2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习03（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习03（含答案），共13页。
已知抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若点P是直线y＝x＋1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于C点，直线y＝kx(k＜0)交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点
(1)分别求出a、b的值；
(2)求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(3)探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．
如图所示，已知抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CABtan∠CBA＝1．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点P是抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
(3)若M为线段AO上任意一点，求MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值．
如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上，并过点B(0，1)，直线n：y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7，7)．
(1)求抛物线m的解析式；
(2)P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
(3)抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c图象经过A(﹣1,0)，B(5,0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC.
(1)求抛物线解析式；
(2)在对称轴上找一点P，使P，B，C构成的三角形为直角三角形，求点P的坐标；
(3)在抛物线上找一点Q，使∠QBA=∠ABC，求点Q的坐标.

如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．
已知二次函数y=ax2﹣2ax＋c(a＜0)的最大值为4，且抛物线过点(3.5，﹣2.25)，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|＋c的图象只有一个公共点，求t的取值．
如图1，在平面直角坐标系中，点A(﹣8，0)、B(2，0)，C为y轴正半轴上点，sin∠CAB＝eq \f(3,5)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点.
(1)求点C的坐标及抛物线的函数关系式；
(2)连接AC，点D在线段AC上方的抛物线上，过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点E，连接DC、AD，设点D的横坐标为m.
①当m为何值时，△DEC恰好是以DE为底边的等腰三角形？
②若△ACD和△ABC面积满足S△ACD＝eq \f(3,5)S△ABC，求点D的坐标；
(3)如图2，M为OA中点，设P为线段AC上一点(不含端点)，连接MP，动点G从点M出发，沿线段MP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿着线段PC以每秒eq \f(5,3)个单位的速度运动到C后停止.若点G在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点P的坐标.
\s 0 答案
解：(1)由题意得：
，解得：．
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
∵点A(﹣1，0)，点B(3，0)，
∴AB＝4．
如图，当四边形ABQP为菱形时，
过点P作PC⊥x轴于点C，
令x＝0，则y＝1，
∴D(0，1)，
∴OD＝1，
令y＝0，则x＋1＝0，
∴x＝﹣1，
∴A(﹣1，0)．
∴OA＝1．
∴OA＝OD，
∴∠DAO＝45°．
∵PC⊥x轴，
∴PC＝AC．
∵四边形ABQP为菱形，
∴PA＝AB＝4．
∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
∴P(2eq \r(2)﹣1，2eq \r(2))，Q(3＋2eq \r(2)，2eq \r(2))．
抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2eq \r(2)个单位，再向上平移2eq \r(2)个单位；
同理，当点P在第三象限时，P(﹣2eq \r(2)﹣1，﹣2eq \r(2))，Q(3﹣2eq \r(2)，﹣2eq \r(2))，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2eq \r(2)个单位，再向下平移2eq \r(2)个单位；
如图，当四边形APBQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠BAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠PAQ＝90°，
∴四边形APBQ为正方形，
∴P(1，2)，Q(1，﹣2)．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
如图，当四边形ABPQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠PAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠BAQ＝90°，
∴四边形ABPQ为正方形，
∴P(3，4)，Q(﹣1，4)．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)、B(3，0)，
则，解得；
(2)∵a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
设线段BC所在的直线的函数解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，
则，解得，
∴线段BC的函数解析式为y＝x﹣3(0≤x≤3)；
(3)存在，理由：
过点D作DF∥y轴，交BC于点F，如图：
∵OC∥DF，
∴△OEC∽△DFE，
∴＝＝，
设点D为(m，m2﹣2m﹣3)，则点F(m，m﹣3)，
∴DF＝m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋3m，
∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，
∵﹣eq \f(1,3)＜0，∴当m＝eq \f(3,2)时，有最大值，此时点D(eq \f(3,2)，﹣eq \f(15,4))，
∴k＝﹣eq \f(5,2)．
解：(1)设点A、B的横坐标分别为x1，x2，
令y＝0可得﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋c＝0，
∴x1x2＝﹣2c，
∵tan∠CABtan∠CBA＝1，
∴OC2＝OAOB＝(﹣x1)x2＝2C，
即c2＝2c，解得c1＝0(舍去)，c2＝2，
∴抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故点A(﹣4，0)，点B(1，0)；
(2)△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C'(0，﹣2)，
设直线AC'的解析式为y＝kx＋b，将点A(﹣4，0)，C'(0，﹣2)代入，
得，解得，
∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，联立抛物线与直线得
，解得，，
故点P坐标(2，﹣3)；
(3)过点A作直线AD，使sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，过点M作ME⊥AD于点E，如图，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，∴ME＝eq \f(\r(5),5)AM，
∴MC＋eq \f(\r(5),5)AM＝MC＋ME，当点M、C、E三点共线时，MC＋ME最小为CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，OC＝2，
∴tan∠OCM＝eq \f(1,2)，cs∠OAD＝eq \f(2\r(5),5)，
∴OM＝1，CM＝eq \r(5)，∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝eq \f(\r(5),5)，AM＝3，
∴EM＝3sin∠OAD＝eq \f(3\r(5),5)，∴MC＋ME＝eq \f(3\r(5),5)＋eq \r(5)＝eq \f(8\r(5),5)．
故MC＋eq \f(\r(5),5)AM的最小值eq \f(8\r(5),5)．
解：(1)∵抛物线y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上
∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a＋1，则有﹣9a＋1=0，解得a=eq \f(1,9)
∴A点坐标为(3，0)，抛物线m的解析式为y=eq \f(1,9)x2﹣eq \f(2,3)x＋1；
(2)∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(6，1)
∴连接EB′交l于点P，如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx＋b，把(﹣7，7)(6，1)代入得
解得，
则函数解析式为y=﹣x＋
把x=3代入解得y=，∴点P坐标为(3，)；
(3)∵y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与x轴交于点D，∴点D坐标为(7，0)，
∵y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与抛物线m的对称轴l交于点F，∴点F坐标为(3，2)，
求得FD的直线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)，
若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，
设DQ的直线解析式为y=2x＋b，把(7，0)代入解得b=﹣14，
则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，
设点Q的坐标为(a，eq \f(1,9)a2﹣eq \f(2,3)a＋1)，
把点Q代入y=2x﹣14得eq \f(1,9)a2﹣eq \f(2,3)a＋=2a﹣14
解得a1=9，a2=15．
∴点Q坐标为(9，4)或(15，16)．
解：(1)y=0.4x2﹣1.6x﹣2；
(2)P(2，﹣1+eq \r(7))，P(2，﹣1﹣eq \r(7))，P(2,7.5)，P(2，﹣7)；
(3)Q(4，﹣2)，(6,2.8).
解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣(x﹣1)2+5，∴点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC解析式为y=kx+b，
把点A(3，1)，C(0，4)代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，
对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
(3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)
∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC=eq \r(2)，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为(﹣1，5)，
∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD=1，CD=3，∴CP===，
∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=∴PH==
把x=eq \f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq \f(11,3)，∴P1(eq \f(1,3),eq \f(11,3))；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣eq \f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq \f(13,3)
∴P2(﹣eq \f(1,3),eq \f(13,3))；
②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3eq \r(2)
∴PH=3eq \r(2)÷eq \r(2)=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3(3，1)；P4(﹣3，7)．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，
分别为P1(eq \f(1,3),eq \f(11,3))，P2(﹣eq \f(1,3),eq \f(13,3))，P3(3，1)，P4(﹣3，7)．
解：(1)∵y=ax2﹣2ax＋c的对称轴为：x=﹣=1，
∴抛物线过(1，4)和(eq \f(7,2)，﹣eq \f(9,4))两点，
代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2＋2x＋3，
∴顶点D的坐标为(1，4)；
(2)∵C、D两点的坐标为(0，3)、(1，4)；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC﹣PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值.
|CD|=eq \r(2)，
由于CD所在的直线解析式为y=x＋3，
将P(t，0)代入得t=﹣3，
∴此时对应的点P为(﹣3，0)；
(3)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的解析式可化为：
y=
设线段PQ所在的直线解析式为y=kx＋b，将P(t，0)，Q(0，2t)代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x＋2t，
∴①当线段PQ过点(0，3)，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y=有一个公共点，此时t=，
当线段PQ过点(3，0)，即点P与点(3，0)重合时，t=3，此时线段PQ与
y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，
线段PQ与y=有一个公共点，
②将y=﹣2x＋2t代入y=﹣x2＋2x＋3(x≥0)得：
﹣x2＋2x＋3=﹣2x＋2t，﹣x2＋4x＋3﹣2t=0，
令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0，t=eq \f(7,2)＞0，
所以当t=eq \f(7,2)时，线段PQ与y=也有一个公共点，
③当线段PQ过点(﹣3，0)，即点P与点(﹣3，0)重合时，线段PQ只与
y=﹣x2﹣2x＋3(x＜0)有一个公共点，此时t=﹣3，
所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，
综上所述，t的取值是eq \f(3,2)≤t＜3或t=eq \f(7,2)或t≤﹣3．
解：(1)∵A(﹣8，0)，
∴OA＝8，
∵sin∠CAB＝eq \f(3,5)，
∴OC＝6，AC＝10，即C(0，6).
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C点坐标代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(3,8)x2﹣eq \f(9,4)x＋6；
(2)①∵A(﹣8，0)，C(0，6)，
∴AC的解析式为y＝eq \f(3,4)x＋6，
设D(m，﹣eq \f(3,8)m2﹣eq \f(9,4)m＋6)，E(m，eq \f(3,4) m＋6)，
∴DE=﹣eq \f(3,8)m2﹣eq \f(9,4)m＋6﹣(eq \f(3,4)m＋6)＝﹣eq \f(3,8)m2﹣3m，
过点C作CF⊥DH
，
∵DC＝EC，
∴DF=eq \f(1,2)DE，
∴﹣eq \f(3,8)m2﹣eq \f(9,4)m＋6﹣6＝eq \f(1,2)(﹣eq \f(3,8)m2﹣3m)，
解得m1＝0(舍)m2＝﹣4，
当m＝﹣2时，△DEC恰好是以DE为底边的等腰三角形，
②S△ABC＝eq \f(1,2)×10×6＝30，
∴eq \f(1,2)(﹣eq \f(3,8)m2﹣3m)×8＝eq \f(3,5)×30，化简，得m2＋8m＋12＝0，
∴m1＝﹣2，m2＝﹣6，
∴D1(﹣2，9)，D2(﹣6，6)；
(3)∵M为OA的中点，
∴M(﹣4，0)，
∴t＝PM＋eq \f(3,5)CP，
过C作CN∥AB，过点P作PE⊥CN
，
∵sin∠CAB＝eq \f(3,5)，
∴sin∠PCE＝sin∠CAB＝eq \f(3,5)，
∴PE＝eq \f(3,5)CP，
∴t＝PM＋eq \f(3,5)CP＝PM＋PE，
要使t最小，只要M，P，E三点共线即可，
过点M作MH⊥CN，交AC于点P1，
此时MH＝OC＝6，最少时间是6秒，
当x＝﹣4时，y＝eq \f(3,4)×(﹣4)＋6＝3，P(﹣4，3).