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    河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

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    这是一份河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知抛物线的标准方程是,则它的准线方程是( )
    A.B.C.D.
    2.已知集合,,则下列命题正确的是( )
    A.B.C.D.
    3.若函数是奇函数,则实数( )
    A.0B.C.1D.
    4.已知数列的前n项和为,则( )
    A.81B.162C.243D.486
    5.若,则( )
    A.B.40C.41D.82
    6.已知函数,则函数的图象在点处的切线方程为( )
    A.B.C.D.
    7.若直线(,)经过点,则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,( )
    A.2B.C.D.
    8.已知经过圆锥的轴的截面是正三角形,用平行于底面的截面将圆锥分成两部分,若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切),则上、下两部分几何体的体积之比是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知复数,(其中i是虚数单位,a,),若为纯虚数,则( )
    A.B.C.D.
    10.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
    根据此频率分布直方图,下面结论中正确的是( )
    A.该地农户家庭年收入的极差为12
    B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
    C.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
    D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
    11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为,表示不超过x的最大整数,例如,.下列命题中正确的有( )
    A.,
    B.,,
    C.,
    D.,
    三、双空题
    12.已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则___________;___________.
    四、填空题
    13.袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,则___________.
    14.已知过双曲线(,)左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A,与y轴交于点B,且A是的中点,则C的离心率为___________.
    五、解答题
    15.已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为A,且.
    (1)求C的离心率;
    (2)射线与C交于点B,且,求的周长.
    16.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
    (1)求.
    (2)若,再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知,使三角形有唯一解,并求的面积.
    条件①:;条件②:;条件③:.
    17.在四棱锥中,平面底面,.
    (1)是否一定成立?若是,请证明,若不是,请给出理由;
    (2)若是正三角形,且是正三棱锥,,求平面与平面夹角的余弦值.
    18.已知函数.
    (1)讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
    (2)函数;若方程在上存在实根,试比较与的大小.
    19.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为.
    (1)试求,,,的值;
    (2)设n是一个正整数,p,q是两个不同的素数.试求,与和的关系;
    (3)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言:
    ①准备两个不同的、足够大的素数p,q;
    ②计算,欧拉函数;
    ③求正整数k,使得kq除以的余数是1;
    ④其中称为公钥,称为私钥.
    已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列,数列满足,求数列的前n项和.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:因为,所以,所以抛物线的准线方程为.
    故选:A.
    2.答案:B
    解析:因为,所以,,
    对A:,故错误;
    对B:,故正确;
    对C:,故错误;
    对D:,故错误;
    故选:B.
    3.答案:C
    解析:当时,则,
    则,解得,
    此时,
    当时,所以,符合题意.
    所以.
    故选:C.
    4.答案:B
    解析:数列的前n项和为,所以.
    故选:B.
    5.答案:C
    解析:因为,
    令,可得,
    令,可得,
    两式相加可得.
    故选:C.
    6.答案:D
    解析:函数,求导得,则,而,
    所以所求切线方程为,即.
    故选:D.
    7.答案:D
    解析:因为直线(,)经过点,则,
    则,
    当且仅当时,即时,等号成立,
    所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为,
    此时,则.
    故选:D.
    8.答案:C
    解析:如图,作出圆锥的轴截面,
    设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为r,R,
    即,,
    根据题意可知为正三角形,易知,圆锥的底面半径,
    ,又,
    ,,
    上部分圆锥的底面半径为,高为,
    又圆锥的底面半径为,高为,
    上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为,
    上、下两部分几何体的体积之比是.
    故选:C.
    9.答案:AC
    解析:因为,,
    所以,
    又为纯虚数,所以,即且.
    故选:AC.
    10.答案:BCD
    解析:观察频率分布直方图,
    对于A,该地农户家庭年收入的极差约为,A错误;
    对于B,数据在的频率为,
    数据在的频率为,因此75%分位数,,解得,B正确;
    对于C,数据在内的频率为,C正确;
    对于D,该地农户家庭年收入的平均值
    (万元),D正确.
    故选:BCD.
    11.答案:BD
    解析:对于A,当时,,当时,,而,
    因此,A错误;
    对于B,,,令,则,,
    因此,B正确;
    对于C,取,,,则,,,
    显然,C错误;
    对于D,,当时,,当时,,而,
    因此,此时,D正确.
    故选:BD.
    12.答案:0;3
    解析:以,交点为坐标原点,建立直角坐标系如图所示:
    则,,,
    ,,
    .
    故答案为:0;3.
    13.答案:
    解析:依题意m、n为非负整数,记取出的两个球都是红球为事件A,则,
    所以,解得或(舍去),
    所以的可能取值为0、1、2,
    则,,,
    所以.
    故答案为:.
    14.答案:/
    解析:由题意,,所以直线的方程为,
    令得,因为A是的中点,所以,
    将点代入得,
    结合化简得,所以,
    所以或,所以或,
    又,所以,所以.
    故答案为:.
    15.答案:(1)
    (2)8
    解析:(1)依题意可得上顶点,左,右焦点分别为,,
    所以,,
    又,
    所以,即,即,
    所以,所以离心率;
    (2)由(1)可得,,则椭圆方程为,
    射线的方程为,
    联立,整理可得,
    解得或,则,即,
    所以,解得,则,
    所以的周长.
    16.答案:(1)
    (2)选条件①,;选条件②,不符合题意;选条件③,
    解析:(1)由得.
    而,则,所以A为锐角.
    因为,
    所以.
    (2)若选条件①,由且A为锐角,
    得.
    由余弦定理及,
    得,解得,故.
    又边c与b的夹角A已知,所以唯一确定,所以.
    若选条件②,由正弦定理得,
    则.
    又,得,所以B有两解,分别对应两个三角形,不符合题意.
    若选条件③,由且A为锐角,得.
    又,得,即,则.
    因此,易知唯一确定.
    由正弦定理得,则,
    所以.
    17.答案:(1)不一定,理由见解析
    (2)
    解析:(1)因为平面底面,过点P作的垂线交于点E,
    又平面底面,平面,所以底面,
    若,则点A与点E重合,即底面,
    所以垂直平面内任意直线,即与无论何种位置关系,都有,
    所以不一定成立.
    (2)因为是正三角形,则点E为的中点,
    由(1)底面,又底面,所以,
    又,,平面,所以平面,
    又平面,所以,又是正三棱锥,即为等边三角形,
    设,则O为的中点,作,则底面,
    如图建立空间直角坐标系,则,,,,,
    所以,,,,
    设平面的法向量为,则,取,
    设平面的法向量为,则,取,
    所以,
    所以平面与平面夹角的余弦值为.
    18.答案:(1)答案见解析
    (2)
    解析:(1)函数的定义域为,
    又,
    当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值,
    当时,令,解得,
    所以当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    所以当时,取到极小值,无极大值,
    综上所述,当时,在上单调递增,无极值,
    当时,在上单调递减,在上单调递增,极小值为,无极大值.
    (2)因为,,
    则,
    令,解得或0(舍),
    所以当时,单调递增,
    所以,即,
    令,,则,
    若方程在上存在实根,
    则方程在,上存在实根,
    当时在上单调,则在上有解,
    即应该在上有解,但是在上无解,不合题意,
    所以在上不单调,即,
    由(1)知,即,
    所以,,
    令,,
    则,
    所以在上单调递增,
    所以,
    所以.
    19.答案:(1),,,
    (2),
    (3)
    解析:(1)由欧拉函数的定义知,不越过3且与3互素的正整数有1,2,则,
    不越过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则,
    不越过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则,
    不越过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则,
    所以,,,.
    (2)在不大于的正整数中,只有3的倍数不与互素,而3的倍数有个,
    因此.
    由p,q是两个不同的素数,得,,
    在不超过的正整数中,p的倍数有个,q的倍数有个,
    于是,
    所以.
    (3)计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是,则,,从而,
    由(2)得,,
    即正整数k满足的条件为:,,
    ,令,则,,
    令,则,,
    取,则,,,于是,
    因此,即,

    .
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