2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习08（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习08（含答案），共13页。
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
如图：已知二次函数y＝x2＋(1﹣m)x﹣m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线L设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA＝PC.
(1)∠ABC的度数为 °；
(2)求点P坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在x轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小，如果存在，求满足条件的Q的坐标及对应的二次函数解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，请说明理由.
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
如图,平行四边形OBCD中,OB=8cm，BC=6cm,∠DOB=45°,点P从O沿OB边向点B移动,点Q从点B沿BC边向点C移动,P,Q同时出发，速度都是1cm/s．
(1)求经过O,B,D三点的抛物线的解析式；
(2)判断P,Q移动几秒时,△PBQ为等腰三角形；
(3)若允许P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,设线PQ与OB,BC,DC围成的图形面积为y(cm2),点P,Q的移动时间为t(s),请写出y与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围．

如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
(1)写出点D的坐标 ．
(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B；
②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，
当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(点B在A的右侧)，与y轴交于点C(0，2)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；
(3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE＋CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
\s 0 答案
解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣4)，
代入C(0，3)得3=4a，解得a=eq \f(3,4)，
y=eq \f(3,4)(x﹣1)(x﹣4)=eq \f(3,4)x2﹣eq \f(15,4)x+3，
所以，抛物线的解析式为y=eq \f(3,4)x2﹣eq \f(15,4)x+3.
(2)∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)，
∴OA=1，OC=3，BC=5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，
使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9.
(3)∵B(4，0)、C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y=﹣eq \f(3,4)x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M(a，b)，
∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，
∴=，即=，解得b=eq \f(15,8)，
代入y=﹣eq \f(3,4)x+3得，eq \f(15,8) =﹣eq \f(3,4)a+3，解得a=eq \f(3,2)，∴M(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，∴BM=5﹣m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，∴=，解得m=，
作MN∥OB，∴==，即==，
∴MN=，CN=，∴ON=OC﹣CN=3﹣=，∴M(，)，
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，
点M的坐标为(，)或(，).
解：(1)令x＝0，则y＝﹣m，C点坐标为：(0，﹣m)，
令y＝0，则x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：(m，0)，
∴OB＝OC＝m，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；
故答案为：45°；
(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为：x＝，
设点P坐标为：(，n)，
∵PA＝PC，
∴PA2＝PC2，
即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，
∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，
∴P点的坐标为：(，)；
(3)存在点Q满足题意，
∵P点的坐标为：(，)，
∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2，
＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，
∵AC2＝1＋m2，
∴PA2＋PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(﹣m，0)
若PQ与x轴垂直，则＝﹣m，解得：m＝eq \f(1,3)，PQ＝eq \f(1,3)，
若PQ与x轴不垂直，
则PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝eq \f(5,2)m2﹣2m＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)(m﹣eq \f(2,5))2＋eq \f(1,10)，
∵0＜m＜1，
∴当m＝eq \f(2,5)时，PQ2取得最小值eq \f(1,10)，PQ取得最小值eq \f(\r(10),10)，
∵eq \f(\r(10),10)