唯一确定,所以.
若选条件②,由正弦定理得,
则.
又,得,所以B有两解,分别对应两个三角形,不符合题意.
若选条件③,由且A为锐角,得.
又,得,即,则.
因此,易知唯一确定.
由正弦定理得,则,
所以.
17.答案:(1)不一定,理由见解析
(2)
解析:(1)因为平面底面,过点P作的垂线交于点E,
又平面底面,平面,所以底面,
若,则点A与点E重合,即底面,
所以垂直平面内任意直线,即与无论何种位置关系,都有,
所以不一定成立.
(2)因为是正三角形,则点E为的中点,
由(1)底面,又底面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,又是正三棱锥,即为等边三角形,
设,则O为的中点,作,则底面,
如图建立空间直角坐标系,则,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,则,取,
设平面的法向量为,则,取,
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.答案:(1)答案见解析
(2)
解析:(1)函数的定义域为,
又,
当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值,
当时,令,解得,
所以当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以当时,取到极小值,无极大值,
综上所述,当时,在上单调递增,无极值,
当时,在上单调递减,在上单调递增,极小值为,无极大值.
(2)因为,,
则,
令,解得或0(舍),
所以当时,单调递增,
所以,即,
令,,则,
若方程在上存在实根,
则方程在,上存在实根,
当时在上单调,则在上有解,
即应该在上有解,但是在上无解,不合题意,
所以在上不单调,即,
由(1)知,即,
所以,,
令,,
则,
所以在上单调递增,
所以,
所以.
19.答案:(1),,,
(2),
(3)
解析:(1)由欧拉函数的定义知,不越过3且与3互素的正整数有1,2,则,
不越过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则,
不越过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则,
不越过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则,
所以,,,.
(2)在不大于的正整数中,只有3的倍数不与互素,而3的倍数有个,
因此.
由p,q是两个不同的素数,得,,
在不超过的正整数中,p的倍数有个,q的倍数有个,
于是,
所以.
(3)计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是,则,,从而,
由(2)得,,
即正整数k满足的条件为:,,
,令,则,,
令,则,,
取,则,,,于是,
因此,即,
,
.
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