2024湖南省雅礼教育集团高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2024湖南省雅礼教育集团高二下学期期中考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足，则等于（ ）
A．1B．C．2D．4
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
5．已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A．65B．55C．45D．35
6．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A．180种B．150种C．90种D．60种
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
①有两个极值点②的图象关于原点对称
③有三个零点④在上单调递减
A．①④B．②④C．①③④D．①②③
8．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设，为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
11．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则关于中心对称
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知平面向量，若与共线，则实数______．
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2），，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长．
16．（15分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
18．（17分）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
（1）①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求头数的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
19．（17分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划．活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售．摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向．假设三个班的人数比例为6:7:8．
（1）现从三个班中随机抽取一位同学；
（ⅰ）求该同学有购买意向的概率；
（ⅱ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．
雅礼教育集团2024年上期期中考试
高二数学答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D【详解】因，则，故．故选：D．
2．B【详解】由已知，所以，选B．
3．A【详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
4．B【详解】函数，
有．故选B．
5．D【详解】设数列的公差为，则，．故选：D
6．C【详解】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有2，2，1一种情况，即种分组方法，再将3组志愿者分配给3位老人，则共有种安排方法．故选：C
7．C【详解】函数的定义域为，求导得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，④正确，因此的极大值为，极小值为，①正确，而，因此函数有三个零点，③正确；又，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误。故选C
8．A【详解】过作，
由于圆截直线的弦长为，所以，
由于，所以，结合是的中点，
所以，故，
化简得
所以，故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．BD【详解】A：若且，则m，n可能相交、平行或异面，故A错误；
B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；
D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选：BD
10．AD【详解】，，A正确；
将的图象右移个单位后，
得函数的图象，
不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确．故选：AD．
11．BC【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A错误；
对于B，由A可知，不妨令，有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以即为偶函数，故B正确；
对于C，若，令，有，
所以关于中心对称，故C正确；
对于D，关于中心对称，又为偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，所以，
所以，
所以，故D错误．故选：BC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．2【详解】，
若与共线，则，解得．故答案为：2．
13．7【详解】的展开式中的系数为
，
由二项式展开式的通项公式可得，
令和，则的系数为．故答案为：7．
14．（【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）【详解】（1）因为
，
即，
令，解得，
所以函数的单调增区间为．
（2）由得．
．
，由余弦定理得，
的周长为．
16．（15分）【详解】（1）底面，底面，
．
又平面，
平面．
（2）由题意易知四边形为直角梯形，
．
．
（3）【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
易知平面，
平面的一个法向量．
设平面的法向量，
令
，
．
故平面与平面所成角的余弦值为．
17．（15分）【详解】解：（1），
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．
（3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
青少年组有人，中老年组有人，
参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下；
零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，
根据独立性检验，可以认为零假设不成立，即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．
（2）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
所以，．
18．（17分）【详解】（1）①当时，．
列表：
描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；
（2）由题意，，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，
因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，使得成立，
所以，
所以，解得，所以实数的最小值为．
19．（17分）【详解】（1）（ⅰ）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”．由题意可知，，
所以，由全概率公式可得：
（ⅱ）由条件概率可得．
（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为．设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为．
于是得到，易得．
由于，
于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，
故．
于是
．
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75．关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
中老年
10
合计
200
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
90
30
120
中老年
70
10
80
合计
160
40
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
3
2
1
0
1
2
3
4