2023-2024学年江苏省盐城市经开区七年级（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市经开区七年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. x3+x3=2x6B. x2⋅x4=x8C. (xy)m=xymD. (−x5)4=x20
2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−4=(x+2)(x−2)B. ab−ac+d2=a(b−c)+d2
C. a(x+y)=ax+ayD. 18x2y=2x2⋅9y
3.如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA=100m，PB=90m，那么点A与点B之间的距离不可能是( )
A. 90m
B. 100m
C. 150m
D. 200m
4.下列分解因式正确的是( )
A. −a+a3=−a(1+a2)B. 2a−4b+2=2(a−2b)
C. a2−4=(a−2)2D. a2−2a+1=(a−1)2
5.若4a2−2ka+9是一个完全平方式，则k=( )
A. 12B. ±12C. 6D. ±6
6.若关于x的多项式(x2+ax+2)(2x−4)展开合并后不含x2项，则a的值是( )
A. 0B. 12C. 2D. −2
7.如图，在△ABC中，∠A=48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An−1BC与∠An−1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=40°，则∠2=( )
A. 35°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.数据0.0000314用科学记数法可表示为______．
10.在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示.按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有______个三角形．
11.若(3m−2)0=1有意义，则m的取值范围是 ．
12.计算：(−0.25)2022×(−4)2023= ______．
13.如图，已知AB/​/CD，∠EHG=60°，∠HGF=20°，则∠BEF= °.
14.如果4x2−mxy+9y2是一个完全平方式，则m=______．
15.若a=−5，b=0.2，c=2，则−10(−a3b2c)2⋅15a⋅(bc)3−(2abc)3⋅(−a2b2c)2= ______．
16.如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，E是平面内任意一点(点E不在直线AB，CD，AC上)，设∠BAE=α，∠DCE=β.下列各式：①α+β；②α−β；③β−α；④180°−α−β；⑤360°−α−β.以上结果可以作为∠AEC的度数的是______.(填序号)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(−2a)2⋅a3b2．
(2)(x+y)(x−3y)+2x(y−x)．
18.(本小题8分)
因式分解
(1)(x2−2y)2−(1−2y)2；
(2)x4x4−8x2y2+16y4．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE/​/BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF.若∠1=∠AED．
(1)求证：DF/​/AB．
(2)若∠1=50°，DF平分∠CDE，求∠A的度数．
20.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形ABC平移得到三角形A1B1C1，使点C的对应点为点C1．

(1)请在图中画出三角形A1B1C1；
(2)过点C1画出线段A1B1的垂线段，垂足为O；
(3)三角形A1B1C1的面积为______．
21.(本小题10分)
如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系
(1)如图①，已知AB/​/CD，求证：∠BPD=∠B+∠D；(提示；可过点P作PO//AB)
(2)如图②，已知AB/​/CD，求证：∠B=∠P+∠D．
22.(本小题10分)
(1)用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．
请你用一个等式表示(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系______．
(2)根据(1)中的数量关系，解决如下问题：
①已知m+n=6，m2+n2=26，求m−n的值；
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=74，求(x−2022)2的值．
23.(本小题10分)
如图，用4个长是a，宽是b的长方形拼成了一个如图2所示的“回形”正方形．
(1)拼图前后，请写出所用图形(4个长方形)的面积的计算方法：
拼图前：______；拼图后：______；因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：______．
(2)利用(1)中得到的恒等式，解决下面的问题：已知2(x+y)=10，2(x−y)=2，求xy的值．
24.(本小题12分)
已知：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF=45°，CF(1)当t=15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是______，∠ANM= ______°；
(2)是否存在某个时刻t，使得EF/​/AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、x3+x3=2x3，故原题计算错误；
B、x2⋅x4=x6，故原题计算错误；
C、(xy)m=xmym，故原题计算错误；
D、(−x5)4=x20，故原题计算正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．
2.【答案】A
【解析】解：A.x2−4=(x+2)(x−2)，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B.ab−ac+d2=a(b−c)+d2，把没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不合题意；
C.a(x+y)=ax+ay，是整式的乘法，不是因式分解，故C不合题意；
D.18x2y=2x2⋅9y，等式的左边不是多项式，故D不合题意；
故选：A．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
3.【答案】D
【解析】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA−PB故选：D．
首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4.【答案】D
【解析】解：A、−a+a3=−a(1−a2)=−a(1+a)(1−a)，故A选项错误；
B、2a−4b+2=2(a−2b+1)，故B选项错误；
C、a2−4=(a−2)(a+2)，故C选项错误；
D、a2−2a+1=(a−1)2，故D选项正确．
故选：D．
根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵4a2−2ka+9=(2a)2−2ka+32，
∴−2ka=±2⋅2a⋅3，
解得k=±6．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
6.【答案】C
【解析】解：原式=2x3−4x2+2ax2−4ax+4x−8
=2x3+(2a−4)x2+(4−4a)x−8，
由题意可知：2a−4=0，
∴a=2，
故选：C．
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是令含x2的系数为零，本题属于基础题型．
根据多项式乘多项式法则展开，合并后令x2项的系数为0，即可求出答案．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=180°−12∠ACD−∠ACB−12∠ABC
=180°−12(∠ABC+∠A)−(180°−∠A−∠ABC)−12∠ABC
=12∠A
=48°21；
同理可得∠A2=12∠A1=48°22，…
∴∠An=48°2n．
∴要使∠An的度数为整数，则n的最大值为4，此时∠A4=3°．
故选：C．
根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A1=12∠A=48°21，∠A2=12∠A1=48°22，…，依此类推可知∠An的度数
本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．
8.【答案】D
【解析】解：如图，由题意知：AB/​/CD，∠FEG=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故选：D．
根据题意可知AB/​/CD，∠FEG=90°，由平行线的性质可求解∠2=∠3，利用平角的定义和等量代换可求解∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，找到题目中的隐含条件是解题的关键．
9.【答案】3.14×10−5
【解析】解：数据0.0000314用科学记数法可表示为：3.14×10−5，
故答案为：3.14×10−5．
根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案．
本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】20
【解析】解：1个三角形需要火柴棍3根，
2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…，
发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，
∴2n+1=41，
解得：n=20．
故答案为：20．
根据图形的变化，通过归纳总结得到规律．
本题考查了图形的变化类，关键是通过归纳总结得到规律．
11.【答案】m≠23
【解析】解：∵(3m−2)0=1有意义，
∴3m−2≠0，
解得：m≠23，
故答案为：m≠23．
【分析】此题主要考查了零指数幂的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1(a≠0)；②00无意义．
若(3m−2)0=1有意义，则3m−2≠0，据此求出m的取值范围即可．
12.【答案】−4
【解析】解：原式=(−0.25)2022×(−4)2022×(−4)
=[(−0.25)×(−4)]2022×(−4)
=12022×(−4)
=1×(−4)
=−4，
故答案为：−4．
先根据乘方的意义，把(−4)2023写成(−4)2022×(−4)，然后逆用积的乘方法则进行简便计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则．
13.【答案】40
【解析】解：∵∠EHG是△GHF的外角，
∴∠HFG=∠EHG−∠HGF，
∵∠EHG=60°，∠HGF=20°，
∴∠HFG=60°−20°=40°，
∵AB/​/CD，
∴∠BEF=∠HFG=40°．
故答案为：40．
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
先根据三角形外角的性质求出∠HFG的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
14.【答案】±12
【解析】解：∵4x2−mxy+9y2是一个完全平方式，
∴−mxy=±2×2x×3y，
∴m=±12．
这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15.【答案】320
【解析】解：−10(−a3b2c)2⋅15a⋅(bc)3−(2abc)3⋅(−a2b2c)2
=−10⋅a6b4c2⋅15a⋅b3c3−8a3b3c3⋅a4b4c2
=−2a7b7c5−8a7b7c5
=−10a7b7c5．
当a=−5，b=0.2，c=2时，原式=−10×(−5×0.2)7×25=320．
故答案为：320．
首先利用积的乘方法则以及单项式与单项式相乘的法则将待求式展开，可以得到−2a7b7c5−8a7b7c5，对上式合并同类项，还可得到−10a7b7c5，再将a、b、c的值代入化简后的式子，求解即可解题．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则以及幂的乘方，积的乘方，学会用整体代入的思想解决问题．
16.【答案】①②③⑤
【解析】解：(1)如图1，由AB/​/CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β−α．
(2)如图2，过E2作AB平行线，则由AB/​/CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
(3)如图3，由AB/​/CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α−β．
(4)如图4，由AB/​/CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°−α−β．
(5)当点E是∠BAC和∠ACD的交点时，α+β=∠E=90°，α+β+∠E=180°；
(6)当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α−β或β−α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β−α，α+β，α−β，360°−α−β．
所以可以表示∠AEC的度数的有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
17.【答案】解：(1)原式=4a2⋅a3b2
=4a5b2；
(2)原式=x2−3xy+xy−3y2+2xy−2x2
=−x2−3y2．
【解析】(1)先计算乘方，再计算乘法即可；
(2)先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：(1)(x2−2y)2−(1−2y)2
=(x2−2y+1−2y)(x2−2y−1+2y)
=(x2−4y+1)(x2−1)
=(x2−4y+1)(x−1)(x+1)；
(2)x4−8x2y2+16y4
=(x2−4y2)2
=[(x+2y)(x−2y)]2
=(x+2y)2(x−2y)2．
【解析】(1)先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可；
(2)先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等．
19.【答案】解：(1)因为DE/​/BC，
所以∠B=∠AED，
因为∠1=∠AED，
所以∠1=∠B，
所以DF/​/AB．
(2)因为DE/​/BC，
所以∠EDF=∠1=50°，
因为DF平分∠CDE，
所以∠EDC=2∠EDF=100°，
所以∠EDA=80°
所以∠A=180°−∠EDA−∠AED=180°−∠EDA−∠1=50°．
【解析】(1)因为DE/​/BC，可知∠B=∠AED，再根据∠1=∠AED，可知∠1=∠B，进而可证明DF/​/AB．
(2)由DE/​/BC可知∠EDF=∠1，再根据DF平分∠CDE可求∠EDC，再由三角形内角和的性质可求∠A．
本题考查平行线的性质的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和三角形内角和的性质进行角的转化和计算．
20.【答案】3
【解析】解：(1)如图△A1B1C1为所作图形；
；
(2)如图线段C1O即为所作；
(3)△A1B1C1的面积为12×2×3=3，
故答案为：3．
(1)根据平移的性质，找到点A、B对应的点A1、B1，然后画出△A1B1C1即可；
(2)根据垂线的定义作图即可；
(3)利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了平移的性质，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21.【答案】(1)证明：过点P作PE/​/AB，如图1所示．
∵AB/​/PE，AB/​/CD，(已知)
∴AB//PE//CD.(在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，(两直线平行，内错角相等)
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D.(等量代换)
(2)证明：过点P作PE/​/CD，如图2所示．
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠BOD，
∵PE//CD(辅助线)，
∴∠BOD=∠BPE(两直线平行，同位角相等)；∠D=∠DPE(两直线平行，内错角相等)；
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D(等量代换)，
∴∠BOD=∠P+∠D(等量代换)，
即∠B=∠P+∠D．
【解析】(1)过点P作PE/​/AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；
(2)过点P作PE/​/CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论．
本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．本题属于中档题，(1)难度不大；(2)在实际做题中完全可以利用三角形外角的性质来解决问题，平行线的性质是很简单，但是很多时候用反而不如不用好．
22.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为(a+b)的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−2ab，
由两种方法看出a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)①∵m+n=6，
∴(m+n)2=36=m2+2mn+n2，
∵m2+n2=26，
∴2mn=10，
即mn=5；
∴(m−n)2=m2−2mn+n2=26−10=16，
∴m−n=±4；
②设a=x−2021，b=x−2023，
则a−b=2，a2+b2=(x−2021)2+(x−2023)2=74，
∴ab=a2+b2−(a−b)22=74−222=35，
即(x−2021)(x−2023)=35，
∴[(x−2022)+1][(x−2022)−1]=(x−2022)2−1=35，
∴(x−2022)2=36．
(1)阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
(2)①先根据完全平方公式求出mn=5，再根据(m−n)2=m2−2mn+n2作答即可；
②设a=x−2021，b=x−2023，先根据题意求出ab的值，再用完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
23.【答案】4ab (a+b)2−(a−b)2 4ab=(a+b)2−(a−b)2
【解析】解：(1)拼图前，4个长为a，宽为b的面积和为4ab，
拼图后，大正方形的边长为a+b，中间小正方形的边长为a−b，阴影部分(4个长方形)的面积为两个正方形的面积差，即(a+b)2−(a−b)2，
由拼图前后4个长方形的面积不变，可得
4ab=(a+b)2−(a−b)2，
故答案为：4ab，(a+b)2−(a−b)2，4ab=(a+b)2−(a−b)2；
(2)根据条件可得：
x+y=5，x−y=1，
∴4xy=(x+y)2−(x−y)2=25−1=24，
故xy=6．
(1)拼图前是4个长为a，宽为b的面积和，即4ab，拼图后阴影部分是两个正方形的面积差，由拼图前后阴影部分的面积相等即可得出答案；
(2)由已知条件可得x+y=5，x−y=1，再利用(1)的结论进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】EF⊥AD 60
【解析】解：(1)当t=15时，则∠FCD=75°，
由题意可知，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∠ADC=2∠B=60°，∠NFC=180°−∠EFC=180°−45°=135°，
在四边形MFCD中，∠AMN=360°−∠ADC−∠NFC−∠FCD=90°，
∴EF⊥AD．
∴∠ANM=90°−30°=60°，
故答案为：EF⊥AD，60；
(2)存在，如图，当旋转角<180°时，
延长DC交EF于点H，
∵EF/​/AD，
∴∠ADH+∠FHC=180°，
∴∠FHC=120°，
∴∠FCH=180°−∠CHF−∠CFE=15°，
∴∠FCD=165°，
∴t=165°15∘=11，
当旋转角>180°时，
同理可求：t=165°+180°15=23，
综上所述：t的值为23或11；
(3)由(1)可知，∠AMN=360°−∠ADC−∠NFC−∠FCD=360°−60°−(90°+45°)−∠FCD=165°−∠FCD，
∴∠FCD=165°−∠AMN，
∠FCD即CE旋转的度数，
在△AMN中，∠NAM=30°，大小固定，
①如图1，当∠NAM=∠ANM=30°时，∠AMN=120°，∠FCD=165°−120°=45°，即此时CE旋转了45°；
②如图2，当∠ANM=∠AMN=75°时，∠FCD=165°−75°=90°，即此时CE旋转了90°；
③如图3，∠NAM=∠AMN=30°，此时E与M重合，∠ACE=∠CEF=45°，即此时CE旋转了315°；
④如图4，∠AMN=∠ANM=75°，此时点E在BC上，即此时CE旋转了270°；
综上，当CE旋转了45°或90°或270°或315°时，△AMN中有两个角相等．
(1)先根据四边形的内角和为360°可得∠AMN=90°，EF⊥AD，再由角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可得结论；
(2)分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求t的值；
(3)分四种情况分别画图，由四边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．